高考数学-第2章第9节函数与方程课件

高考数学-第2章第9节函数与方程课件第一页，共50页。第一页第二页，共50页。

[备考方向要明了]考

什

么1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联

系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近

似解.第二页第三页，共50页。怎

么

考1.函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点．2.利用函数的图形及性质判断函数的零点，及利用它们求

参数取值范围问题是重点，也是难点．3.题型以选择题和填空题为主，常与函数的图象与性质交

汇命题.第三页第四页，共50页。第四页第五页，共50页。1.函数的零点(1)定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使

成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的

关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与

有交点

⇔函数y＝f(x)有

．f(x)＝0x轴零点第五页第六页，共50页。3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

，那么函数y＝f(x)在区间

内有零点，即存在c∈(a，b)，使得

，这个

也就是f(x)＝0的根．f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝0c第六页第七页，共50页。二、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系>0＝0<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)无交点零点个数两个一个零个(x1,0)，(x2,0)第七页第八页，共50页。3．用二分法求方程近似解(1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且

的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间

，使区间的两个端点逐步逼近

，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)<0一分为二零点第八页第九页，共50页。(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(ⅲ)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε.即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.第九页第十页，共50页。第十页第十一页，共50页。1．(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是 (

)答案：C第十一页第十二页，共50页。答案：C第十二页第十三页，共50页。3．(教材习题改编)在以下区间中，存在函数f(x)＝x3＋3x－3的零点的是 (

)A．[－1,0] B．[1,2]C．[0,1] D．[2,3]第十三页第十四页，共50页。答案：

C解析：注意到f(－1)＝－7<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝1>0，f(2)＝11>0，f(3)＝33>0，结合各选项知，选C.第十四页第十五页，共50页。解析：由f(2)·f(3)<0可知．答案：(2,3)第十五页第十六页，共50页。答案：

(－2,0)5．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．解析：∵函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上有零点．∴f(0)f(1)<0.即a(a＋2)<0，解得－2<a<0.第十六页第十七页，共50页。第十七页第十八页，共50页。1．函数的零点不是点函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．第十八页第十九页，共50页。2．函数零点具有的性质对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质：(1)当它通过零点(不是偶次零点)时，函数值变号；(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．第十九页第二十页，共50页。3．零点存在定理的零点个数(1)在(a，b)上存在零点(此处的零点不仅指变号零点)，

个数不定，若仅有变号零点，则有奇数个．(2)若函数在(a，b)上有零点，不一定有f(a)·f(b)<0.第二十页第二十一页，共50页。第二十一页第二十二页，共50页。第二十二页第二十三页，共50页。[答案]

B[自主解答]

当x≤0时，x2＋2x－3＝0，解得x＝1或－3，则f(x)在(－∞，0]上有一个零点；当x>0时，－2＋lnx＝0，解得x＝e2，则f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，所以f(x)共有2个零点．第二十三页第二十四页，共50页。第二十四页第二十五页，共50页。[答案]

C第二十五页第二十六页，共50页。[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)答案：

B第二十六页第二十七页，共50页。第二十七页第二十八页，共50页。答案：D第二十八页第二十九页，共50页。[冲关锦囊]

函数零点的判断方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个

解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]

上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数

的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少

个零点；第二十九页第三十页，共50页。(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交

点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有

几个不同的零点．第三十页第三十一页，共50页。[精析考题][例2]

(2012·济南模拟)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数值如下：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________．f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.162f(1.40625)＝－0.054第三十一页第三十二页，共50页。[答案]

1.4375(答案不唯一)[自主解答]

通过参考数据可以得到：f(1.375)＝－0.260<0，f(1.4375)＝0.162>0，且1.4375－1.375＝0.0625<0.1，所以，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.4375.第三十二页第三十三页，共50页。3．(2012·锦州模拟)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]上的近似解，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解区间为________．第三十三页第三十四页，共50页。答案：

[2,2.5]第三十四页第三十五页，共50页。[冲关锦囊]求函数的零点在某精确度下的近似值，首先要熟练掌握用二分法求函数零点的一般步骤．其次要注意正确计算，不能有小的计算错误．第三确定好精确度，根据精确度终止计算.第三十五页第三十六页，共50页。[精析考题][例4]

(2011·辽宁高考改编)已知函数f(x)＝ex－x＋a有零点，则a的取值范围是________．第三十六页第三十七页，共50页。[自主解答]∵f(x)＝ex－x＋a，∴f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0.当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上是减函数，当x>0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．故f(x)min＝f(0)＝1＋a.若函数f(x)有零点，则f(x)min≤0.即1＋a≤0，∴a≤－1.[答案]

(－∞，－1]第三十七页第三十八页，共50页。若函数变为f(x)＝lnx－2x＋a，其他条件不变，求a的取值范围．第三十八页第三十九页，共50页。第三十九页第四十页，共50页。[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)4．(2012·天津联考)若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是(

)A．(－2,2) B．[－2,2]C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)第四十页第四十一页，共50页。答案：

A解析：函数f(x)有3个不同的零点，即其图象与x轴有3个不同的交点，因此只需f(x)的极大值与极小值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，则x＝±1，故极值为f(－1)和f(1)，f(－1)＝a＋2，f(1)＝a－2，所以应有(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2,2)．第四十一页第四十二页，共50页。5．(2012·南通质检)已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是________．答案：

(2,3)解析：因为Δ＝(1－k)2＋4k＝(1＋k)2≥0对一切k∈R恒成立，又k＝－1时，f(x)的零点x＝－1∉(2,3)，故要使函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则必有f(2)·f(3)<0，即2<k<3.第四十二页第四十三页，共50页。[冲关锦囊]此类利用零点求参数范围的问题，可利用方程，有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解，使得问题简单明了，这也体现了数形结合思想．第四十三页第四十四页，共50页。第四十四页第四十