数学苏教版必修4导学案1.3.4三角函数的应用

1.3.4三角函数的应用学习目标重点难点1．会用三角函数解决一些简单的实际问题．2．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.重点：会用三角函数解决一些简单问题．难点：体会三角函数模型在解决周期性问题中的作用.1．三角函数模型的应用(1)三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)的最大值为A，最小值是－A，周期是eq\f(2π,|ω|)，频率为eq\f(|ω|,2π).(3)三角函数模型的三种应用模式：一是给定具有周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；二是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数解析式(函数模型)，再解决其他问题；三是收集一组实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题．预习交流在建模过程中，散点图的作用是什么？提示：利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误．2．应用三角函数模型解实际问题的步骤第一步：阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景；在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．第二步：根据所给模型，列出函数关系式，根据已知条件和数量关系，建立函数关系式；在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．第四步：再将所得结论转译成实际问题的解答．一、三角函数在物理学中的应用表示电流I与时间t的关系式I＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)在一个周期内的图象，如图所示．(1)根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一段eq\f(1,100)秒的时间内都能使I同时取到最大值|A|和最小值－|A|，那么正整数ω的最小值为多少？思路分析：(1)由一个周期内的图象可确定图象的五个关键点，据此可求出解析式．(2)画图分析得：要使任意一段eq\f(1,100)秒的时间内I能同时取到最大值和最小值，需要满足周期T≤eq\f(1,100).解：(1)由图可知：A＝300，周期T＝eq\f(1,60)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,300)))＝eq\f(1,50).∴ω＝eq\f(2π,T)＝100π，此时所求函数的解析式为I＝300sin(100πt＋φ)．以点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,300)，0))为“五点法”作图的第一关键点则有100π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,300)))＋φ＝0，∴φ＝eq\f(π,3).得函数解析式为I＝300sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3))).(2)由题意知周期T≤eq\f(1,100)，即eq\f(2π,ω)≤eq\f(1,100)⇒ω≥200π⇒ω≥628.3.由于ω为正整数，故ω的最小值为629.如图所示的是弹簧挂着小球做上下运动，时间t(s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h(cm)之间的函数关系式是h＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,4)))，t∈[0，＋∞)．(1)以t为横坐标，h为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)小球开始振动时的位置在哪里？(3)小球最高点、最低点的位置及各自到平衡位置的距离分别是多少？(4)小球经过多长时间往复振动一次？解：(1)用“五点法”作出图象．如图所示．(2)当t＝0时，h＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,4)))＝2sineq\f(π,4)＝eq\r(2)，即小球开始振动时的位置为(0，eq\r(2))．(3)当t＝eq\f(π,8)时，h＝2；当t＝eq\f(5π,8)时，h＝－2.即最高点的位置为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，2))，最低点的位置为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,8)，－2)).最高点与最低点各自到平衡位置的距离均为2cm.(4)∵T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2)＝π≈s小球往复振动一次．三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流随时间变化规律等问题中，此类问题中要弄清振幅、频率、周期、初相的定义和表示方法．二、三角函数在日常生活中的应用如图为一个缆车示意图，m，m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面的距离是h.(1)求h与θ间的函数关系式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？思路分析：由题意得h与θ的三角函数关系，再由此函数关系得h与t的解析式．最后由三角函数的性质求t的值．解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－eq\f(π,2)，∴heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2))).(2)点A在圆上转动的角速度是eq\f(π,30)，故t秒转过的弧度数为eq\f(π,30)t.∴heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)．到达最高点时，hm.由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,2)))＝1，得eq\f(π,30)t－eq\f(π,2)＝eq\f(π,2)，∴t＝30.∴缆车第一次到达最高点时用的最少时间是30s.如图为一半径是3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则ω，A的值分别为__________．答案：eq\f(2π,15)，3解析：易知水轮的角速度ω＝eq\f(2π×4,60)＝eq\f(2π,15)，A＝3.面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能．这个过程并不神秘，比如本例题，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程，在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有：求出三角函数的解析式；画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．1．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l等于__________．答案：eq\f(g,4π2)解析：因为周期T＝1＝eq\f(2π,\r(\f(g,l)))，所以eq\r(\f(g,l))＝2π，则l＝eq\f(g,4π2).2．．如图，当钟摆达到最高位置M时开始计时，经过1分钟后，请你估计钟摆在铅垂线的__________边(填“左”或“右”)．答案：右解析：∵×33＋0.6，∴钟摆在铅垂线的右边．3．下图是游乐场中的摩天轮上的某个座舱在旋转过程中离地面高度情况的一部分，则下列判断中正确的有__________(填序号)．①该座舱的运动周期是π；②该座舱的振幅是2；③该座舱在eq\f(π,10)s时达到最高点；④该座舱在eq\f(7π,20)s时离地面最近．答案：①④解析：eq\f(T,4)＝eq\f(7π,20)－eq\f(π,10)＝eq\f(π,4)，∴T＝π，①正确；该座舱的振幅是1，②错误；该座舱在eq\f(π,10)s时没有到达最高点，③错误；显然④正确．4．将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速运动，观察后轮气针的运动规律．若轮胎以ωrad/s的角速度做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针到原点O的距离为rcm，求气针的位置P的纵坐标关于时间t的函数