行测余数问题万能技巧

带余除法。

一般地，假如.α是整数，b是整数（b≠0），那么一定有此外两个整数q和r，

使得α÷b＝q……r

或α＝b×q＋r

当r=0时，我们称α能被b整除。

当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。

带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，尤其需要注意的是，余数肯定不不小于除数。出题者常常会在这里设置陷阱。

㈡余数周期。

这其中又分为递推数列（给一串数，规定第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求一种数的n次方除以某个数的余数）有关的余数问题，处理这两类问题一种最直接的做法就是找规律，由于它们除以某数的余数都是有周期的。例如，求3130÷13的余数。例如尖子班作业1。㈢同余问题。

1、什么是“同余”？

整数α和b除以整数c，得到的余数相似，我们就说整数α、b对于模c同余。

记作：α≡b（modc）

例如：15÷4＝3……3

23÷4＝5……3

15和23对于除数4同余。

记作：15≡23（mod4）

可以理解为15和23除以4的余数相似。

2、“同余”的四个常用性质是什么？

同余性质1：假如α≡b(modm)，

则m︱（α－b）

若两数同余，他们的差必是除数的倍数。

例如，73≡23(mod10)

则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。

同余性质2：假如α≡b(modm)，

c≡d(modm),

则α±c≡b±d(modm)

两数和的余数等于余数的和。

两数差的余数等于余数的差。

例如，73≡3(mod10)

84≡4(mod10)

73+84≡3+4≡7(mod10)

84－73≡4－3≡1(mod10)

同余性质3：假如α≡b(模m)，

c≡d(模m),

则α×c≡b×d(模m)

两数积的余数等于余数的积。

例如，73≡3(模10)

84≡4(模10)

73×84≡3×4≡2(模10)

同余性质4：假如α≡b(模m)

则αn

≡bn

(模m)

某数乘方的余数，等于余数的乘方。

例如，40≡1（mod13）

4031≡131≡1（mod13）

诸多人分不清同余问题和“物不知其数”问题的区别。举个例子：“一种自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。”这是同余问题，已知被除数和余数，求除数。这种问题就是想措施把余数都化为相似的数，然后两两做差求最大公约数，就是“物不知其数”问题。

4、“物不知其数”。

与同余问题相对应的是“物不知其数”，例如：“一种数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。”这种问题有两个万能措施：逐层满足和中国剩余定理。不过考试往往不考这两个措施，这两个措施往往也比较繁琐。考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们的和或差相似，那么就有简朴的解题措施（即所谓“加同补”、“减同余”），实在没有，再考虑逐层满足和中国剩余定理。

我们在处理“物不知其数”题目，就是把余数问题转化为“整除问题”：

中国剩余定理

韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立了卓绝的功绩。听说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人懂得自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最终一种士兵所报之数；再令士兵从１至５报数，也记下最终一种士兵所报之数；最终令士兵从1至7报数，又记下最终一种士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则一直无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。

这个故事中所说的韩信点兵的计算措施，就是目前被称为“中国剩余定理”的一次同余式解法。它是中国古代数学家的一项重大发明，在世界数学史上具有重要的地位。

我国古代数学名著《孙子算经》有这样一道题：今有物不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问物几许？它的解法由明代数学家程大位用诗歌予以理解答：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，

七子团圆月正半，除百零五便得知。

这种解法的意思是，把用3除所得的余数乘以70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得余数乘以15，成果若比105大，就减去105的倍数，便是所求得的数，列成算式为：70×2+21×3+15×2=233，233—105×2=23。

这种措施称之为“中国剩余定理”。

余数问题，碰到这种同步被3个数除时，好多同学都不懂得怎样入手，这里给出了一种非常好的处理措施！

例1：有兵一队，若1至3报数，最终一人报数为2；若1至5报数，最终一种报数为3；若1至7报数，最终一人报数为4.这一队士兵至少有多少人？

解法一：这道题翻译成数学语言就是，一种数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求适合条件的最小自然数。

设士兵有x人，可用同余式表达为：

x≡2（mod3），x≡3（mod5），x≡4（mod7）。

可用“枚举法”：

由于x≡2（mod3），因此x也许等于2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、32、35、38、41、44、47、50、53、56……

又由于x≡3（mod5），因此x也许等于3、8、13、18、23、28、33、38、43、48、53、58……

又由于x≡4（mod7），因此x也许等于4、11、18、25、32、39、46、53、60……

同步出目前上述三个数列中的第一种数是53，因此符合条件的最小自然数是53.

解法二：从上面看到同步满足三个条件的数最早出目前第三列，可先考虑被7除余4的数从小到大为4、11、18、25……其中第一种满足被5除余3的数是18，给18加上5与7的最小公倍数35的0倍，1倍，2倍，3倍……，得数列18、53、88，……这个数列的每一种数都满足被7除余4，被5除余3，其中满足被3除余2的第一种数是53，也就是这队士兵至少53人。

此措施仍为“枚举法”，但较解法一的措施更灵活、简捷。

解法三：可运用“中国剩余定理”的措施来做。

[5,7]=35,35≡2（mod3）因此35符合被3除余2,且整除5与7.

[3,7]=21,21≡1（mod5）,21×3≡3（mod5）因此21×3符合被5除余3，且整除3与7.

[3,5]=15,15≡1（mod7）,15×4≡4（mod7）,因此15×4符合被7除余4,且整除3与5.

将它们相加得:35+21×3+15×4=158,可知158满足被3除余2,被5除余3,被7除余4的数.

[3,5,7]=105,158÷105=1……53，因此53是符合条件的最小数，即这队士兵至少53人。

总结：“中国剩余定理”的做法就是先找到其中两个除数的公倍数且满足此外一种除数的条件，这样共能找出三个数，将它们相加，再减去三个除数的公倍数，直到不能减，得到的就是满足条件的最小的数（或者用所得数除以最小公倍数，余数即为规定的最小数）。

例2：某数除以5余3，除以6余2，除以7余4，这个数最小是多少？

分析：运用“中国剩余定理”措施

第一步：先求出6与7的最小公倍数42，42≡2（mod5），42×3≡2×3（mod5）≡1（mod5）,42×3×3≡3（mod5）；

第二步求出5与7的最小公倍数35，35≡5（mod6），35×5≡5×5（mod6）≡1（mod6），35×5×2≡2（mod6）；

第三步求出5与6的最小公倍数30，30≡2（mod7），30×2≡4（mod7）。

第四步将前三步所得的三个数相加，再除以5、6、7的最小公倍数210，余数就是所求的最小数。

42×3×3+35×5×2+30×2=788，788÷210=3……158

因此这个最小数是158。

解：由于[6,7]=42,且42≡2（mod5）,42×3≡1（mod5）,

42×3×3≡3（mod5）；

[5,7]=35,且35≡5（mod6）,35×5≡1（mod6）,35×5×2≡2（mod6）；

[5,6]=30,且30≡2（mod7）,30×2≡4（mod7）

且42×3×3+35×5×2+30×2=788，

又由于[5，6，7]=210，而788=210×3+158

因此这个最小数是158。

余数有如下某些重要性质（有些性质，小学大家就懂得了，嘻嘻）（a，b，c均为自然数）：

（1）余数不不小于除数。

（2）被除数=除数×商+余数；

除数=（被除数-余数）÷商；

商=（被除数-余数）÷除数。

（3）假如a，b除以c的余数相似，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，因此17-11能被3整除。

（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，因此（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和不小于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，因此（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，因此（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积不小于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，因此（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

性质（4）（5）都可以推广到多种自然数的情形。

例1、5122除以一种两位数得到的余数是66，求这个两位数。

分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

5122-66=5056，

5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到

5056=26×79。

由性质（1）知，除数应不小于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，因此这个两位数是79。

例2、被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

解：由于被除数=除数×商+余数

=除数×33+52，

被除数=2143-除数-商-余数

=2143-除数-33-52

=2058-除数，

因此除数×33+52=2058-除数，

因此除数=（2058-52）÷34=59，

被除数=2058-59=1999。

答：被除数是1999，除数是59。

例3、甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

解：由于甲=乙×11+32，

因此甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，

因此乙=（1088-32）÷12=88，

甲=1088-乙=1000。

答：甲数是1000，乙数是88。

例4、有一种整数，用它清除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

分析与解：先由题目条件，求出这个数的大体范围。由于50÷3=16……2，因此三个余数中至少有一种不小于16，推知除数不小于16。由三个余数之和是50知，除数不应不小于70，因此除数在17～70之间。

由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。

由于110÷58=1……52＞50，因此58不合题意。所求整数是29。

例5、求478×296×351除以17的余数。

分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。

478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。

所求余数是1。

例6、甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的组员恰好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个组员与乙代表团的每个组员两两合拍一张照片留念。假如每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最终一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，阐明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人恰好坐满一辆车，阐明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个组员与乙代表团的每个组员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，由于每个胶卷拍36张，因此最终一种胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。

由于甲数除以36余11，乙数除以36余25，因此“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

（11×25）÷36=7……23，

即最终一种胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。

由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思索解题。周期性问题

“周期”现象在我们身边普遍存在着。如每个星期总是以七天为周期一次又一次地循环着；每年也总是按春夏秋冬四季年复一年地延续；就连机器上活动着的部件在运转时也是沿着一定的轨迹一次次反复运动着……

掌握和运用“周期规律”可以处理许多复杂而有趣的数学问题。

在讨论周期问题时，常常要提到“余数”。有关“余数”，有几条最基本的性质，我们是应当掌握的。

一、加法性质。

若数A和数B的和被K除，分别余a和b（A、B、K、a、b均为整数，K≠0），那么，A和B的和被K除，余数也为a加b的和[若（a+b）＞k余数则为a+b-k]。

例如：16除以7，余数是2；22除以7，余数是1。那么，（16+22）除以7，余数是2+1=3。

二、减法性质。

若数A、数B被数K除，余数分别为a和b（以上各数均为整数，K≠0），那么，A减去B的差被K除，余数也为a减去b的差（若a＜b，余数则为a+k-b）。

例如：135除以13余数是5；40除以13余数是1。那么，（135-40）除以13，余数是5-1=4。

又如：233除以11余数是2；61除以11余数是6。那么，（233-61）除以11，余数是2+11-6=7。

三、乘法性质。

若数A除以数K，余a（A、K和a都是整数，K≠0），那么，A的n倍除以数K，余数则为na除以K所得的余数；

若数A和数B被数K除，分别余a、b（以上各数均为整数，k≠0），那么，A、B的乘积除以K，余数为a·b÷k的余数。

例如：15除以13的余数是2。那么15×7的积除以13的余数是2×7÷13，余1。

又如：140除以17，余数是4；90除以17，余数是5。那么140×90的积除以17的余数为4×5÷17，余数是3。

学会运用余数来处理周期问题是一件很故意思的事情

补充练习题。

【练习1】

12＋22＋32＋42＋52＋62＋……＋2＋2除以7所得的余数为多少？

解：12＋22＋32＋42＋52＋62＋……＋2＋2

＝

＝1001××1335

1001是7的倍数，1001××1335也是7的倍数。因此12＋22＋32＋42＋52＋62＋……＋2＋2除以7所得的余数为0。

【练习2】甲、乙、丙三个数分别为603、939、393。某数A除甲数所得的余数是A除乙数所余数的2倍，A除乙数所得的余数是A除丙数所的余数的2倍。求A等于多少？

解：⑴603÷A＝B1……4r

939÷A＝B2……2r

393÷A＝B3……r把余数处理成相似，再相减

⑵603÷A＝B1……4r

（939×2）÷A＝B2×2……4r

（393×4）÷A＝B3×4……4r

393×4＝1572，939×2＝1878，原题转化成“1572、1878、603除以A的余数相似，求A是多少”。这三个数两两相减的差是1878－1572＝306；1878－603＝1275；1572－603＝969。A是306、1275、969的公约数。（306、1275、969）＝51＝3×17A是51或17，不会是1和3。经检查，A等于17。

603÷17＝35……8

939÷17＝55……4

393÷17＝23……2答：A等于17。

【练习3】五班同学上体育课，排成3行少l人，排成4行多3人，排成5行少l人，排成6行多5人。问上体育课的同学至少有多少名？

分析：⑴“排成3行少l人”，假如补上1人恰好排成3行，补上1人后人数是3的倍数。同理，在五班学生人数的基础上假如补上1个人，总人数是3、4、5、6的公倍数。

⑵[3，4，5，6]＝60

60－1＝59

答：上体育课的学生至少59人。

【练习4】一种自然数在1000和1200之问，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数。

分析：⑴“被3除余1”、“被7除余3”可转化为被3和7除都余10。这个数比3和7的公倍数多10。设这个数为21α＋10。

当α＝2时，21α＋10＝52，52除以5余2。52是符合条件的最小的自然数。

⑵[3，5，7]＝105，在52的基础上加105的倍数，即（105n＋52）符合条件，当n＝10时，105n＋52＝1102，1102在1000和1200之问，并且被3除余1，被5除余2，被7除余3。

答：符合条件的数是1102。最终再附带余数问题和星期日期的几种便于做题的推论：

同余关键口诀

余同加余，和同加和，差同减差，除数最小公倍数作周期

1、余同：一种数除以几种不一样的数，得到的余数相似，此时该数可以选择这个相似的余数（余同取余）

例：