反三角函数大全

反三角函数大全定义式

函数公式倒数关系：①

②

③商数关系：①

②

平方关系：①

②

③

诱导公式公式1：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式2：设为任意角，与

的三角函数值之间的关系：公式3：任意角与的三角函数值之间的关系：公式4：与的三角函数值之间的关系：公式5：与的三角函数值之间的关系：公式6：及与的三角函数值之间的关系：记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限，即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。

基本公式【和差角公式】◆

二角和差公式◆

三角和公式【和差化积公式】口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．【积化和差公式】【倍角公式】◆

二倍角公式◆

三倍角公式◆

四倍角公式sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)]cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4)◆

五倍角公式◆

半角公式（正负由所在的象限决定）◆

万能公式◆

辅助角公式◆

余弦定理◆

三角函数公式算面积定理：在△ABC中，其面积就应该是底边对应的高的1/2，不妨设BC边对应的高是AD，那么△ABC的面积就是AD*BC*1/2。而AD是垂直于BC的，这样△ADC就是直角三角形了，显然

，由此可以得出，AD=ACsinC，将这个式子带回三角形的计算公式中就可以得到：，同理，即可得出三角形的面积等于两邻边及其夹角正弦值的乘积的一半。◆

公式：若△ABC中角A，B，C所对的三边是a,b,c：则S△ABC=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB.◆

反三角函数反三角函数主要是三个：

y＝arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]

y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]

y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)

sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域【-π/2,π/2】◆

反三角函数公式:arcsin(-x)=-arcsinx

arccos(-x)=π－arccosx

arctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=π－arccotxarcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)当x∈〔—π/2，π/2〕时，有arcsin(sinx)=x

当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=x

x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x

x∈(0，π),arccot(cotx)=x

x〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似

若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

零基础入门高等数学：反三角函数虽然三角函数都是周期函数，并不满足“一一对应”，但是在某些局部上却是满足反函数存在的条件的，比如y=sinx在X∈[-π/2，π/2]上的部分，我们把这些局部取出来，求其反函数，并定义为反三角函数：对于反三角函数，我们最需要关注的是它们的定义域和值域。在高数学习中，尤其是微积分计算中，我们经常用到的是y=arcsinxy=arccosx和y=arctanx这三个反三角函数。

反三角函数的定义与基本运算1反函数存在的条件要讲反三角函数，首先要从反函数说起。高等数学教材对函数的定义如下：注意：虽然这里笔者将函数和映射混同（这是为了便于处于初等数学阶段的读者理解），但是二者实际不同——前者是后者的特殊情况，要求定义域和值域均为数集（即上图中的定义实为函数的定义），请处于高等数学阶段的读者注意区分。并且，为了便于书写，我们姑且认为上述定义中的Y集合为值域。（事实上，值域应为Y集合的子集；若Y集合恰为值域，我们称此映射为满射）故函数（或映射）的要义在于“唯一对应”。因此，一个函数要有反函数，必须保证由Y反过来向X对应时必须唯一。例如，函数y=x²之所以为函数，是因为对于每一个x的取值，x²的值是唯一确定的；但反之，对于一个确定的y即x²的值，如1，反过来对应到x时并不唯一（有±1两个值），因此没有反函数。从图象角度看，一个函数要有反函数，必须保证其图象与任意一条水平线至多有一个交点，用严格的数学语言表述如下：在高等数学中，我们称此类映射为单射；若一个映射既是满射又是单射，则称之为双射。有且仅有双射存在逆映射（反函数）。根据上式，是不是意味着，只有单调函数才有反函数呢？乍一想似乎如此，至少单调函数才有反函数是确凿无误的。但是这并非必要条件，例如，反比例函数就有反函数，并且反函数是其本身，而反比例函数并不单调。进一步想，虽然反比例函数在整个定义域上不单调，但在每一个连续区间内都是单调的。因此，可以说双射必定在每个连续区间内单调。然而反过来又不成立，即在每个连续区间内单调的函数不一定是双射。显然，下面的函数就是一个例子：总之，判断一个函数是否为双射（重点是判断是否为单射），主要还是依靠单射的定义，即：2反三角函数的定义显然，正余弦函数、正余切函数中的任一都没有反函数。为使之存在反函数，需要限定定义域的范围，但在此定义域下又必须让函数值取满原有的值域。因此，我们限定这四个三角函数的定义域如下：同样，对于一系列结论，一方面要知道过程，另一方面要观察特点。容易发现：（1）所有限定的范围都包含[0,π/2]这个区间；（2）“正角”三角函数的范围还要加上另一半负角，“余角”三角函数的范围还要加上[0,π/2]后面的一个等长区间；（3）“弦”的三角函数都为闭区间，“切”的三角函数都为开区间。接下来，根据反函数的定义，定义域和值域互换，对应关系反向。并且我们给新的对应关系一个符号，即在原函数前加上前缀“arc”。这仅仅是一个符号，我们只需理解它的含义，并且始终记住，反三角函数值是一个弧度制的角，不要被符号本身吓住。于是我们得到：定义域是函数的灵魂。凡是带有反三角函数的问题，都要重点关注定义域。更多关于反三角函数性质的内容将会放在下一节，这一节我们主要对反三角函数的基本运算熟练掌握，这将会更加有利于我们研究其性质。3反三角函数的基本运算初学者或许大多和我一样，反三角函数符号的复杂性，导致我们忽视了反三角函数的本质，因此在运算时反应慢、思维不清晰。在此我提出一种方法，或许有助于和我一样的初学者上手反三角函数，待日后熟练后，就可以跳过这个方法，达到熟能生巧的境界。对于复杂的符号或代数式，换元是一种值得考虑的方法。如我们要求下列各式的值：以（1）为例，始终记住反三角函数的自变量是某个三角函数值，结果是一个角，那么我们可以设arcsin(1/2)为α，于是我们可以按如下过程解答：其中判定α，即反三角函数值的范围是一个非常重要的过程，不建议初学者省略。这里再按此步骤解答第(6)小题，其余计算请读者自行尝试解答，答案一定很简单，只需要验证结果是否符合上面表格中函数值的范围即可。尤其要注意计算sin(arcsin(x))和arcsin(sin(x))这类函数时反三角函数的定义域和值域问题。不过这两个函数的具体情况将在下一节中阐述，本节中只需要知道后者的结果一定在[-π/2,π/2]以内即可。这里最后再计算一下类似cos(arcsin(x))这样的非同名函数嵌套，运用的方法同样是换元：再次强调，判断范围仍然是非常重要的一步！4总结本节从映射及其相关概念出发，先声明了反函数存