数学人教A版（2019）必修第一册 全称量词命题和存在量词命题的否定

1.5.2全称命题和存在命题的否定第一章集合与常用逻辑用语知识点一全称量词命题的否定全称量词命题它的否定结论∀x∈M，p(x)_______________全称量词命题的否定是____________命题∃x∈M，¬p(x)存在量词

写出一个全称量词命题的否定时，通常要将命题的两个地方进行改变，一是量词符号要改变，二是结论要进行否定．例1、写出下列命题的否定，并判定其真假．(1)所有能被5整除的整数都是奇数；【解】存在一个能被5整除的整数不是奇数．真命题．(2)p：∀x∈N*，2x>0.【解】¬p：∃x∈N*，2x≤0.假命题．变式：写出下列全称量词命题的否定．(1)∀n∈Z，n∈Q；解：∃n∈Z，n∉Q.(2)每个平行四边形都是中心对称图形．解：存在一个平行四边形不是中心对称图形．知识点二存在量词命题的否定存在量词命题它的否定结论∃x∈M，p(x)_______________存在量词命题的否定是____________命题∀x∈M，¬p(x)全称量词例2、写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)∀x∈R，|x|＋1－x≠0；【解】

命题的否定：∃x∈R，|x|＋1－x＝0，假命题．(2)∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点；【解】命题的否定：∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点，假命题．变式：写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)有些实数的绝对值是正数；解：命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题．(2)被8整除的数能被4整除．解：命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．考点根据命题否定求参数例3、已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题,求实数a的取值范围．变式：命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围．解：因为命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，所以此命题的否定“任意x>a，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x>a有2x＋a>3a，所以3a≥3，解得a≥1.所以实数a的取值范围是{a|a≥1}．√练习1：对于某次考试，命题p：所有学生都会做第1题，那么命题p的否定是(

)A．所有学生都不会做第1题

B．存在一个学生不会做第1题C．存在一个学生会做第1题

D．至少有一个学生会做第1题解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题p：所有学生都会做第1题的否定是存在一个学生不会做第1题．故选B.练习2：写出下列命题的否定，并判断其真假．“末位数字是0或5的整数都能被5整除”解：命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除,是假命题．练习3：关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(

)A．¬p：∃x∈R，x2＋1＝0B．¬p：∀x∈R，x2＋1＝0C．p是真命题，¬p是假命题

D．p是假命题，¬p是真命题解：命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，¬p是假命题．√√练习4：已知命题p：“∀x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0”为真命题，则a的取值范围是________；若命题q：“∃x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0”为真命题，则a的取值范围是________．解：将命题p转化为当x∈{x|1≤x≤4}时，x≥a恒成立，因此x的最小值大于或等于a，即a≤1.命题q：存在x∈{x|1