第3章 刚体力学基础(完全版)

第3

章

Dynamics

ofRigidBody(6)

刚体力学基础1第3章刚体力学基础(完全版)

本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴转动。核心内容：这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。

刚体的转动惯量-质点平动的惯性质量对应

定轴转动的转动定理-力矩的瞬时效应-平动中力的瞬时效应定轴转动的角动量定理及其守恒-力矩的时间积累效应-平动中力的时间积累效应

定轴转动的功能原理-力矩的空间积累效应-平动中力的空间积累效应2第3章刚体力学基础(完全版)刚体——力学中物体的一种理想模型。刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。

实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就将物体视为刚体。(b)刚体有确定的形状和大小。(c)刚体可看作是由许多质点(质元)组成的质点系。(a)刚体上各质点之间的距离保持不变。无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形状都始终保持不变。刚体的特征：3第3章刚体力学基础(完全版)§3-1.1刚体运动学一.刚体的平动和转动

如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空间的指向始终保持平行,这样的运动就称为平动。

在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同,因此平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。4第3章刚体力学基础(完全版)

刚体的一般运动比较复杂。但可以证明,刚体一般运动可看作是平动和转动的结合。

如果刚体内的各个质点都绕同一直线(转轴)作圆周运动,这种运动便称为转动。如果转轴是固定不动的,就称为定轴转动。

刚体在作定轴转动时,由于各质点到转轴的距离不同,所以各质点的线速度、加速度一般是不同的。

r

但由于各质点的相对位置保持不变,所以描述各质点运动的角量,如角位移、角速度和角加速度都是一样的。二.定轴转动的描述5第3章刚体力学基础(完全版)

r

1描述定轴转动刚体的运动的角量角坐标：

角位移：

单位：rad角速度方向：与转向成右手螺旋关系。6第3章刚体力学基础(完全版)角加速度角加速度为角速度对时间t的一次导数，或为角坐标对时间t的二次导数。单位：弧度/秒2，rad/s2,s-2方向：角速度变化的方向。7第3章刚体力学基础(完全版)

对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？2线量与角量之间的关系刚体转过刚体上的一点位移线位移和角位移的关系8第3章刚体力学基础(完全版)速度与角速度之间的关系加速度与角加速度之间的关系

将质点的加速度可分解为切向加速度和法向加速度.将式两边同除9第3章刚体力学基础(完全版)由若角加速度β

=c(恒量)，则有10第3章刚体力学基础(完全版)

一.刚体的角动量(质点系的角动量)

刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。

§3-1.1.2刚体的定轴转动Z

L

mi

irio式中:I=

Δmiri2称为刚体对z轴的转动惯量。

Li=Δmi

iri=Δmiri2

设刚体以角速度

绕固定轴z转动(见图),质量为Δmi的质点对o点的角动量为

=I

刚体对z轴的角动量就是

Lz=(

Δmiri2)

11第3章刚体力学基础(完全版)

问题：为何动量的概念对刚体的转动已失去意义？P=0Z

L

mi

irio刚体对z轴的角动量：

Lz=I

显然，刚体的角动量的方向与角速度

的方向相同，沿z轴方向(见图),故也称为刚体对固定轴z的角动量。12第3章刚体力学基础(完全版)质量m—物体平动惯性大小的量度。

动量:p=m

转动惯量的物理意义I=

Δmiri2称为刚体对z轴的转动惯量。Z

L

mi

irio转动惯量I—物体转动惯性大小的量度。角动量:L=I

13第3章刚体力学基础(完全版)证明：刚体质点系的一对内力的力矩之和为零。ij质点系中的一对内力的力矩之和为零。质点系内力的力矩之和为零。14第3章刚体力学基础(完全版)证明：刚体质点系的一对内力做功之和为零。15第3章刚体力学基础(完全版)二.刚体定轴转动定理按质点角动量定理式，有

设有一质点系,第i个质点的位矢为ri,外力为Fi,内力为,mi：对各质点求和，并注意到得16第3章刚体力学基础(完全版)=M

质点系所受的合外力矩=L

质点系的总角动量于是得式的意义是:质点系所受的合外力矩等于质点系的总角动量对时间的变化率。这个结论叫质点系角动量定理。显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。17第3章刚体力学基础(完全版)

对定轴转动的刚体,I为常量,d

/dt=β,故式又可写成

上式是一矢量式,它沿通过定点的固定轴z方向上的分量式为这就是刚体定轴转动定理，它是刚体定轴转动的动力学方程。

M=Iβ(Lz=I

)上式称为物体定轴转动方程。18第3章刚体力学基础(完全版)

式子表明,刚体所受的合外力矩等于刚体的转动惯量与刚体角加速度的乘积。恒与方向相同.物理意义:1受合外力矩作用,刚体转动状态将发生改变，产生角加速度。

当刚体的一定时，19第3章刚体力学基础(完全版)2当一定时，注意：1改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是力矩，而不是力！是刚体转动惯性大小的量度。I表征刚体保持其原有转动状态的能力。I是刚体的固有属性，与刚体处于什么状态无关．20第3章刚体力学基础(完全版)2为瞬间作用规律。一旦，立刻，匀角速度转动。3和，均对同一转轴而言。4代表作用于刚体的合外力矩，特别强调：系统所受合外力为零，一对力偶产生的力矩不为零。

以上内容的学习要点：掌握刚体定轴转动定律及用隔离体法求解(刚体+质点)系统问题的方法。21第3章刚体力学基础(完全版)

质量m—物体平动惯性大小的量度。转动惯量I—物体转动惯性大小的量度。§3-1.2转动惯量

动量:p=m

角动量:L=I

一.转动惯量的物理意义22第3章刚体力学基础(完全版)I=

Δmiri2即：质点体系的转动惯量等于各质点的质量乘以它到转轴距离的平方的总和。式中:r为刚体上的质元dm到转轴的距离。(1)质量离散分布质点体系二.转动惯量的计算(2)质量连续分布刚体

23第3章刚体力学基础(完全版)

三.平行轴定理Io=Ic+Md2Ic

通过刚体质心的轴的转动惯量;M

刚体系统的总质量;d

两平行轴(o,c)间的距离。IoIcdCMo24第3章刚体力学基础(完全版)平行轴定理的证明25第3章刚体力学基础(完全版)o

通过o点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为

(1)正三角形的各顶点处有一质点m，用质量不计的细杆连接,如图。系统对通过质心C且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为3=ml2+(3m)r2=2ml2例题质量离散分布刚体:I=

Δmiri2lll·crmmm刚体的转动惯量不仅依赖于质量的大小，而且还依赖于质量到转轴的空间分布。+ml2=2ml2ml2IO=26第3章刚体力学基础(完全版)

(2)用质量不计的细杆连接的五个质点,如图所示。转轴垂直于质点所在平面且通过o点,转动惯量为IO=m.02=30ml2+2m(2l2)+3m(2l)2+4ml2+5m(2l2)om2m3m4m5mllll27第3章刚体力学基础(完全版)

(1)质量为m、长度为l的细直棒，可绕通过质心C且垂直于棒的中心轴转动，求转动惯量。例题质量连续分布刚体:记住！

若棒绕一端o转动，由平行轴定理，则转动惯量为

Cdxdmxxo

解方法：将细棒分为若干微元dm=(m/l)dx,然后积分得o28第3章刚体力学基础(完全版)R

(3)均质圆盘(m,R)绕中心轴转动时，可将圆盘划分为若干个半径r、宽dr的圆环积分：

(2)均质细圆环(m,R)绕中心轴转动时，其转动惯量为

dmrdr29第3章刚体力学基础(完全版)

解由M=Iβ,=o+βt

有外力矩时,

例题以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，在10s内该轮的转速均匀地由零增大到100rev/min。此时撤去该力矩,转轮经100s而停止。试推算此转轮对该轴的转动惯量。

撤去外力矩时,-Mr=Iβ2,

β2=-/t2(2)20=J

1，

1=/t1(因o=0)20-Mr=Iβ1，β1=/t1(因o=0)(1)代入t1=10s,t2=100s,

=(100×2)/60=10.5rad/s,解式(1)、(2)得

I=17.3kg.m2。30第3章刚体力学基础(完全版)

解

对柱体,由转动定律M=Iβ有

mg.R=Iβ

这式子对吗？

例题质量为M、半径为R的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为m的物体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。mg

TmMR

对m:mg-T=ma错！此时绳中张力Tmg。隔离体法+转动定理。解得β=2mg/[(2m+M)R],T=Mmg/(2m+M)。对柱：TR=Iβ关联方程：a=Rβ31第3章刚体力学基础(完全版)求解联立方程，代入数据，可得

=2m/s,T1=48N,T2=58N。m1:T1R=m1R2β1

m2:T2r-T1r=m2r2β2

例题两匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，质量m1=24kg，m2=5kg。一轻绳缠绕于盘m1上，另一端通过盘m2后挂有m=10kg的物体。求物体m由静止开始下落h=0.5m时，物体m的速度及绳中的张力。

解各物体受力情况如图所示。T1T1m1Rβ1m2β2rT2mgmm:mg-T2=maa=Rβ1=rβ2,

2=2ah32第3章刚体力学基础(完全版)小结:若一个系统的运动包含物体平动和刚体的转动处理办法：对平动的物体，分析受力，按照列方程。对转动的刚体，分析力矩，按照列方程。补加转动与平动的关联方程联立求解各方程。33第3章刚体力学基础(完全版)

例题一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可绕一水平光滑轴o在竖直平面内转动，Ao=

l/3。今使棒从水平位置由静止开始转动，求棒转过角

时的角加速度和角速度。

CmgABo

解细棒AB受的重力可集中在质心，故重力的力矩为34第3章刚体力学基础(完全版)完成积分得讨论:

(1)当

=0时，β=3g/2l，

=0

；

(2)当

=90°时，β=0，又因CmgABo

35第3章刚体力学基础(完全版)

例题匀质圆盘：质量m、半径R，以

o的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数为µ，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？

解将圆盘分为无限多个半径为r、宽为dr的圆环，用积分计算出摩擦力矩。

o水平桌面rdr36第3章刚体力学基础(完全版)于是得由

=

o+βt=0得

又由

2-o2=2β

，所以停下来前转过的圈数为

o水平桌面rdr37第3章刚体力学基础(完全版)

§3-2定轴转动的角动量守恒定律

上式的物理意义是：合外力矩的冲量(冲量矩)等于物体角动量的增量。定轴转动方程:若物体所受的合外力矩为零(即Ｍ＝0)时，则

I

=常量

这表明：当合外力矩为零时，物体的角动量将保持不变，这就是定轴转动的角动量守恒定律。38第3章刚体力学基础(完全版)

当系统所受的合外力力矩为零时，系统的总角动量的矢量和就保持不变。

在日常生活中,利用角动量守恒的例子也是很多的。

系统角动量守恒定律：

系统动量守恒是：时,

对比：

时,系统角动量守恒：39第3章刚体力学基础(完全版)40第3章刚体力学基础(完全版)

角动量守恒在现代技术中有着非常广泛的应用。例如直升飞机在未发动前总角动量为零,发动以后旋翼在水平面内高速旋转必然引起机身的反向旋转。为了避免这种情况,人们在机尾上安装一个在竖直平面旋转的尾翼,由此产生水平面内的推动力来阻碍机身的旋转运动。与此类似,鱼雷尾部采用左右两个沿相反方向转动的螺旋浆来推动鱼雷前进,也是为了避免鱼雷前进中的自旋。安装在轮船、飞机、导弹或宇宙飞船上的回转仪(也叫“陀螺”)的导航作用，也是角动量守恒应用的最好例证。

以上内容的学习要点：掌握角动量守恒的条件及用角动量守恒定律求解问题的方法。41第3章刚体力学基础(完全版)

解

(1)杆+子弹：竖直位置，外力(轴o处的力和重力)均不产生力矩，故碰撞过程中角动量守恒：

解得

例题匀质杆：长为l、质量M，可绕水平光滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂。质量为m的子弹以水平速度

o射入杆上的A点，并嵌在杆中，oA=2l/3,求:(1)子弹射入后瞬间杆的角速度;m

ooA

42第3章刚体力学基础(完全版)

例题匀质园盘(M、R)与人(m,视为质点)一起以角速度

o绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动，如图所示。当此人从盘的边缘走到盘心时，圆盘的角速度是多少？

解

(1)系统(圆盘+人)什么量守恒？

o系统角动量守恒：43第3章刚体力学基础(完全版)

解

(1)系统(圆盘+人)什么量守恒？

例题5-12

匀质园盘(m、R)与一人(,视为质点)一起以角速度

o绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动,如图所示。如果此人相对于盘以速率

、沿半径为的园周运动(方向与盘转动方向相反),求:

(1)圆盘对地的角速度;(2)欲使园盘对地静止，人相对园盘的速度大小和方向？

o

上式正确吗？系统角动量守恒：44第3章刚体力学基础(完全版)

o

角动量守恒式子是：

错！因为角动量守恒定律只适用于惯性系。

所以应代入人相对于惯性系(地面)的角动量。45第3章刚体力学基础(完全版)解出：

o

人对地=

人对盘+

盘对地

人对地=+

46第3章刚体力学基础(完全版)(2)欲使盘静止，可令得式中负号表示人的运动方向与盘的初始转动(

o)方向一致。

o

47第3章刚体力学基础(完全版)刚体的转动动能为

1.刚体的转动动能=刚体上各质点动能之和。设刚体绕一定轴以角速度

转动，第i个质点Δmi到转轴的距离为ri,

Δmi的线速度

i=ri

,相应的动能质点的平动动能为对比！§3-3定轴转动中的功和能一.刚体的转动动能Z

mi

irio48第3章刚体力学基础(完全版)

设物体在力F作用下，绕定轴oz转动，则力F的元功是二.力矩的功

力矩的功率是ZFdsd

op

r即：力矩的元功等于力矩M和角位移d

的乘积。=Frdsin=Md

dA=Fdscos(90-)49第3章刚体力学基础(完全版)

上式说明：合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。这便是定轴转动的动能定理。

三.刚体定轴转动的动能定理对比:质点动能定理：（I=恒量）50第3章刚体力学基础(完全版)

一个包括有刚体在内的系统,如果只有保守内力作功,则这系统的机械能也同样守恒。式中,hc为刚体质心到零势面的高度。

四.机械能守恒定律在刚体系统中的应用

在计算刚体的重力势能时，可将它的全部质量集中在质心。刚体的机械能为51第3章刚体力学基础(完全版)

例题均匀细直棒：质量m、长为l，可绕水平光滑固定轴o转动。开始时，棒静止在竖直位置，求棒转到与水平面成

角时的角速度和角加速度。

Chco

解

棒在转动的过程中，只有保守力(重力)作功，故机械能守恒。取水平面为零势面，于是有由上得52第3章刚体力学基础(完全版)

讨论：本题也可先由M=Iβ求出β，再用β=d/dt积分求出

，如ppt34例题那样。

Chco角加速度：53第3章刚体力学基