活用圆中角 巧解中考题

活用圆中角巧解中考题角是几何图形中最重要的元素之一，而圆的旋转不变性和对称性,又赋予了角极强的灵活性，使得角之间的相互转化成为了解题的关键要素。初中阶段圆中角的常用定理有一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是90°；圆内接四边形对角互补；灵活运用转化圆中的角，往往能起到事半功倍的效果。本文拟从一道初三几何选择题的探究与解析中让学生体会圆中角的灵活与妙用，一题多解使试题的讲解真正发挥复习的效用，让学生思维上通下达左关右联，引发进一步的启示与思考。题目：如图(1),已知A、B两点的坐标分别为(2,0),(0,2),P是A0B外接圆上一点，且NA0P=45°,则P点到x轴的距离为()A.B.2c.+D.+1基本思路分析：提到求P点到X轴的距离，大多数学生自然会第一时间将点P到X轴的垂线段作出来，继而发现直角三角形，通过解直角三角形求解问题。可是不少学生对于圆中角的条件挖掘不够，虽然做出来，但计算相对繁琐，容易出错。若能仔细观察分析，活用圆中角的条件，可以简化计算，更快速准确求值。这里展示几种不同解法供大家参考体会。图(1)图(2)图(3)利用勾股定理构造方程，此为学生常用方法。如图(2)过点P作PMx轴于点M。ZAOB=90°,AB为AOB外接圆的直径。NAPB=90°。又NPBA二NPOA=45°,ABP为等腰直角三角形。在RtAOB中，AB二二4,PA=2。设P归x,则0M二PM二x,AM=2-x,在RtPMA中，x2+(2-x)2=(2)2,整理得x2-2x+2=0,解得x二±1,因此选D。多观察一下还会发现，0P是NA0B的角平分线，过点P作PNy轴于点N,则PN=PM,在RtPNB中，x2+(x-2)2=(2)2,计算会简便—^止匕J=LO法2：巧用特殊角分析：在RtPMO中，NP0M=45。，所以PM二,所以只需求出P0即可。在RtAOB中，0B=2,0A=2,利用三角函数得NBA0二30。，根据同弧所对的圆周角相等得NBP0二NBA0=30°,此时在OBP中，就有两个角是特殊角，因此，可过点B向0P作垂线，使得两个特殊角在直角三角形中发挥更大功用，进而求出0P,如图(3)解：过点B作BH垂直于0P于点H,在RtBHO中，NB0H=45°,0B=2,0H二BH二。在RtBHP中，ZBPH=30°,PH=BH=0P=+。在RtOPH中，ZP0H=45°PM=二+1。由法一开始部分知PA=2o在RtPMA中若能得知一个锐角，即可用三角函数求出PM,同法一法二求角的方法易得NBAO=45°,ZPAB=30°,所以NPAM=75°,借助三角函数Sin75°二二，所以PM二2XSin75°,按计算器即可得到答案的近似值，从而选出选项。法4：旋转妙处多分析：因为四边形OAPC是圆内接四边形，所以NPAO+NPBO=180°。易知ABP为等腰直角三角形，所以PA二PB。这两个元素为旋转提供了非常便利的条件。等边共顶点，旋转是首选,而互补的角使得0、A、0'三点共线，更是将四边形巧妙的转化为了三角形，此时P0。'为等腰直角三角形，所以点P到x轴的距离即为等腰直角三角形斜边00'的一半。如图（4）。解：过点P作PMx轴于点M,同法1知ABP为等腰直角三角形。四边形0APC是圆内接四边形，ZPA0+ZPB0=180°。将PB0绕点P逆时针旋转90°得PA0',则NPA0'二NPB0,POPO',NPAO'+ZPB0=180°,0、A、0,三点共线，P00'为等腰直角三角形，A0'二B0二2。这里四种不同的方法，分别运用了圆中角的常用定理，有的方法同时用到了多条。我们发现对圆中角的条件挖掘的越多，往往计算更为