滨州市惠民一中高一下学期第三次月考数学试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年山东省滨州市惠民一中高一（下)第三次月考数学试卷一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分）1．若三点A（3，1），B(﹣2，b），C（8，11）在同一直线上，则实数b等于（）A．2 B．3 C．9 D．﹣92．若A（﹣4,2），B(6,﹣4），C（12,6），D（2，12）,则下面四个结论：①AB∥CD;②AB⊥CD；③AC∥BD;④AC⊥BD．其中正确的序号依次为(）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④3．如果直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，那么a的值等于（）A．1 B． C． D．﹣24．不等式﹣x2﹣x+2＞0的解集是（）A．｛x｜x＜﹣2或x＞1｝ B．｛x|x＜﹣1或x＞2} C．{x|﹣2＜x＜1｝ D．｛x|﹣1＜x＜2}5．下列命题中，错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交B．平行于同一平面的两个不同平面平行C．若直线l不平行平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线D．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β6．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线,则下列命题正确的是（)A．若m⊂α,n⊂β，m∥n，则α∥β B．若n⊥α,n⊥β，m⊥β，则m⊥αC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β D．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α7．圆(x+2)2+y2=1与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=16的位置关系为(）A．相交 B．相离 C．外切 D．内切8．如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，M、N分别是BB′,CD的中点,则异面直线AM与D′N所成的角是（）A．30° B．45° C．60° D．90°9．在△ABC中,AB=2，BC=1。5，∠ABC=120°，若使该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是(）A． B． C． D．10．设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（）A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线C．若AB=AC,DB=DC，则AD=BCD．若AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC11．如图,在四面体P﹣ABC中，PA、AB、BC两两垂直，且AB=，BC=，则二面角B﹣AP﹣C的大小为()A．30° B．45° C．60° D．90°12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=2，S5=15，若bn=,则数列｛bn}的前10项和为（）A． B． C． D．二、填空题（共4小题,每小题5分，满分20分)13．如图,一艘船下午13：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行,14:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距9海里，则此船的航速为海里/小时．14．ABCD与CDEF是两个全等的正方形，且两个正方形所在平面互相垂直，则DF与AC所成角的大小为．15．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是．16．如图,在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为等边三角形,SA=SB=，AB=2,平面SAB⊥平面ABC，则SC与平面ABC所成角的大小是．三、解答题（共7小题，满分70分）17．△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，0），B（0，﹣3）,C（﹣2，1）．(1）求BC边所在的直线的方程；（2)求BC边上的高所在直线的方程．18．在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b,c．（1）若2asinB=b,A为锐角，求A的值；（2）若b=5，c=,cosC=，求a的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，PA⊥平面ABCD,M是PD的中点．(1）求证：OM∥平面PAB;（2)求证：平面PBD⊥平面PAC．20．在公差不为零的等差数列｛an｝和等比数列{bn｝中，已知a1=b1=1，a2=b2,a6=b3．（1）求数列{an}和{bn｝的通项公式；（2）设cn=anbn，求数列{cn｝的前n项和Sn．21．如图所示，要围建一个面积为400m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为3m的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/m，新墙的造价为200元/m,设利用旧墙的长度为x（单位：m）,修建此矩形场地的总费用为y（单位:元）．（1)求y关于x的函数表达式；（2）试确定x的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用．22．如图,PA⊥平面ABCD，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．（1）证明：PE⊥DE；（2)如果PA=2，求异面直线AE与PD所成的角的大小．23．如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD,AB=2．(Ⅰ）求直线AM与平面BCD所成角的大小；（Ⅱ）求三棱锥A﹣BMD的体积；(Ⅲ）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．（理科生必做，文科生选做）

2016-2017学年山东省滨州市惠民一中高一（下）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若三点A（3,1），B（﹣2,b），C（8，11）在同一直线上，则实数b等于（）A．2 B．3 C．9 D．﹣9【考点】I6：三点共线．【分析】根据三点A、B、C共线⇔kAB=kAC，即可求出．【解答】解：∵三点A（3，1)，B（﹣2，b），C（8，11）在同一直线上，∴kAC=kAB，即,解得b=﹣9．故选D．2．若A（﹣4，2），B（6，﹣4)，C(12，6），D（2，12)，则下面四个结论:①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD．其中正确的序号依次为（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考点】LO:空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据本题的条件,只需计算向量AB、AC、CD、BD的坐标，运用向量的平行与垂直的判定分别计算即可．【解答】解:=（6+4，﹣4﹣2）=(10，﹣6）；=（12+4，6﹣2）=（16，4）；=（2﹣12,12﹣6)=(﹣10，6);=（2﹣6，12+4)=（﹣4，16）则：10×6﹣（﹣10)×（﹣6）=0，所以AB∥CD,①正确；10×(﹣10）+6×（﹣6）=﹣136≠0，故②AB⊥CD错误；16×16﹣（﹣4）×4=256+16=272≠0，故③AC∥BD错误；16×（﹣4)+16×4=0,故AC⊥BD，所以④正确,故选B．3．如果直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直,那么a的值等于(）A．1 B． C． D．﹣2【考点】I9：两条直线垂直的判定．【分析】利用两直线垂直，斜率之积等于﹣1，列方程解出参数a的值．【解答】解：∵直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，∴斜率之积等于﹣1，∴=﹣1，a=﹣2,故选D．4．不等式﹣x2﹣x+2＞0的解集是（)A．｛x｜x＜﹣2或x＞1｝ B．{x｜x＜﹣1或x＞2} C．｛x|﹣2＜x＜1｝ D．{x|﹣1＜x＜2}【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（x﹣1）（x+2）＜0，写出不等式的解集即可．【解答】解：不等式﹣x2﹣x+2＞0可化为x2+x﹣2＜0，即（x﹣1）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜1；所以不等式的解集是（﹣2,1）．故选:C．5．下列命题中，错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B．平行于同一平面的两个不同平面平行C．若直线l不平行平面α,则在平面α内不存在与l平行的直线D．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【考点】2K:命题的真假判断与应用．【分析】采用逐个判断的方式，A选项，直线与平行平面中的一个相交，必与另一个相交,故正确；B选项,平行平面具有传递性，也正确；D选项，可用反证法的思想说明．C选项，可举反例．【解答】解：A选项,一条直线与两个平行平面中的一个相交，必与另一个平面相交，所以正确;B选项，平行平面具有传递性，故命题正确;C选项,直线l不平行平面α，若l在平面内，则会有无数条直线与l平行，故为假命题;D选项，可用反证法的思想，若平面α内存在直线垂直于平面β,由面面垂直的判定可得,平面α一定垂直平面β,故命题正确．故选C．6．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是(）A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β B．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αC．若m∥α,n∥β，m⊥n，则α⊥β D．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α【考点】LW:直线与平面垂直的判定．【分析】对于①两平面可能相交，对于②面面平行的性质可知正确，对于③当两平面平行时也符合条件，对于④当m⊂α时错误．【解答】解：A若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β或α与β相交，故不正确；B若n⊥α，n⊥β,m⊥β，则m⊥α,由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因m⊥β,所以m⊥α．故正确;C若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β不正确，也可能平行;D若α⊥β,n⊥β，m⊥n，则m⊥α，不正确，可能有m⊂α;故选：B．7．圆（x+2）2+y2=1与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=16的位置关系为（)A．相交 B．相离 C．外切 D．内切【考点】JA:圆与圆的位置关系及其判定．【分析】先求出两个圆的圆心和半径，再根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得两个圆相交．【解答】解：这两个圆(x+2)2+y2=1与圆(x﹣2）2+（y﹣1)2=16的圆心分别为(﹣2，0）、(2，1）；半径分别为1、4．圆心距为=，大于半径之差而小于半径之和，可得两个圆相交,故选：A．8．如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，M、N分别是BB′，CD的中点，则异面直线AM与D′N所成的角是（)A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量的夹角公式即可得出．【解答】解:如图所示，建立空间直角坐标系不妨设AB=2，则D（0，0，0）,A(2，0，0），M（2，2,1）,N（0，1,0）,D′（0，0，2)．=(0，2，1）,=(0，﹣1,2)．∴cos==0．∴=90°．故选：D．9．在△ABC中,AB=2，BC=1。5，∠ABC=120°，若使该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A． B． C． D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分，故用大圆锥的体积减去小圆锥的体积,即为所求．【解答】解：如图：△ABC中，绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分．∵AB=2,BC=1。5,∠ABC=120°,∴AE=ABsin60°=，BE=ABcos60°=1，V1==，V2==π，∴V=V1﹣V2=，故选:A．10．设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（）A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线C．若AB=AC，DB=DC，则AD=BCD．若AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC【考点】MB:空间点、线、面的位置．【分析】逐一检验答案，A、B的正确性一致,C、D结合图形进行判断．【解答】解：A显然正确；B也正确，因为若AD与BC共面，则必有AC与BD共面与条件矛盾C不正确,如图所示:D正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明．故选C．11．如图，在四面体P﹣ABC中,PA、AB、BC两两垂直，且AB=,BC=,则二面角B﹣AP﹣C的大小为(）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】MT:二面角的平面角及求法．【分析】以B为原点,BA为x轴,BC为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角B﹣AP﹣C的大小．【解答】解:∵在四面体P﹣ABC中，PA、AB、BC两两垂直，且AB=，BC=,∴以B为原点，BA为x轴，BC为y轴,过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（，0，0），P（，0,t),C（0，，0）,=(0，0,﹣t），=（﹣，，﹣t），设平面PAC的法向量=（x，y，z)，则,取x=1，得=（1，，0），平面PAB的法向量=(0，1，0），设二面角B﹣AP﹣C的平面角为θ，则cosθ==，∴θ=30°．∴二面角B﹣AP﹣C的大小为30°．故选：A．12．设等差数列{an｝的前n项和为Sn，已知a2=2，S5=15，若bn=，则数列{bn}的前10项和为（)A． B． C． D．【考点】8E：数列的求和．【分析】利用等差数列的通项公式及其求和公式可得an，再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2=2，S5=15，∴，解得a1=d=1．∴an=1+（n﹣1）=n．∴bn====，则数列{bn｝的前10项和=++…++==．故选：C．二、填空题（共4小题,每小题5分,满分20分)13．如图,一艘船下午13:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，14：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距9海里，则此船的航速为36海里/小时．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】求出∠S，利用正弦定理得出AB，从而得出船的航行速度．【解答】解:由题意得BS=9，∠A=30°，∠ABS=105°，∴∠S=45°．在△ABS中,由正弦定理得,∴AB==18．∴船的速度为V==36海里/小时．故答案为：36．14．ABCD与CDEF是两个全等的正方形，且两个正方形所在平面互相垂直，则DF与AC所成角的大小为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】作出如图的图形,取H，M,N为三个线线段的中点，可以证得∠HMN即为DF与AC所成角可所成角的补角,在三角形HMN中求解即可【解答】解：如图不妨令正方形的边长为2，则AC=DF=2，取H，M，N为三个线线段的中点，连接HM，MN，则有HM∥AC，MN∥DF,故∠HMN即为DF与AC所成角可所成角且HM=MN=连接HN，DN,在直角三角形DCN中可以求得ND=,在直角三角形HDN中可以求得HN=在△HMN中cos∠HMN==﹣故∠HMN=所以DF与AC所成角的大小为故答案为15．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是16π﹣16．【考点】L！:由三视图求面积、体积．【分析】首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可．【解答】解：根据三视图可知,该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒,四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4．故其体积为：22π×4﹣22×4=16π﹣16,故答案为：16π﹣16．16．如图，在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为等边三角形，SA=SB=，AB=2,平面SAB⊥平面ABC，则SC与平面ABC所成角的大小是60°．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】取AB的中点O，连接SO，CO，证明CO⊥平面SAB，即∠CSO是SC与平面ABC所成的角，根据三角形的边角关系进行求解即可．【解答】解：取AB的中点O，连接SO,CO，∵底面ABC为等边三角形，SA=SB=，∴SO⊥AB，OC⊥AB，∵面SAB⊥平面ABC，∴CO⊥平面SAB，即∠CSO是SC与平面ABC所成的角，∵AB=2，∴OC=，OA=1，∵SA=SB=，∴SO==3，则直角三角形SOC中,tan∠CSO=，则∠CSO=60°，故答案为：60°．三、解答题（共7小题,满分70分)17．△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，0），B(0，﹣3）,C（﹣2，1)．(1）求BC边所在的直线的方程;（2)求BC边上的高所在直线的方程．【考点】IK：待定系数法求直线方程．【分析】（1)由已知点的坐标代入直线方程的两点式化简得答案；(2）由(1）可知直线BC的斜率，可得BC边上的高所在直线的斜率,又已知直线过点A,把A点的坐标代入直线方程即可得答案．【解答】解：（1）由A（﹣4，0）,B(0,﹣3），C(﹣2，1），得BC边所在的直线的方程是，即2x+y+3=0;（2）∵直线BC的斜率为﹣2，∴BC边上的高所在直线的斜率为．又∵直线过点A,∴所求直线的方程为．即x﹣2y+4=0．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1)若2asinB=b,A为锐角，求A的值；(2)若b=5，c=,cosC=,求a的值．【考点】HP：正弦定理．【分析】﹙1﹚由正弦定理化简已知结合sinB≠0,可得sinA=且A为锐角，即可解得A的值．(2)由已知利用余弦定理即可解得a的值．【解答】（本题满分为12分）解：﹙1﹚在△ABC中，由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB，∴由已知可得：×2RsinB=2×2RsinAsinB，∵sinB≠0,∴sinA=且A为锐角，∴A=60°…6分（2）由余弦定理:c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：5=a2+25﹣2×5a×，可得：a2﹣9a+20=0，解得：a=4或5…12分19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，PA⊥平面ABCD，M是PD的中点．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用中位线定理证明OM∥PB，即可证明OM∥平面PAB;（2）由线线垂直证明BD⊥平面PAC，再证明平面PBD⊥平面PAC．【解答】解：（1)证明：在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，所以OM∥PB，因为OM⊄平面PAB,PB⊂平面PAB,所以OM∥平面PAB；（2）证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD;因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC,因为BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．20．在公差不为零的等差数列｛an｝和等比数列{bn｝中,已知a1=b1=1，a2=b2，a6=b3．（1)求数列{an｝和{bn}的通项公式；(2）设cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．【考点】8E：数列的求和;84:等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式．【分析】(1)设等差数列｛an｝的公差为d≠0，等比数列｛bn}的公比为q，由a1=b1=1，a2=b2,a6=b3，可得1+d=q，1+5d=q2，联立解出即可得出．（2）由cn=anbn=（3n﹣2)4n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1)设等差数列{an}的公差为d≠0，等比数列｛bn}的公比为q，∵a1=b1=1，a2=b2,a6=b3,∴1+d=q，1+5d=q2，联立解得．∴an=1+3（n﹣1)=3n﹣2，bn=4n﹣1．（2）由cn=anbn=（3n﹣2）4n﹣1．∴数列{cn｝的前n项和Sn=1+4×4+7×42+…+（3n﹣2）4n﹣1．4Sn=4+4×42+7×43…+（3n﹣5）4n﹣1+（3n﹣2）•4n．∴﹣3Sn=1+3×（4+42+…+4n﹣1)﹣（3n﹣2）•4n=1+3×﹣（3n﹣2）•4n=（3﹣3n）•4n﹣3,∴Sn=（n﹣1）•4n+1．21．如图所示，要围建一个面积为400m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为3m的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/m，新墙的造价为200元/m，设利用旧墙的长度为x（单位：m)，修建此矩形场地的总费用为y（单位：元）．（1)求y关于x的函数表达式；（2）试确定x的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用．【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】(1)由题意由题意知,矩形的一边长为xm,另一边长为m，根据旧墙的维修费用为56元/m，新墙的造价为200元/m，从而得出y关于x的函数表达式；（2)因为x＞0，所以运用基本不等式求出最小值,利用基本不等式等号成立的条件得出此时x的值．【解答】解：（1）由题意知，矩形的一边长为xm，另一边长为m,则y=56x+200（x﹣3)+200××2=256x+﹣600（x＞0）．故y=256x+﹣600(x＞0）．（2）因为x＞0，所以256x+≥2=12800，所以y=256x+﹣600≥12200，当且仅当256x=,即x=25时，等号成立．故当利用旧墙的长度为25m时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是12200元．22．如图，PA⊥平面ABCD,矩形ABCD的边长AB=1,BC=2，E为BC的中点．(1）证明：PE⊥DE；(2）如果PA=2，求异面直线AE与PD所成的角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）首先利用勾股定理的逆定理证明DE⊥AE，及PA⊥平面ABCD,根据三垂线定理即可证明PE⊥DE；（2）取PA的中点M，AD的中点N，连MC、NC、MN、AC．利用三角形的中位线定理可知∠MNC的大小等于异面直线PD与AE所成的角或其补角的大小．再利用余弦定理即可得出．【解答】（1）证明