中考相似三角形

年级科目授课教师授课类型学生姓名教学时间课时2H教学主题1.理解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2.相似三角形教学目的重点难点课前检查作业完毕状况：优□良□中□差□提议：教学过程及内容相似三角形【知识网络】【知识点梳理】一、比例线段1.比例线段的有关概念在四条线段a，b，m，n中，假如其中两条线段的比等于此外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.概念解读：①成比例线段是有次序的，若a，b，c，d是成比例线段，则a：b=c：d，其中线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.②假如b=c，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.③在判断成比例线段时，长度单位必须相似。例1.（秋•朝阳区校级月考）下面四组线段中，成比例的是（）A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4 C．a＝4，b＝6，c＝5d＝10 D．a=2，b=3，c＝3，【分析】假如其中两条线段的乘积等于此外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、2×5≠3×4，故选项错误；B、1×4＝2×2，故选项对的；C、4×10≠5×6，故选项错误；D、3×3≠2×【点评】此题考察了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，此外两个相乘，看它们的积与否相等．同步注意单位要统一．【变式1-1】（•成都模拟）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则d的长度为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．9cm【分析】由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义计算即可．【解答】解：由于a，b，c，d是成比例线段，可得：d=2×63=4cm【点评】此题考察了成比例线段的定义．此题比较简朴，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．【变式1-2】（•龙岗区校级模拟）若a是2，4，6的第四比例项，则a＝；若x是4和16的比例中项，则x＝．【分析】根据第四比例项的概念，得2：4＝6：a，则a可求；根据比例中项的概念，得x2＝4×16，则x可求．【解答】解：∵a是2，4，6的第四比例项，∴2：4＝6：a，∴a＝12；∵x是4和16的比例中项，∴x2＝4×16，解得x＝±8．故答案为：12；±8．【点评】考察了比例线段，此题的重点是理解第四比例项、比例中项的概念，根据概念对的写出比例式．【变式1-3】（秋•皇姑区期末）已知四条线段a，3，a+1，4是成比例线段，则a的值为．【分析】根据对于四条线段a、b、c、d，假如其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【解答】解：∵四条线段a，3，a+1，4是成比例线段，∴a：3＝（a+1）：4即3（a+1）＝4a解得a＝3．故答案为3．【点评】本题考察了比例线段，处理本题的关键是掌握比例线段的定义．二、黄金分割【措施点拨】黄金分割：把线段AB提成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=5例2.（•福建模拟）在线段AB上，点C把线段AB提成两条线段AC和BC，假如ACAB=BCAC，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．若点P是线段MN的黄金分割点，当MN＝1时，【分析】分PM＞PN和PM＜PN两种状况，根据黄金比值计算．【解答】解：当PM＞PN时，PM=5−12MN=5−12，当PM＜PN时，PM故答案为：5−12或3−5【变式2-1】（秋•静安区期中）假如点C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段比的值不也许是5−1A．ACBC B．BCAC C．BCAB【分析】根据把一条线段提成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（5−1【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，∴AC2＝AB•BC（AC＞BC），则ACAB或BC2＝AB•AC（AC＜BC），则ACBC=BCAB=5−1【点评】此题重要考察了黄金分割比的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是处理问题的关键．【变式2-2】（春•相城区期末）如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表达AE为边长的正方形面积，S2表达以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表达正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（）A．5−12 B．5+12 C．【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB提成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=5−1【解答】解：如图，设AB＝1，∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，∴AE＝GF=5−12，∴BE＝FH＝AB﹣∴S3：S2＝（GF•FH）：（BC•BE）＝（5−12×=5−12【点评】本题考察了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，处理本题的关键是掌握黄金分割定义．【变式2-3】（•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN=GNMG=5−12，后人把5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，A．10﹣45 B．35−5 C．5−252【分析】作AH⊥BC于H，如图，根据等腰三角形的性质得到BH＝CH=12BC＝2，则根据勾股定理可计算出AH=5，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BE=5−12BC＝25【解答】解：作AH⊥BC于H，如图，∵AB＝AC，∴BH＝CH=12在Rt△ABH中，AH=32−22=5∴BE=5−12BC＝2（5−1）＝25−2，∴HE＝BE﹣BH＝2∴DE＝2HE＝45−8∴S△ADE=12×（45−8）×【点评】本题考察了黄金分割：把线段AB提成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=5−12AB≈0.618AB成比例线段、比例的基本性质①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c.（a,b,c,d,都不为0）；合比性质：；等比性质：例3.已知非零实数a,b,c,满足求c的值。【变式3-1】（•徐汇区一模）已知：a：b：c＝2：3：5（1）求代数式3a−b+c2a+3b−c的值；（2）假如3a﹣b+c＝24，求a，b，c【分析】（1）根据比例设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），然后裔入比例式进行计算即可得解；（2）先设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），然后将其代入3a﹣b+c＝24，即可求得a、b、c的值．【解答】解：（1）∵a：b：c＝2：3：5，∴设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），则3a−b+c2a+3b−c（2）设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），则6k﹣3k+5k＝24，解得k＝3．则a＝2k＝6，b＝3k＝9，c＝5k＝15．【点评】本题考察了比例的性质，运用“设k法”求解更简便．【变式3-2】（秋•永登县期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a+43=b+32=c+84，且a【分析】令第一种等式等于k，表达出a，b，c，代入第二个等式求出k的值，即可作出判断．【解答】解：设a+43=b+32=c+84=k，可得a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，代入a+b+c＝12得：9k﹣15＝12，解得：k＝3，∴【点评】此题考察了比例的性质，以及勾股定理的逆定理，纯熟掌握性质及定理是解本题的关键．【变式3-3】（秋•碑林区校级月考）已知2ab+c+d=2ba+c+d【分析】根据等比性质可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=k，分两种状况讨论，即可得到【解答】解：∵2ab+c+d=2ba+c+d=当a+b+c+d≠0时，k=2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=23；当a+b+c+d＝0时，b+c+d＝﹣综上所述，k的值为23【变式3-4】（秋•雁江区校级月考）已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+b−cc=a−b+c【分析】已知等式运用比例的性质化简表达出a+b，a+c，b+c，代入原式计算即可得到成果．【解答】解：当a+b+c≠0时，运用比例的性质化简已知等式得：a+b−cc即a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，整顿得：a+b＝2c，a+c＝2b，b+c＝2a，此时原式=8abc当a+b+c＝0时，可得：a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，则原式＝﹣1．综上可知，(a+b)(b+c)(c+a)abc四、平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．比例式仍成立，由于图形中有关的对应线段均没变化。例4.如图，已知DE//BC,EF//AB,现得到下列结论：其中对的比例式的个数有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【变式4-1】如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE//BC，AEEC=52，DE=10，则BCA.16

B.14

C.12

D.11【答案】B【解析】解：∵AEEC=52，∴AEAC=57，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC=DEBC五、相似三角形的基本图形【措施点拨】相似三角形的鉴定措施汇总：1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、鉴定定理1：假如一种三角形的两个角与另一种三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、鉴定定理2：假如一种三角形的两条边与另一种三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、鉴定定理3：假如一种三角形的三条边与另一种三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似例5.（秋•瑞安市期末）如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格构成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一种阴影部分的三角形与已知△ABC相似（）A． B． C． D．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，运用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AC=12+22=∴BC：AB：AC＝1：2：5，A、三边之比为1：2：5，选项A符合题意；B、三边之比2：5：3，选项B不符合题意；C、三边之比为2：5：17，选项C不符合题意；D、三边之比为5：5：4，选项D不符合题意．故选：A．【点评】此题考察了相似三角形的鉴定，纯熟掌握相似三角形的鉴定措施是解本题的关键．【变式5-1】（秋•顺义区期末）如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（）A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断．【解答】解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，又∵ABBC=ADDE=∴△ABC∽△ADE∽△HFA，故选：A．【点评】本题考察相似三角形的鉴定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识处理问题．（1）基础模型梳理--“A”字型【措施点拨】基础模型：A字型（平行）反A字型（不平行）斜A共边共角（1）斜A共边共角（2）例6.如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE//BC.若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的面积之比为(    )A.1：2

B.1：3

C.1：4

D.1：9【答案】D【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES【分析】由DE//BC可得出△ADE∽△ABC，运用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．本题考察了相似三角形的鉴定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【变式6-1】（•东明县模拟）如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．（1）求CE的长．（2）在△ABC中，点D，E，Q分别是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．小明认为DPBQ=【分析】（1）证明△ADE∽△ABC，因此ADAD+BD=AEAE+EC，代入数据即可求出CE的长度．（2）在△ABQ中，由于DP∥BQ，因此△【解答】解：（1）由DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAD+BD=AEAE+EC，∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴CE＝6．（2）结论对的，理由如下，在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△同理可得：EPCQ=【点评】本题考察相似三角形，解题的关键是纯熟运用相似三角形的性质与鉴定，本题属于中等题型．【变式6-2】（•东莞市一模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC=（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若ADAC=3【分析】（1）由∠AED＝∠B、∠DAE＝∠CAB运用相似三角形的鉴定即可证出△ADE∽△ACB；根据相似三角形的性质再得出∠ADF＝∠C，即可证出△ADF∽△ACG；（2）由（1）的结论以及相似三角形的性质即可求出答案．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△AED∽△ABC，∴∠ADF＝∠C，又∵ADAC∴△ADF∽△ACG；（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴ADAC=AFAG，∵ADAC【点评】本题考察相似三角形的性质和鉴定，记住相似三角形的鉴定措施是处理问题的关键，属于基础题．【变式6-3】（•越城区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．假如BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（）A．3：2 B．2：3 C．3：13 D．【分析】只要证明△ACD∽△CBD，可得ACBC【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴ACBC=CDBD=6【点评】本题考察相似三角形的鉴定和性质，解题的关键是对的寻找相似三角形处理问题，属于中考常考题型(2)相似基本模型（X字型）基础模型：X字型（平行）蝴蝶型（不平行）燕尾型图1：图2：图3：例7.如图，AB//CD，AOOD=23，则△AOB的周长与△DOCA.25

B.32

C.49

【答案】D【解析】解：∵AB//CD，∴∠A=∠D，∠B=∠C，∴△AOB∽△DOC，

，故选D．

【分析】由平行可证明△AOB∽△DOC，再结合条件运用相似三角形的性质可求得答案．

本题重要考察相似三角形的鉴定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．【变式7-1】（秋•滨江区期末）如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB与点E，交CD与点F，BO＝1，CO＝3，AO=32，DO（1）求证：∠A＝∠D．（2）若AE＝BE，求证：CF＝DF．【分析】（1）证明△OAB∽△ODC，可得出结论；（2）证得AB∥CD，可得AEDF=OE【解答】证明：（1）∵BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．∴OBOC∴△OAB∽△ODC，∴∠A＝∠D．（2）∵∠A＝∠D，∴AB∥CD，∴AEDF=OEOF，BECF=OEOF，∴AEDF【点评】本题考察了相似三角形的鉴定与性质，平行线分线段成比例定理．纯熟掌握定理内容是解题的关键．【变式7-2】（秋•花都区期末）如图：已知▱ABCD，过点A的直线交BC的延长线于E，交BD、CD于F、G．（1）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，求CG的长；（2）证明：AF2＝FG·FE．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，证明△EGC∽△EAB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可；（2）分别证明△DFG∽△BFA，△AFD∽△EFB，根据相似三角形的性质证明．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△EGC∽△EAB，∴CGAB=EC解得，CG＝1；（2）证明：∴AB∥CD，∴△DFG∽△BFA，∴FGFA=DFFB，∴AD∥CB，∴△AFD∽△∴FGFA=AFFE，即AF2＝【点评】本题考察的是平行四边形的性质，相似三角形的鉴定和性质，掌握相似三角形的鉴定定理和性质定理是解题的关键．【变式7-3】（秋•朔城区期末）如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求GEED的值【分析】证明△AFG∽△BFD，可得AGBD=AFBF=12，由AG∥【解答】解：∵AG∥BD，∴△AFG∽△BFD，∴AGBD=AF∴CD=13BD，∴AGCD=32，∵AG∥BD，∴△【点评】本题考察相似三角形的鉴定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是纯熟掌握基本知识．【变式7-4】（秋•黄浦区期中）如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BA•BC＝BD•BE．（1）求证：△ABD∽△EBC；（2）求证：AD2＝BD•DE．【分析】（1）根据相似三角形的鉴定证明△ABD∽△EBC即可；（2）由相似三角形的鉴定证明△ABD∽△EBC，△ADE∽△BEC，△AED∽△ABD，再运用相似三角形的性质证明即可．【解答】证明：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBC，∵BA•BC＝BD•BE．即ABBC=BDBE，∴△（2）∵△ABD∽△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∠ADB＝∠BCE，∵∠AED＝∠BEC，∴∠BAD＝∠AED，∴△ADE∽△BEC，∴△AED∽△ABD，∴ADBD=DEAD，即AD2＝【点评】此题考察相似三角形的鉴定和性质，关键是根据相似三角形的鉴定措施解答．

（3）相似基本模型（AX型）【措施点拨】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.（•丛台区校级三模）如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的长度．【分析】（1）由BD＝2AD，CE＝2AE可得出ADAB=AEAC，结合∠DAE＝∠BAC可证出△（2）由△ADE∽△ABC，运用相似三角形的性质可得出DEBC=13及∠ADE＝∠ABC，运用“同位角相等，两直线平行”可得出DE∥BC，进而可得出△DEF∽△【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴ADAB=AEAC=13，又∵∠DAE（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=13，∠ADE＝∠ABC，∴DE∴DFCF=DECB，即【点评】本题考察了相似三角形的鉴定与性质以及平行线的鉴定，解题的关键是：（1）运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证出△ADE∽△ABC；（2）运用相似三角形的性质及平行线的鉴定定理，找出DE∥BC．【变式8-1】（•江夏区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．假如CEBE=2【分析】由平行四边形的性质可得出AD∥BC，AD＝BC，由AD∥BE可得出△BEF∽△DAF，运用相似三角形的性质结合CEBE=23可得出AE=83EF，由CE∥AD可得出△CEG∽DAG，运用相似三角形的性质可得出GE=25GA=23AE，代入AE=83EF即可得出FEEG=916．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∴EFAF=BEDA．又∵BC＝BE+CE，CEBE=23，∴BE=35BC=35∵CE∥AD，△CEG∽DAG，∴GEGA=CEDA=22+3，∴GE=25GA，∴GE【点评】本题考察了相似三角形的鉴定与性质以及平行四边形的性质，运用相似三角形的性质，找出AE=83EF及GE=【变式8-2】（秋•五华县期末）已知，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，连接EM，分别交线段AD于点F、AC于点G．（1）求证：△AFG∽△CMG；（2）求证：GFGM=【分析】（1）可得出∠FAG＝∠MCG，又∠AGF＝∠CGM，则结论得证；（2）由（1）可得出GFGM=AFCM，证明△AEF∽△BEM，可得出AFBM【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠FAG＝∠MCG，∵∠AGF＝∠CGM，∴△AFG∽△CMG；（2）证明：∵△AFG∽△CMG，∴GFGM=AFCM∵AD∥BC，∴△AEF又∵CM＝BM，∴AFCM=EF【点评】本题考察平行四边形的性质，相似三角形的鉴定和性质等知识，解题的关键是纯熟掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式8-3】（•黄浦区一模）如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，ABCD=1（1）求证：AB∥EF；（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．【分析】（1）只要证明BEED=BFFC=（2）设△ABE的面积为m．运用相似三角形的性质，等高模型求出△BCE，△ECD的面积即可处理问题；【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴ABCD=BEED=12，∵BFCF=12（2）解：设△ABE的面积为m．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴S△ABES△EDC=（AB∴S△CDE＝4m，∵AECE=ABCD=12，∴S△BEC＝2m，∴S△ABE：S△EBC：S△ECD【点评】本题考察平行线的鉴定和性质，相似三角形的鉴定和性质，等高模型等知识，解题的关键是纯熟掌握基本知识，学会运用参数处理问题，属于中考常考题型．相似基本模型（一线三等角型）①同侧型②异侧型例9.（•肥东县二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D是AC中点，E是BC上一点，BE=52，∠AED＝∠B，则CEA．152 B．223 C．365【分析】证明△BAE∽△CED，推出BACE【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠B，∴∠DEC＝∠BAE，∴△BAE∽△CED，∴BACE=BECD，∵AB＝AC＝6，AD＝DC＝3，BE∴CE=365，故选：【点评】本题考察相似三角形的鉴定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是对的寻找相似三角形处理问题，属于中考常考题型．【变式9-1】（秋•资阳区期末）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC的边长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据等边三角形性质求出AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，推出∠BAP＝∠DPC，即可证得△ABP∽△PCD，据此解答即可，．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°，∵∠APD＝60°，∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BAP＝∠DPC，即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD；ABPC=BPCD，∵∴ABAB−2=21，∴AB＝4，∴△【点评】本题考察了相似三角形的性质和鉴定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD，重要考察了学生的推理能力和计算能力．【变式9-2】（秋•杨浦区校级月考）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝5，D是AB上一点，BD＝2，E是BC上一动点，联结DE，并作∠DEF＝∠B，射线EF交线段AC于F．（1）求证：△DBE∽△ECF；（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；（3）联结DF，假如△DEF与△DBE相似，求FC的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，由三角形的内角和和平角的定义得到∠DEF＝∠B，根据相似三角形的鉴定定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到结论；（3）当∠BED＝∠EDF，得到DF∥BC，根据平行线的性质得到∠ADF＝∠B，∠AFD＝∠C，根据等腰三角形的性质得到CF＝2；当∠DFE＝∠BED，推出点E在∠BDF与∠DFC的角平分线上，过E作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，EG⊥DF于G，连接AE，得到AE是∠BAC的角平分线，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C，∵∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED，∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠BED，∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF，∴△DBE∽△ECF；（2）∵△DBE∽△ECF，∴BDCE=BECF，∵F是线段AC中点，∴CF=12（3）∵△DEF与△DBE相似，∴∠BED＝∠EDF，或∠DFE＝∠BED，当∠BED＝∠EDF，∴DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∠AFD＝∠C，∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF＝4，∵AC＝6，∴CF＝2；当∠DFE＝∠BED，∵△DBE∽△ECF，∴∠BED＝∠CFE，∴∠DFE＝∠CFE，∠BDE＝∠FDE，∴点E在∠BDF与∠DFC的角平分线上，过E作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，EG⊥DF于G，连接AE，∴EM＝EG＝EN，∴AE是∠BAC的角平分线，∴BE＝CE=52，∵△DBE∽△ECF，∴BDCE=BECF综上所述，FC的长为2或258．【点评】本题考察了相似三角形的鉴定和性质，等腰三角形的性质，平行线的鉴定和性质，角平分线的性质，对的的作出辅助线是解题的关键．【变式9-3】（•嘉定区二模）已知：△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上（点E不与点A、B重叠），点F在边AC上，联结DE、DF．（1）如图1，当∠EDF＝90°时，求证：BE＝AF；（2）如图2，当∠EDF＝45°时，求证：DE【分析】（1）连接AD，证△BDE≌△ADF（ASA），即可得出结论；（2）证明△BDE∽△CFD．得出BECD=BDCF=DEDF【解答】证明：（1）连接AD，如图1所示：在Rt△ABC中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵点D是边BC的中点，∴AD=12BC＝BD，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠B＝∠∵∠EDF＝90°，∴∠ADF+∠ADE＝90°∵∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，∠B=∠CADBD=AD∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝∵∠BDF＝∠BDE+∠EDF，∠BDF＝∠C+∠CFD，∴∠BDE+∠EDF＝∠C+∠CFD．又∵∠C＝∠EDF＝45°，∴∠BDE＝∠CFD，∴△BDE∽△CFD．∴BECD=BD又∵BD＝CD，∴DE【点评】本题考察了相似三角形的鉴定与性质、全等三角形的鉴定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；纯熟掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．六．相似三角形的应用例10.身高为165cm的小冰在中午时影长为55cm，小雪此时在同一地点的影长为60cm，那么小雪的身高为(    )A.185cm B.180cm C.170cm D.160cm【答案】B【解析】解：∵小冰的身高小冰的影长=小雪的身高小雪的影长，∴小雪的身高=小冰的身高小冰的影长×小雪的影长=165【变式10-1】在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似(    )A.①处 B.②处 C.③处 D.④处【答案】B【解析】本题考察了相似三角形的知识，解题的关键是运用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大．确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后运用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．

【解答】解：帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、25、42；

“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为5，“车”②之间的距离为22，

∵525=【变式10-2】如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一种与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC=0.5米，A、B、C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB约为(    )A.8.5米 B.9米 C.9.5米 D.10米【答案】A【解析】解：由题意∠AGC=∠FGE，∵∠ACG=∠FEG=90°，∴△ACG∽△FEG，∴ACEF=CGGE，∴AC1.6=153，

∴AC=8，∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米．

【变式10-3】已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合规定的作图痕迹是(    )A. B.

C. D.【答案】A【分析】本题重要考察作图−相似变换，根据相似三角形的鉴定明确过点D作一角等于∠B或∠C，并纯熟掌握做一种角等于已知角的作法是解题的关键．以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一种角等于∠B，角的另一边与AB的交点即为所求作的点．

【解答】解：如图，点E即为所求作的点．

故选：A．

【变式10-4】如图，有一块直角边AB=4cm，BC=3