数学人教A版（2023）选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算课件（共36张ppt）-1

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1.1.1空间向量及其线性运算

学习目标

（1）经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，发展数学抽象素养；

（2）掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；

（3）掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；

（4）借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.

人教A版2023高中数学选择性必修第一册

空间向量

空间向量的基本概念（重点）

空间向量的线性运算（重点）

1

2

共线、共面定理

3

情景引入

这是一个做滑翔伞运动的场景.你能想象,在滑翔过程中,

飞行员会受到来自哪些不同方向、大小各异的力吗？

正东

正北

向上

已知F1=10N,F2=15N，F3=15N

这三个力两两之间的夹角都为90度,

它们的合力的大小为多少N

F3

F1

F2

这需要进一步来认识空间中的向量

问题1：

问题2：

如图：已知OA=6米，

AB=6米，BC=3米，

那么OC=

空间向量的定义及相关概念

1.定义

在空间,我们把具有和的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的.

大小

方向

长度或模

探究新知

2.空间向量及其模的表示方法

空间向量用字母a,b,c,…表示.空间向量也用有向线段来表示，有向线段的长度表示空间向量的模.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为.

或

A

B

a

名称概念记法

零向量

单位向量

相反向量

共线向量或平行向量

相等向量

与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量

3.空间向量的相关概念

长度为0的向量

模为1的向量

如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量

方向相同且模相等的向量

∥

注意：

∥

探究新知

类型空间向量的有关概念②③④1)平面向量的加法1：

C

A

B

首尾相接

探究空间向量的线性运算

平面向量的加法2：

O

A

B

C

起点相同

O

A

B

起点相同

2)平面

问题空间向量线性运算的运算律？

（1）交换律：

；

（2）结合律：

；

（3）分配律：

，

.

如何证明空间向量的加法结合律

a

c

b

在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，记

则a+(b+c)＝

(a+b)+c＝

所以有：a+(b+c)＝(a+b)+c.

a，b，c.

练习巩固

例如图，E、F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量

(1)

(2)

(3)

(4)

练习巩固

练习用表示.

新知探索

问题：对任意两个空间向量与，如果，与有什么位置关系？反过来，与有什么位置关系时，？

类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使.

如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.

新知探索

我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量.这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.

共面向量

平行于__________的向量叫做共面向量．

1.定义

同一个平面

我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是

共面的，也可能是不共面的。

那么，什么情况下三个空间向量共面呢？

如图：如果表示向量的有向线段所在的直线与

直线平行或重合，那么称向量平行于直线.

O

A

l

如果直线平行于平面或在平面内,那么向量平行于平面.

探究思考:

对平面内任意两个不共线的向量由平面向量基本定理可知，这个平面内

的任意一个向量都可以写成，其中是唯一确定的有序实数对.

对两个不共线的空间向量，如果，那么向量与向量有什么

位置关系？

反过来，向量与向量有什么位置关系时，？

猜想：

如果空间两个向量不共线，

则向量与向量共面存在唯一的有序实数对使.

2.共面向量定理：

O

A

C

B

空间两个向量不共线，向量与向量共面存在唯一的有序

实数对使.

证明：（1）必要性，如果向量与向量共面，则通过平移一定可以使它们位于同一平面内.

使得.

由平面向量基本定理可知，存在唯一的实数对

（2）充分性，如果向量满足，则可选定一点O，

作

于是

显然都在平面内，故共面.

3.推论（判断点在平面内）：

M

α

引入空间任一点,

可变式为

空间一点位于平面内存在唯一的有序实数对使.

推论1：空间四点共面存在唯一有序实数对使

如果我们令

则,其中.

推论2：空间四点共面存在唯一的有序实数对使

其中.

例(1)(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是

√

√

(2)(链接教材P5例1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M四点共面.

跟踪训练已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：

(1)E，F，G，H四点共面.

(2)BD∥平面EFGH.

(2)BD∥平面EFGH.

所以EH∥BD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.

1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：

(A)若，则P、A、B共线

(B)若，则P是AB的中点

(C)若，则P、A、B不共线

(D)若，则P、A、B共线

2.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点

O,,则x的值为()

巩固练习

3.下列说明正确的是：(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线

(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线

(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线

(D)在空间共线的向量在平面内一定共线

4.下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线

(B)空间的任意三个向量都不共面

(C)空间的任意两个向量都共面

(D)空间的任意三个向量都共面

巩固练习

A

B

M

C

G

D

(2)原式

5.在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简

巩固练习

A

B

C

D

D

C

B

A

6.在立方体AC1中,点E是面A’C’的中心,求下列各式中的x,y.

E

答案:(1)x=1

(2)x=y=1/2

巩固练习

8.已知正方体，点E是上底面的中心，

求下列各式中x、y、z的值：

A

B

C

D

A1

B1

C1

D1

M

N

9.平行六面体，M分成的比为，N分成的比为2，设

试用