材料力学-单祖辉-第三版课后答案-(第九章-第十九章)

第九章强度理论9-3已知脆性材料的许用拉应力[]与泊松比，试根据第一与第二强度理论确定纯剪切时的许用切应力[]。解：纯剪切时的主应力为2,013根据第一强度理论，要求[]1即要求[]由此得切应力的最大许可值即许用切应力为[][]根据第二强度理论，要求()[]123即要求[]由此得相应许用切应力为[][]19-4试比较图示正方形棱柱体在下列两种情况下的相当应力，弹性常数E和均r3为已知。(a)棱柱体轴向受压；(b)棱柱体在刚性方模中轴向受压。题9-4图(a)解：对于棱柱体轴向受压的情况（见题图a），三个主应力依次为σσ0，σσ123由此可得第三强度理论的相当应力为1σσσσr3(a)13(b)解：对于棱柱体在刚性方模中轴向受压的情况（见题图b），可先取受力微体及坐标如图9-4所示，然后计算其应力。图9-4由图9-4可得σσy根据刚性方模的约束条件，有εE1[σμ(σσ)]0xxyz即σμ(σσ)xyz注意到σσzx故有μσσ1μσxz三个主应力依次为μσ，σ3σσσ1μ12由此可得其相当应力为12μσ1μσσσ(b)r313按照第三强度理论，(a)与(b)两种情况相当应力的比值为rσr3(a)1μ1σ12μr3(b)这表明加刚性方模后对棱柱体的强度有利。9-5图示外伸梁，承受载荷F=130kN作用，许用应力[]=170MPa。试校核梁的强度。如危险点处于复杂应力状态，采用第三强度理论校核强度。2题9-5图解：1.内力分析B截面为危险截面，剪力与弯矩均为最大，其值分别为由题图可知，FSF130kN，MFl213010N0.600m7.8010Nm342．几何性质计算0.1220.280312(0.1220.0085)(0.28020.0137)I[3]m47.07105m412z7.071050.140Wm35.05104m3zS0.1220.0137(0.1400.0137)m32.23104m32S2z(b)z(a)12S[2.231040.0085(0.1400.0137)2]m32.90104m3z,maxba式中：足标系指翼缘与腹板的交界点；足标系指上翼缘顶边中点。3．应力计算及强度校核abc三个可能的危险点（，和）示如图9-5。图9-5点处的正应力和切应力分别为aσWM7.80104N5.05104m21.545108Pa154.5MPazFSz(a)1301031.115104N1.49610Pa14.96MPaτS7Itz7.07100.0137m25该点处于单向与纯剪切组合应力状态，根据第三强度理论，其相当应力为242154.52414.962MPa157.4MPa[]r3b点处的正应力和切应力分别为3σMyb7.8010(0.1400.0137)N1.39310Pa139.3MPa48I7.0710m52zFSz(b)1301032.23104N4.82107Pa48.2MPaτSIδz7.07100.0085m52该点也处于单向与纯剪切组合应力状态，其相当应力为139.3448.2MPa169.4MPa[]22r3c点处于纯剪切应力状态，其切应力为FS1301032.90104N6.2710Pa62.7MPaτSz,max7Iδz7.07100.0085m25其相当应力为2262.7MPa125.4MPar3结论：该梁满足强度要求。4．强度校核依据第三强度理论，上述三点的相当应力依次为σσσ[155.9(1.44)]MPa157.3MPar3(a)13σ[154.4(15.05)]MPa169.5MPar3(b)σ2τ262.7MPa125.4MPar3(c)它们均小于9-8许用应力，故知梁满足强度要求。图示油管，内径D=11mm，壁厚=0.5mm，内压p=7.5MPa，许用应力[]=100MPa。试校核油管的强度。题9-8图解：油管工作时，管壁内任一点的三个主应力依次为pDσσσσ0σσ0，，2δ1t2x3r按照第三强度理论，有pD7.51060.011N8.25107Pa82.5MPa[σ]σσσ2δ20.0005m2果表明，该油管满足强度要求。r313计算结9-9[]=160MPa，试按图示圆柱形容器，受外压p=15MPa作用。材料的许用应力第四强度理论确定其壁厚。4题9-9图解：根据第四强度理论，圆柱形薄壁容器的强度条件为3pD[σ]σ4δr4由此得3pD3151060.080m3.2510δ4[σ]m3.25mm34160106δD/20所得，属于薄壁容器，上述计算有效。9-10图a所示车轮，由轮毂与套于其上的薄钢圈组成。钢圈的内径d比轮毂的外径D略小，安装时先将钢圈适当加热，以使二者套合，冷却后钢圈即紧套在轮毂上。钢圈的厚度为，弹性模量为E，轮毂的刚度很大，分析时可忽略其变形。试求钢圈与轮毂间的相互作用力，以及钢圈横截面上的初应力。题9-10图p作用下（图b），钢圈的周向正应变为解：在内压pDE2Et(a)(b)t安装前后，钢圈的直径由d变为D，其周向正应变为πDπdDdπddt比较式(a)与(b)，得p2E(Dd)Dd由此得钢圈横截面上的正应力为pDE(Dd)2dt9-11图示铸铁构件，中段为一内径D=200mm、壁厚筒内的=10mm的圆筒，圆[]=30MPa。t压力p=1MPa，两端的轴向压力F=300kN，材料的泊松比=0.25，许用应拉力5试校核圆筒部分的强度。题9-11图解：1.应力计算δD/20，属于薄壁圆筒圆筒的。故由内压引起的轴向应力和周向应力分别为pD11060.200Pa5106Pa5MPaσ4δ40.010xppD11060.200Pa10106Pa10MPaσ2δ20.010tp由轴向压力引起的轴向应力为F300103NσπDδπ0.2000.010m24.77107Pa47.7MPa（压）xF筒壁内任一点的主应力依次为σ110MPa，σ20，σ3(547.7)MPa42.7MPa2．强度校核由于该铸铁构件的最大压应力超过最大拉应力，且超过较多，故宜采用最大拉应变理论对其进行强度校核，即要求σσμ(σσσ)[]r2123将上述各主应力值代入上式，得σ[100.25(42.7)]MPa20.7MPa[σ]r2可见，该铸铁构件满足强度要求。9-12图示圆球形薄壁容器，其内径为D，壁厚为，承受压强为p之内压。试证明壁内任一点处的主应力为pD/(4),0。123题9-12图证明：用截面法取该容器的一半（连同内压）示如图9-12a。6图9-12由图a所示半球的平衡方程F0πDδ，πD42p0xt得pDσ4δt球壁内任一点的应力状态如图b所示，由此可得三个主应力依次为pDσσσ，0σ4δ12t39-13图示组合圆环，内、外环分别用铜与钢制成，已知铜环与钢环的壁厚分别为与E，线胀系数分别为D，铜与钢的弹性模量分别为E与，且。12试问当温度升高时，环的周向正应力为何值。与，交接面的T直径为题9-13图解：内、外环的受力情况示如图9-13a和b。7图9-13FFN2，钢环的轴力为，由图c与d所示各半个薄圆环的平设铜环的轴力（绝对值）为N1衡条件可得pDFF(a)(b)2N1N2变形协调条件为物理关系为ΔDΔD12FDΔDαDΔTN1EA1111(c)(d)FDΔDαDΔTN2EA2222将式(c)代入式(b)，得(αα)ΔTFFσ1tσN1N22t2EAEAE1E121122由式(a)可知，σAδ22σAσA，1tσAδ111t12t22t即δσσ2t(e)(f)2δ11t将方程(e)与方程(d)联立求解，得铜环和钢环内的周向正应力依次为σ(αα)EEδΔT22EδEδ1211t11228σ(αα)EEδ12121ΔTΔT(g)EδEδ2t1122式(f)亦可写成σ(αα)EEδ21122(f)’EδEδ1t11229-14图示薄壁圆筒，同时承受内压p与扭力偶矩M作用。由实验测得筒壁沿轴向0及与轴线成45方位的正应变分别为和，筒的内径D、壁厚、材料的弹性模量E与泊°45松比均为已知。试求内压p与扭力偶矩M之值。题9-14图任意一点的应力状态如图9-14所示。解：圆筒壁内图9-14图中所示各应力分量分别为pDpD2Mx4,t2,πD2由此可得σσ,σσ,στ3pD,σ8δ3pDτ8δxt0904545根据广义胡克定律，贴片方向的正应变为(12)pD4Eδ1E[](a)xt0M(1)3pD]1[2(1)1[](b)(c)EEπD28454545由式(a)可得圆筒所承受的内压为4Eδp(12μ)Dε0将式(c)代入式(b)，可得扭力偶矩为9πED2δ[2(12μ)εμεM4(1μ)(12μ)453(1)]09-15如图(a)所示，在直径为D＝40mm的铝质圆柱体外，光滑套合一壁厚=2mm=70GPa与的钢管，圆柱体承受轴向载荷F＝40kN作用，铝与钢的弹性模量分别为E1E2=210GPa，泊松比分别为与。试计算钢管的周向正应力。题9-15图解：圆柱体与外管横截面上的正应力分别为4Fx1πD20x2设圆柱体与外管间的相互作用力的压强为p，在其作用下，外管纵截面上的周向正应力为pDt22(a)在外压p作用下（图b，尺寸已放大），圆柱体内任一点处的径向与周向正应力均为pr1t1根据广义胡克定律，圆柱体外表面的周向正应变为114Ft1EEpp1πDt11x11r11211外管内表面的周向正应变则为pDt2E2Et222变形协调条件为于是有t1t214FpDpp1E1πD2E122由此得8EFpπD2ED2(1)E2121110将上式代入式（a），于是得钢管的周向正应力为4EF28MPa2πDED2(1)E12t21111第十章组合变形10-2图a所示板件，b=20mm，=5mm，载荷F=12kN，许用应力[]=100MPa，试求板边切口的允许深度x。题10-2图b），该处横截面上的轴力与弯矩分别为解：在切口处切取左半段为研究对象（图FFNMF(ba)(a)(b)显然，a2bxbx22将式(b)代入式(a)，得FxM2切口段处于弯拉组合受力状态，该处横截面上的最大拉应力为FMFFx6F3FxAW2a2(2a)22a4a2Nmax根据强度要求，在极限情况下，F3Fx[]2a4a2将式(b)与相关数据代入上式，得x20.1277x6.391040由此得切口的允许深度为x5.20mm10-3图示矩形截面钢杆，用应变片测得上、下表面的纵向正应变分别为ε=1.0×10-3aε=0.4×10-3，材料的弹性模量E=210GPa。试与绘横截面上的正应力分布图，并求拉力F及b其偏心距e的数值。1题10-3图σσ和1.求ab解：截面的上、下边缘处均处于单向受力状态，故有σEε2101091.0103Pa210MPaaaσEε2101090.4103Pa84MPabb偏心拉伸问题，正应力沿截面高度线性变化，据此即可绘出横截面上的正应力分布图，如图10-3所示。图10-3Fe2．求和F将平移至杆轴线，得FNF，MFe于是有FFeσEεAWaazFFeAWσEεbz代入相关数据后，上述方程分别成为F240Fe26250F240Fe10500经联立求解，于是得F18375N18.38kN，e1.78610m1.786mm310-6图示直径为d的圆截面铸铁杆，承受偏心距为e的载荷F作用。试证明：当ed/8时，横截面上不存在拉应力，即截面核心为R=d/8的圆形区域。题10-6图证明：此为偏心压缩问题。载荷偏心产生的弯矩为MFe2受拉区的最大拉应力为MFσWA(a)t,max横截面上不存在拉应力的条件，要求式(a)小于或等于零，即要求32Fe4Fπd3πd2由此得ed810-7。已知许用拉应力[]=30t图a所示杆件，同时承受横向载荷与偏心压力作用MPa，许用压应力[]=90MPa，h=180mm，b=60mm，l=500mm，试确定F的许用值。c题10-7图解：固定端处的横截面A为危险截面，该截面的内力如图b所示，弯矩为MFlFh2Fl10Fh2Fl5FhyMFb210Fb25Fbz而轴力则为FNF10()F压力横截面A的最大拉应力为MMyF6(5Fb)6(Fl5Fh)10F2F3l25zNWWAhb2bh2bhbhht,maxzy最大压应力则为MMyF6(5Fb)6(Fl5Fh)10F2F3l35zNWWAhb2bh2bhbhhc,maxzy根据强度条件，要求2F3l25[]bhht,maxt32F3l35[]bhhc,maxc将相关数据代入上述二式，分别得[F]4.86kNt[F]11.2kNc于是得F的许用值为[F][F]4.86kNt10-8在图示立柱的顶部，作用一偏心载荷F=250kN。若许用应力[]=125MPa，试求偏心距a的许用值。题10-8图解：1.确定内力F250kNMFa2.50105a(Nm)，NyM0.050F0.050250103Nm1.25104Nmz2．计算Iz，Iy及A0.1000.12030.0800.0803)m41.099105m4I(1212zI(0.0200.100320.0800.0203)m43.39106m41212yA(0.1000.02020.0800.020)m25.60103m23．求a的许用值由正应力强度条件，要求MzMyFAσyzzIIc,maxy[(1.25104)0.060(2.50105a)0.050250103]Pa1.0991053.391065.60103[112.883.69103a]106(Pa)[σ]4得偏心距的许用值为[a]3.28103m3.28mm10-11图示曲柄轴，承受载荷F=10kN作用。试问当载荷方位角为何值时，对截面A-A的强度最为不利，并求相应的相当应力。r3题10-11图解：1.分析内力由于A-A为圆形截面，其任一直径均为主形心轴，故载荷无需分解，可直接用以分析内力。根据平衡关系，截面A-A上的剪力（绝对值）分别为F、弯矩和扭矩值FF10kN，MFl101030.070Nm700NmSTFacosθ0和弯矩值并无影响，它只改变扭矩的大小，当时扭矩取F由此可见，的方位角对剪力最大值，对截面A-A的强度最为不利，其值为TmaxFa10102．计算相当应力截面A-A上铅垂直径的上0.240Nm2.4010Nm33、下点为可能的危险点，按照第三强度理论，其相当应力为M2T2327002(2.40103)2PaσmaxWπ0.0603(a)r31.179108Pa117.9MPa由于是短粗轴，为又一个可能的危险点，弯曲剪力产生的切应力应予考虑，这时截面A-A上水平直径的左端点，该点处的正应力为零，切而应力则为τττ16Tmax44FS(162.401031610103)Paπd33πd2π0.06033π0.060212(56.64.72)106Pa61.3MPa其相当应力为σr32τ261.3MPa122.6MPa比较式(a)和(b)可知，该轴真正的危险点是截面A-A上水平直径的(b)左端点，其相当应力如式(b)所示。σ()r3()τ()另一种方法是先求与，再求。这里的顺便指出，本题计算相当应力的5从截面A-A上左边水平半径量起，以顺钟向为正。将σr3()对求导，0，由此确定的危险点同上述真正的危险点，相当应力当然也同式(b)。寻找其极值位置，找到的极值位置是10-12图示某段杆的弯矩My与Mz图，它们均为直线，且其延长线分别与x轴相交于a与b点。试证明：如果a与b点不重合，则该段杆的总弯矩M图必为凹曲线。题10-12图解：1.总弯矩方程及其二阶导数，x2）内，M与M图均为直线，因此，可设在区段（x1yzMbkxy11Mbkxz22，k，b2与k2均为常数。于是得总弯矩为式中，b11MM2M2(bkx)2(bkx)2(a)(b)yz1122幷由此得d2Mdx2(kbkb)212212.总弯矩M图为凹曲线的证明a与b点的横坐标分别为bbxx，12k1kab2当a与b点不重合时，由上式得bkbk1221代入式（b），得d2M0dx2可见，如果某杆段的My与Mz图均为直线，且其延长线与坐标轴x不相交于同一点，则相应总弯矩M图必为凹曲线。610-13图示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮1上，作用有径向力F=3.64kN、切y=10kN；在齿轮Fz2上，作用有切向力F'=5kN、径向力F'=1.82kN。若许用应力yz[]=100MPa，试根据第四强度理论确定轴径。向力题10-13图M,MT如图10-13a所示。内力图（z和）分解：将各力向该轴轴线简化，得其受力图y别示如图b,c和d。图10-13由内力图和题10-12所证明的结论可知，截面和C都可能为危险面。BB对于截面，总弯矩为M1000364Nm1064Nm568Nm612Nm2(a)(b)22BC，总弯矩为对于截面M2272C－B比较式(a)和(b)可知，截面最危险。由第四强度理论的强度条件7M20.75T232M20.75T2σ[σ]BBWπd3r4得该轴的直径为d332M20.75T2332106420.7510002mBπ[σ]π1001065.19102m51.9mm10-16图示钢质拐轴，承受铅垂载荷F与水平载荷F作用。已知轴AB的直径为12d，轴与拐臂的长度分别为l与a，许用应力为[]，试按第四强度理论建立轴AB的强度条件。题10-16图与F平移到截面B的形心，得轴AB的受力如图F1A为危险截面，该截面的轴力b所示。解：将载荷2显然，固定端处的横截面、扭矩与弯矩分别为FFN2TFa1MFa,MFly2z1可见，横截面A处于弯拉扭组合受力状态。在横截面的危险点处，弯曲与轴向正应力分别为M2M32F2a2Fl2z221y(a)(b)2Wπd3maxFN4F22AπdN扭转切应力为16FaTW1(c)πdmax3p8按照第四强度理论，危险点处的强度条件为232[]Nmaxmax将式（a），（b）与式（c）代入上式，于是得232F2a2Fld144Fa2[]11221d4F2πd2210-17图示圆截面钢轴，由电机带动。在斜齿轮的齿面上，作用有切向力F=1.9tkN、径向力F=740N以及平行于轴线的外力F=660N。若许用应力[]=160MPa，试根据r第四强度理论校核轴的强度。题10-17图解：1.外力分析FFAD与向轴的轴线简化，得该轴的计算简图如图10-17a所示。图中，tF将载荷,rMFR6600.100Nm66.0NmzCMMFtR1.91030.100Nm190.0NmAC9图10-172．内力分析根据图a，可画轴力、扭矩及弯矩图分别如图b，c，d和e所示。C由内力图可知，截面为危险截面，该截面上的轴力、扭矩及总弯矩值依次为FNF660N（压），T190.0NmMM2M257.0255.2Nm79.3Nm2yz3．强度校核危险面上危险点处于单向与纯剪切组合应力状态，其正应力和切应力分别为σF(3279.34660)Pa5.30107Pa53.0MPa（压）MWNAπ0.025π0.02532τWTπ160.109205.30mN26.19107Pa61.9MPap将其代入第四强度理论的强度条件，有σσ23τ2361.9MPa119.6MPa[σ]253.02r4可见，该轴满足强度要求。1010-19图示等截面刚架，承受载荷F与F'作用，且F'=2F。已知许用应力为[]，截面为正方形，边长为a，且a=l/10，试根据第三强度理论确定F的许用值[F]。题10-19图解:1.寻找危险面。在图10-19a所示坐标下，由产生的内力示如图F为了寻找危险面，首先需画出内力图Fb和c；由产生的内力示如图d，e和f。图10-19上不难找到可能的危险面有两个：截面和截面CA。从内力图2．确定F的许用值A截面为弯拉组合（危险点处于单向应力状态），由强度条件64FlF241Fσσ[]a3aa2max2得F[σ241]a24.15103[σ]a24.15105[σ]l2(a)C截面MM可能的危险点为和（见图g），点f处的扭转de为弯（有,）拉扭组合，zydd切应力虽然与点处同大，但其弯曲正应力只是点处的一半，故可将它排除在外。d对于点，正应力和切应力依次为1162FlF121Fσa3a2a2dT2Fl0.208a396.2aFταhb22d由第三强度理论的强度条件FF[σ]σσ24τ2a21212496.22227ar3dd2得F4.41103[σ]a24.41105[σ]l2(b)e对于点，切应力为零，由弯拉组合的强度条件62Fl6FlFFσ[σ]a3a3a181a2max2得F5.52103[σ]a25.52105[σ]l2(c)F(c)，最后确定的许用值为比较式(a),(b)和[F]4.15105[σ]l210-20图示圆截面圆环，缺口处承受一对相距极近的反向载荷F作用。已知圆环轴线的半径为R，截面的直径为d，材料的许用应力为[]，试根据第三强度理论确定载荷F的许用值。题10-20图解：1.分析内力本题为反对称问题，可取半个圆环来分析。例如取右半圆环，示如图10-20。12图10-20由图可得T()FR(1cos)M()FRsin，2．求相当应力根据第三强度理论，截面危险点处的相当应力为M2()T2()FRsin2(1cos)2FR22cosWσ(a)WWr3σ3．求的最大值r3由dσr30d得极值位置为180(b)σA取得极大值，即截面为危险截面，危险点处的相当应力进一步分析可知，该极值位置使r3为2FR64FRWπd3σr3,max(c)F4．确定的许用值将式(c)代入强度条件[σ]σr3,maxF得载荷的许用值为[F]πd3[σ]d3[]d3[]20.4R20R64R10-21图示结构，由轴AB与梁CD组成，并在截面D承受集中载荷F作用。已知载荷F=1kN，弹性模量E=210GPa，切变模量G=0.4E。试：（1）根据第三强度理论（2）计算截面D的转角与计算轴内危险点处的相当应力；挠度。13题10-21图解：1.计算相当应力此为六度静不定问题，但有对称性可以利用。M得力和矩为示如图10-21a。F将载荷向轴ABF的轴线简化，的力偶，e图10-21F分开考虑。仅考虑时，利用对称性，可在截面处解除MCF根据叠加原理，可将和e多余内约束，得相当系统如图(b)所示（图中只画了左边一半）。由变形协调条件F22EI()a2Maθ0C0，EIC得Fa4MCM据此，并利用对称性，可画出图（见图c）。14M仅考虑Me时，由对称性可知，两端的支反力偶矩相等，并等于的一半，即eMFa2MM2eAxBxT据此，并考虑到扭矩的符号规定，可画图如图d所示。B,A,CC和四个截面同等危险，它们的弯矩值和扭矩值（均指绝由图c与d容易判断，对值）分别相等。按照第三强度理论，这些面上危险点处的相当应力为M2T232Fa1222811030.3005NσW4πdπ0.040m32r332.67107Pa26.7MPa2.计算转角和挠度D截面的转角由轴的扭转变形和梁的弯曲变形两部分提供，由叠加法可得ABCDFa2aFa25Fa2Fa2θθGI2EI4EI2EIDCD(F)p1p111030.3002(53212)rad2.7310-3rad2101094π0.040420.0200.0603D截面的挠度由轴的弯曲变形ABCD、扭转变形和梁的弯曲变形三部分提供，由叠加法可得Fa35Fa3Fa3wwaw24EI4EI3EID(F)DCCp111030.3003(645321224π0.04044π0.040430.0200.0603)m2101098.0104m0.80mm10-22图示结构，由两根相同的圆截面杆及刚体A和B组成。设在该刚体上作用一对方向相反、其矩均为M的力偶，试画杆的内力图，并根据第三强度理论建立杆的强度条l、直径d、材料的模量E、切变模量G以及许用应力G=0.4E。[]均为已知，且l=20d,件。杆的长度弹性题10-22图解：1.内力分析此为六度静不定问题。利用反对称性，可取相当系统如图10-22a所示。15图10-22静力学方面（见图a）M0，2TF(5l)M0(a)xSz几何方面（见图a和b）B由于刚体只能绕结构水平中轴线相对于刚体A作刚性转动，故有变形协调条件(b)(c)θ0yΔ(10l)z物理方面TlTl1.25TlGI(d)(e)(f)(0.4E)(2I)EIpMl2Fl3SzΔ3EI2EIyzMlFl2θySz2EIEIy将式(d)～(f)代入式(b)和(c)，得补充方程2MFl(g)(h)ySz及8FSzl程(g),(h)和(a)，得12M3Ty联解方15M10231546yF23l，TM，MMSz2．画内力图16上杆的内力图示如图8-22c～e。与上杆一样，而FM图及T下杆的图图与上杆仅差符号，最大内力值（绝对值）与上Szy杆相同，故可省画其内力图3．建立强度条件由于l20d，属于细长杆。，可以不计剪力对强度的影响。危险面在杆的两端，按照第三强度理论，杆的强度条件为15461023M()2()2M2T2Mσ5.54[σ]yπd3Wdr333217第十一章压杆稳定问题11-1。图中，图示两端铰支刚杆－蝶形弹簧系统，试求其临界载荷c代表使蝶形弹簧产生单位转角所需之力偶矩。题11-1图2θ状态（微偏斜状态）如图11-1所示。注意到蝶形弹簧产生的转角为，解：系统的临界由右段刚杆的力矩平衡方程c(2θ)F(θl)02得4cFlcr图11-1图示刚杆－弹簧系统，图中的c，c1与c2均为弹簧11-2常数，试求系统的临界载荷。题11-2图链C的铅垂位移用表示,于是得杆BC(连带(a)解：设系统微偏转如图11-2a(1)所示，铰铰链C)的受力如图11-2a(2)所示，由平衡方程M0,clF02C得系统的临界载荷为cl2Fcr1图11-2aA与B的铅垂位移分别用与表示,于（b）解：设系统微偏转如图11-2b(1)所示，铰链是得杆AB的受力如图11-2b(2)所示，杆的平衡方程为Fc0,0c11(a)(b)y22MA0,clF(2)0221由式（b）得Fcl(c)2212由式（a）得c11c22代入式（c），于是得系统的临界载荷为Fccl12cccr12图11-2b11-3图示结构，AB为刚性杆，BC为弹性梁，各截面的弯曲刚度均为EI。在刚性杆顶端承受铅垂载荷F作用，试求其临界值。2题11-3图解：结构的临界状态示如图11-3。图11-3的力矩应为θBB使梁端截面产生转角3EIlMθBe而MF(θa)eB由此得即F3EIal3EIalFcr11-4图示刚性杆AB，下端与圆截面钢轴BC相连。为使刚性杆在图示铅垂位置保持稳定平衡，试确定轴BC的直径d。已知F=42kN，切变模量G=79GPa。3题11-4图解：刚性杆在微偏斜（设偏斜角为，见图）状态AB11-4此时加给轴BC下处于平衡，的扭力矩为MFaB而TlGIp注意到TM，于是得BFGIalp即GIπGd4Fal32alpcr由此得（题中给出F=42kN）d432alFπGcr4320.5000.30042103m0.030m30mmπ79109图11-4411-6图示细长压杆，弯曲刚度EI为常数，试按§11-2所述方法确定杆的临界载荷。题11-6图解：设自由端的挠度为，则M(x)F(w)挠曲轴近似微分方程为EIwFwF或wkwk式中，k2FEI(a)(b)上述微分方程的通解为wCcoskxDsinkx位移边界条件为当x0时，w0；当x0时，w0；当xl时，w由式(b)与上述边界条件，得D0Ccoskl0由上式得kln2π(n0,1,2,)(c)将式(c)代入式(a)，得Fcrn2π2EI(n0,1,2,)4l2由上式并取n=1，即得压杆的临界载荷为π2EI4l2Fcr11-7试确定图示各细长压杆的相当长度与临界载荷。设弯曲刚度EI为常数。题11-7图(a)解:相当长度为5laeq临界载荷为π2EIa2Fcr(b)解：压杆微弯状态的挠曲轴如图11-7b中的虚线所示。图11-7b半个正弦波的长度为a，即laeq由此得临界载荷为π2EIa2Fcr11-8图示正方形桁架，各杆各截面的弯曲刚度均为EI，且均为细长杆。试问当载荷F为何值时结构中的个别杆件将失稳？如果将载荷F的方向改为向内，则使杆件失稳的载荷F又为何值？题11-8图F解：1.当向外时CD竖向杆受压，其余四根杆受拉。CD设杆编号为5，则有FN5F由此得π2EIπ2EIFcr(2l)22l22.当F向内时此时杆5受拉，其余各杆（编号1，2，3，4）受压。且6FFFFF2N1N2N3N4由此得π2EI)2π2EIF2(crl2l211-9图a所示细长压杆，弯曲刚度EI为常数，试证明压杆的临界载荷满足下述方程：sinkl(sinkl2klcoskl)0=F/(EI)。式中，k2题11-9图作用下，压杆可在图b所示微弯状态保持平衡。求得支座A与B的支反力为解：在临界载荷设横截面C的挠度为，则由平衡方程FlFFAyBy杆段AB与BC的弯矩方程分别为FM(x)1xFw11lM(x)F(w)22相应的挠曲轴近似微分方程分别为FxEIw"Fwl111EIw"FwF22上述微分方程的通解分别为wAsinkxBcoskxxl1(a)(b)11111wAsinkxBcoskx22222，A，B1，B2与端点挠度式中，除参数k外，积分常数A12也均为未知。压杆的位移边界条件与连续条件为：在x10处,w10(1)(2)在x0处,w22在x1l处,w10(3)7在处xxl,ww2(4)(5)121在处w'xxl,w'2121由式(a)，(b)与条件(1)，(2)可知，BB012由式(a)，(b)与条件(3)，(4)，(5)，得Asinkl1A1sinklA2sinkl0lAkcosklAkklcos12，A与存在非零解的条件为A1可见，2sinkl01sinkl-sinkl00kcosklkcoskl1/l由此得sinklsinkl2klcoskl0上述方程有两组可能的解，即：sinkl0sin2cosklklkl0由上述二方程的最小非零正根，分别得π2EIFl，2cr11.359EIFl2cr2，显然，压杆的临界载荷为1.359EIcr2，FFcrl211-10图示两端铰支细长压杆，弯曲刚度EI为常数，压杆中点用弹簧常量为c的弹簧支持。试证明压杆的临界载荷满足下述方程：klkl4k2EIcos02klsinklsin1222cl式中，kF/(EI)。8题11-10图解：该细长压杆的微弯状态如图11-10所示。图11-10按图中所取坐标，左、右段压杆得弯矩方程分别为M(x)FxFwcM(x)FxFwc2，2111222于是得挠曲轴微分方程分别为FFwk2wk2xwk2wk2x2，cc2F2F11122式中，k2FEI上述微分方程的通解分别为FwAsinkxBcoskxcx12F11111FwAsinkxBcoskxcx22F22222位移边界条件为由此得当x0，w10;当x0，w2012B10，B20位移连续条件为代入通解后，得xx2l:wFcc;wFcc;ww当121212klFlFAsincc24Fc1klFlFcc24FcAsin2klFklFcAkcosAkcosc22F22F12重排后，得9kll1(sin)A0()F0(1)(2)(3)24Fcl11ckl0(sin)A()F024Fc2c(kcos)A(kcos)AF1F0klkl2212cA,A和F存在非零解的条件为可见，12csinkll104Fc2sinkll14Fc002kcosk2lkcosk2l1FFEIk展开上列行列式，并注意到2，得1kl2kl2l2k2EIckl2sin[sink(2)cos]0EIk2由此得kl2klkl224k2EIclkl2sin[sin(1)cos]011-11图示阶梯形细长压杆，左、右两段各截面的弯曲刚度分别为EI与EI2。试1证明压杆的临界载荷满足下述方程：tankltanklk2k121kF/(EI);kF/(EI2)。式中：112题11-11图微弯状态如图11-11所示。解:该压杆的图11-11弯矩方程为MxF(δw，MxF(δw2)())()112进而可得10w1k1w1k1δwk，w2k222δ2222式中，FFk2，k2EIEI1212以上二微分方程的通解为wAsinkxBcoskxδ1111111wAsinkxBcoskxδ2222222位移边界与连续条件为x0w0w011当时，，1xlx0wwww当与时，，121212xlwδ当时，22由上述条件依次得B1δA10B2δcosk1l(a)(b)kA21δsink1lk2A2sink2lB2cosk2l0(c)将式(a)和(b)代入式(c)，于是得tankltanklk21k1211-13图示结构，由横梁AC与立柱BD组成，试问当载荷集度q=20N/mm与q=26N/mm时，截面B的挠度分别为何值均用低碳钢制成，弹性模量E=200GPa，。横梁与立柱比例极限=200MPa。p11题11-13图解：1.求立柱的临界载荷12给立柱和梁编号分别为和，我们有λπEπ20010699.3200109σppI1d10mm0.010miA41l12.00i0.010200λpλBD立柱为大柔度杆，其临界载荷为π2EIπ2200109π0.0404FN6.201310N62.013kN41l2.00264cr212.计算qcrq这里的Fq系指使立柱刚刚到达时的值，立柱还处在直线平衡状态BDB。处的变形crcr协调条件为wΔlB1引入物理关系5ql4FlFlΔlcr1，3cr2wcr2384EI48EIEA1B122并代入相关数据及I22500cm42.500105m4，A1π40.0402m21.2566103m2得qcr2.555103.计算q20N/mm时的由于qqFF，直线平衡状态是稳定的。crN/m25.55N/mm4挠度，立柱中crN由变形协调条件wΔlB1得5qlFlFlN1423N2384EI48EIEA122代入已知数据后，得12FN4.855410N48.554kN4B进而可得截面的挠度为FlwΔlN13.86104m0.386mmEA1B14.计算q26N/mm时的挠度qqFF，立柱处于微弯状态，，截面的挠度由梁变形确定，即B此时crNcr5qlFl3cr242w'384EI48EIB2252.601044.004m620134.003m3842001092.500105482001092.5001057.97104m0.797mm11-15图示矩形截面压杆，有三种支持方式。杆长l=300mm，截面宽度b=20mm，=50，0=0，中柔度杆的临界应力公式为高度h=12mm，弹性模量E=70GPa，pcr=382MPa-(2.18MPa)试计算它们的临界载荷，并进行比较。题11-15图bh30.0200.0123m42.88109m4I12(a)解：12minIAh120.01212m3.464103iml20.300i3.464103173.2λpλ＝此杆为大柔度杆，其临界载荷为π2EIπ2701092.88109N5.5310N5.53kNF(2l)2(20.300)23cr(b)解：13l10.300λi3.46410386.6λp此杆为大柔度杆，其临界载荷为π2EIπ2701092.88109FN2.21104N22.1kNl20.3002cr(c)解：μl0.50.30043.3λi3.464103λλλ，为中柔度杆。0pσ(3822.18λ)MPa(3822.1843.3)MPa287.6MPacr于是得FcrσcrA287.610(0.0200.012)N6.9010N69.0kN4b×h的矩形，611-18图示压杆，横截面为试从稳定性方面考虑，h/b为何值最佳。可取长度因数0.7。y当压杆在x-z平面内失稳时，题11-18图解：由hb312bh3II12z，y和Abh得Ibhiz12iAy，y12从稳定性方面h/b考虑，的最佳值应使λλyz即μlμl，0.7l12l12yziibhyz14由此得h11.429b0.711-19试检查图示千斤顶丝杠的稳定性。若千斤顶的最大起重量F=120kN，丝杠内径d=52mm，丝杠总长l=600mm，衬套高度h=100mm，稳定安全因数nst=4，丝杠用Q235钢制成，中柔度杆的cr=235MPa-(0.00669MPa)临界应力公式为2(<123)题11-19图解：该千斤顶丝杠的llh(0.6000.100)m0.500m1Aπd0.0522m22.124103m2π424π64dIdA40.0524I4，im0.013mλl20.50076.9λ123i10.013p它属于中柔度杆，故有σ235MPa(0.00669MPa)76.92195.4MPacr[F]FncrAσ2.124103195.4106N1.037105N103.7kNcrn4stststF[F]15.7比大％，该千斤顶丝杠稳定性不够。st11-20图示桁架，承受变向载荷F作用，方位角的变化范围为090。已知杆1与杆2的直径分别为d1=20mm与d=30mm，二杆材料相同，屈服应力s=240MPa，p=196MPa，弹性模量E=200GPa，强度安全因数ns=2.0，稳定安全因数nst=2.5，试求载荷F的许用值。2比例极限15题11-20图解：1.轴力分析设杆1与杆2的轴力均为拉力，则由节点B的平衡方程，得FFcosθ3sinθ(a)(b)2N1FF2sinθ3cosθN2θ，得的极值为FN1由式（a）,并令dF/d0N1F（压力）FN1,min090范围内，无极值F。经分析，在N2由式（a）与（b）求得，当=0时，FF2F3F2N2，N1当=90时，3FFN1，FFN222根据上述分析，得(F)F(c)(d)(e)N1,cmaxF(F)2F2N2,cmax(F)N2,tmax2．许用载荷计算杆1的柔度为l4l411.000200λ11id0.020111而16pπEπ200109196106100.4pλλ，故杆的临界载荷为1由于1pπ2EIπ2200109π0.0204(N)1.550104N15.50kNF1l1.0002641,cr21由式（c）得载荷F的相应许用值为[F]1,cr15.50kN6.20kNFn2.51st杆2的柔度为l4l411.732λ22231λpid0.030222临界载荷为π2EIπ2200109π0.0304F(N)2.62104N2l1.7322642,cr22由式（d）得载荷F的相应许用值为2F2,cr22.62104N20.9kN[F]n2.52st杆2的许用轴力为πd2π0.0302(240106)(N)8.4810N[F]2s44n42N2s由式（e）得载荷F的相应许用值为[F]2[FN2]28.48104N169.6kN3于是得结构的许用载荷为[F][F]6.20kN111-21横截面如图所示之立柱，由四根80mm×80mm×6mm的角钢所组成，柱长F=450kN作用。立柱用Q235钢制成，许用l=6m。立柱两端为铰支，承受轴向压力压应力[]=160MPa，试确定横截面的边宽a。17题11-21图1.查角钢的有关数据1查得（参看图11-21）解：F由书中附录表图11-21A9.397cm29.397104m21I57.35cm45.735107m41y2.19cm0.0219m02.计算惯性矩及横截面面积I4[IA(y)2]4[5.735107(9.397104)(a20.0219)2]m4a2z110[9.397104a28.232105a4.097106]m4(a)A4A49.397104m23.759103m213.计算折减系数σF450103＝[σ]A[σ]3.7591031601060.748λ4.查值79根据值及所给材料，由图查到。5．确定边宽a依据柔度算式λlA/I，可得IA(l)23.759103(16)2m42.168105m4792(b)λ2注意到式(b)与式(a)相等，由此得(9.397104a28.232105a4.097106)2.16810518化简后成为a28.76102a1.8711020a8.76102(8.76102)241.871100.08760.2873m22m2舍去增根，得a0.1874m187.4mm。11-23图示压柱，由两根槽钢焊接而成，在其中点横截面C处，开有一直径为d=60mm的圆孔，立柱用低碳钢Q275制成，许用压应力[]=180MPa，轴向压力F=400kN。试选择槽钢型号。题11-23图解：1．第一次试算设取，得0.51F400103NA[]0.5（180106Pa)4.444103m2单根槽钢的横截面面积为A'=2.22210-3m。从书中附录F型钢表中查得№16槽钢横截面的有2关数据为A25.162cm22.5162103m2,I935cm49.35106m4zI83.4cm48.34107m4,b65mm6.5102myz1.75cm1.75102m0由此可得立柱横截面的有关几何量为A22.5162103m25.032103m2I29.35106m41.87105m4zI2[8.341072.5162103(6.51.75)2104]m41.302105m4Iyz1.3021055.032103im5.087102mmin于是有l0.565.08710258.97iminF400103NA5.032103m27.95107Pa79.5MPa19从图中查得0.822，由此得'1[]'[]0.822(180106Pa)148.0MPast1稳定许用应力超过工作应力甚多，故需再算。2．第二次试算设取12(0.50.822)0.6612由此可得400103NA0.661(180106Pa)3.36103m2单根槽钢的横截面面积为A'1.68103m2。从型钢表中查得№14a槽钢横截面的有关数据为A18.516cm21.8516103m2,I564cm45.64106m4zI53.2cm45.32107m4,b58mm5.8102myz1.71102m0由此可得立柱横截面的有关几何量为A21.8516103m23.7032103m2I2[5.321071.8516103(5.81.71)2104]m4y7.259106m4Iz7.2591063.7032103im4.427102mmin于是有0.564.42710267.77400103N3.7032103m2108.0MPa'2从图中查得0.782，由此得[]0.782180MPa140.8MPast稳定许用应力超过工作应力仍然较多，还需再算。3．第三次试算设取2012(0.6610.782)0.7223由此可得400103NA0.722(180106MPa)3.078103m2单根槽钢的横截面面积为A'1.539103m2。从型钢表中查得槽钢横截面的有关数据№12.6为A=15.692cm2=1.5692×10-3m2,I=391cm4=3.91×10-6m4zIy=38.0cm4=3.80×10-7m4,b=53mm=5.3×0-2mz0=1.59cm=1.59××10m-2由此可得立柱横截面的有关几何量为A21.5692103m23.1384103m2I2[3.801071.5692103(5.31.59)2104]m45.080106m4Iyz5.0801063.1384103iminm4.023102m于是有0.564.02310274.57400103N3.1384103m2127.5MPa'30.742，由此得从图中查得[]0.742180MPa133.6MPast稳定许用应力略大于工作应力（大4.8%)，选用№12.6槽钢能满足稳定性要求。4．强度校核查型钢表，得№12.6槽钢的t=5.5mm=5.5×10-3m，由此得F400103NA2(1.5692103601035.5103)m2161.4MPa[]C可见，其强度也符合要求。5．结论选用№12.6槽钢。21第十二章弯曲问题进一步研究12-1在梁的图示横截面上，弯矩M=10kN·m。已知惯性矩I=I=4.7×106mm4，惯性积Iyz=yz2.78×106mm4，试计算最大弯曲正应力。问题3-2图解：1.确定危险点位置截面的主形心轴u与v如图b所示，其方位角为45根据惯性矩转轴公式，得截面的主形心惯性矩为II1.97106m4uIIsin24.75106m4(2.78106m4)sin907.53106m4yyzv将弯矩M沿主形心轴u与v分解，得相应分量分别为M(10103Nm)sin152.59103NmuM(10103Nm)cos159.66103Nmv于是得中性轴的方位角为arctanMvIuarctan(9.66103Nm)(1.97106m4)4418MI(2.5910Nm)(7.5310m)364uv其方位如图b所示。可见，在截面的角点a与b处，分别作用有最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。2.最大弯曲应力计算在坐标系C-yz内，角点a的坐标为0.084m，z0.020maya在坐标系C-uv内，该点的坐标则为uycoszsin0.0735maaaysin0.0453mavzcosaa1于是得角点a处的弯曲正应力为MvMu(2.59103Nm)(0.0453m)(9.66103Nm)(0.0753m)156MPauavaII1.9710m7.5310m64a64uv角点b位于坐标轴v，其纵坐标为0.0509mvb因此，该点处的弯曲正应力为Mv(2.59103Nm)(0.0509m)66.9MPaubI1.9710m64bu可见，最大弯曲正应力为156MPamaxa12-4图示截面薄壁梁，剪力F=5kN。试画弯曲切应力分布图，并计算最大弯曲切应力。Sy题12-4图解：设形心C示如图12-4（1），则图12-4y0.1000.0100.050m0.025m0.1000.0102C0.0100.100312I(0.0100.1000.02520.0100.1000.0252)m42.08106m4z2S410.0100.0252.51011Z122S0.0100.1000.0250.010(0.02522)Z2.51052.51045103222FSFS51031.25105N3.00106Pa3.00MPa2.081060.010m2Syz,max1I1,maxz151032.81105N6.75106Pa6.75MPa2.081060.010m2Syz,max2I2,maxz2弯曲切应力分布图示如图12-4（2），6.75MPamax12-5一薄壁梁，其横截面如图所示，剪力F=40kN，壁厚=10mm。试：Sy（1）计算A，B与D三点处的弯曲切应力；（2）确定截面的剪心位置。题12-5图解：（1）算弯曲切应力坐标示如图12-5。3图12-5由图可知，I[20.0100.2003123.335105m420.1000.0100.100220.1000.0103]m412z20.0100.0502m31.25105m3S()y22z,AAS()(0.0100.10020.0100.1000.1000.0100.0500.075)m32z,B1.875104m3据公式zFSISz得401031.25105N1.49910Pa1.499MPa63.335100.010m2A5401031.875104N2.2510Pa22.5MPa73.335100.010m2B522.5MPa（因为上下对称）DB（2）确定截面的剪心位置e。因为上下对称，所以剪心必在z轴上，问题归结为求z据合力矩定理，取G点为矩心（见图12-5），有FSyeF10.1002F20.200z其中，F0.0050.10031.6667106FSy0.100FqdSy3IIz1110z4SySyFF0.1002FqdI0.0050.10030.0050.10031.0000105I220zz于是，12eF0.1002F0.200Fmz1Sy13.3351050.2001.66671060.2001.0000105m0.070m70.0mm(腹板形心左侧)12-6试指出图示截面的剪心位置。题12-6图解：（a）双对称截面，剪心（b）角钢形截面，剪心（c）T形截面，剪心与形心重合；在二边条中心线相交处；在翼缘中心线与腹板中心线相交处。12-9试确定图示各截面的剪心位置。题12-9图(a)解：由图12-9a(1)可知，S()RcosRdR2sinz0000πR32I0z5因此，FS()2Fsinq()SyzSyIπRz0图12-9(a)O为矩形，根据合力矩定理可知，如图12-9a(2)所示，以圆心π2FRsin4FRπ0dFeRq()RdSy0Sy0ππSyz000由此得，e4R0πzF（b）解：设剪力作用于剪心E（见图12-9b），有SyFFFSySy1Sy2及h32FSyFhhSy23132FFSy2和分别为左、右腹板分担的剪力。其中，Sy1图12-9(b)6取矩，有对左腹板形心C1FzFbSyeSy2由此得Fh32zSy2bb（在左翼缘形心右侧）Fh3he32Sy112-10图示用钢板加固的木梁，承受载荷F=10kN作用，钢与木的弹性模量分别为Es=200GPa与Ew=10GPa。试求钢板与木梁横截面上的最大弯曲正应力以及截面C的挠度。题12-10图解：以钢为基本材料，模量比为nEEw120s等效截面示如图12-10，其形心坐标为y[0.0050.2000.1000.1000.0100.205]m0.1525m0.0050.2000.1000.010C该截面的惯性矩为0.0050.20030.0050.2000.15250.1002Iz[120.1000.01030.1000.0100.2050.15252]m48.85106m412由此得0.210y2101010.2100.1525N4.3310Pa43.3MPaMmax3ts,max7CIz38.8510m62nMy121010310.1525N5.7410Pa5.74MPacw,max6maxCIz2038.8510m627图12-10最后，根据公式wFbx(x2l2b2)6lEIw。求挠度C这里，xa2m,b1m,l3m,EE,IIz.s得wFba(a2l2b2)1010312(223212)Nm463200108.85106Nm396lEICzs2.51103m2.51mm12-1