2022-2023学年江西省上饶市缔一中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年江西省上饶市缔一中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m），经了解，建造该类椅子的平均成本为240元/m3，那么该椅子的建造成本约为（π≈3.14）（）A．94.20元 B．240.00元 C．282.60元 D．376.80元参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为圆柱的．【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．∴体积V=．∴该椅子的建造成本约为=×240≈282.60元．故选：C．2.函数y=cos2（x﹣）+sin2（x+）﹣1是(

)A．周期为的函数 B．周期为的函数C．周期为π的函数 D．周期为2π的函数参考答案：C【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由三角函数公式化简已知函数，由周期公式可得．【解答】解：由三角函数公式化简可得y=cos2（x﹣）+sin2（x+）﹣1=+﹣1=cos（2x﹣）﹣cos（2x+）=（cos2x+sin2x）﹣（cos2x﹣sin2x）=sin2x，∴函数的周期为T==π，故选：C．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，涉及三角函数的周期性，属基础题．3.已知,若,则

（

）

参考答案：A略4.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B蜜蜂“安全飞行”区域为棱长为1的正方体,其体积为1.而棱长为3的正方体的体积为27.故所求概率为.选B.5.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（w＞0，＜φ＜）的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则f（x）的图象是（

）A.关于点（，0）对称

B.关于直线x=对称C.关于点（，0）对称

D.关于直线x=对称参考答案：B6.若是R上周期为5的奇函数，且满足，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.函数的部分图象为

（

）．

参考答案：A8.（5分）如图所示是某一几何体的三视图，则它的体积为（） A． 16+12π B． 48+12π C． 64+12π D． 64+16π参考答案：C考点： 由三视图求面积、体积．专题： 空间位置关系与距离．分析： 几何体是圆柱与正四棱锥的组合体，根据三视图判断圆柱的高与底面半径，判断正四棱锥的高及侧面上的斜高，求出正四棱锥的底面边长，把数据代入圆柱与棱锥的体积公式计算．解答： 由三视图知：几何体是圆柱与正四棱锥的组合体，圆柱的高为3，底面直径为4，∴圆柱的体积为π×22×3=12π；正四棱锥的高为3，侧面上的斜高为5，∴正四棱锥的底面边长为2=8，∴四棱锥的体积为×82×3=64．故几何体的体积V=64+12π．故选：C．点评： 本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．9.已知PC为球O的直径，A，B是球面上两点，且，，若球O的体积为，则棱锥的体积为A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(RB)＝（

）A．(1，4)

B．(3，4)

C．(1，3)

D．(1，2)参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为的值为____．

参考答案：－1

略12.已知集合A={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤}，B={（x，y）||x﹣1|+2|y﹣2|≤a}，且A?B，则实数a的取值范围是．参考答案：a≥【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】首先，令|x﹣1|=m，|y﹣2|=n，（m≥0，n≥0），然后，将集合A，B用m，n表示，再结合条件A?B，进行求解．【解答】解：令|x﹣1|=m，|y﹣2|=n，（m≥0，n≥0），根据集合A得，m2+n2≤，根据集合B得，m+2n≤a，∵A?B，∴a≥（a+2b）max，构造辅助函数f（m）=m+2n﹣a+λ（m2+n2﹣）f（n）=m+2n﹣a+λ（m2+n2﹣），∴f′（m）=1+2λm，f′（n）=2+2λn，令f′（m）=1+2λm=0，f′（n）=2+2λn=0，得到m=﹣，n=﹣，∵m2+n2=，∴λ=±1，∵m≥0，n≥0，∴λ=1，∴m=，n=1时，m+2n有最大值，∴a≥（m+2n）max=+2=，∴a≥，故答案为：a≥．13.给出下列四个命题：①“”是“”的必要不充分条件；②若，则函数只有一个零点；③函数的一个单调增区间是；④对于任意实数，有，且当时，，则当时，．其中真命题的序号是（把所有真命题的序号都填上）．参考答案：①③④14.过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=|AB|，求出A的坐标，即可求出点A到抛物线C的焦点的距离．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则分别过A，B作直线x=﹣2的垂线，垂足分别为D，E．∵|PA|=|AB|，∴3（x1+2）=x2+2，3y1=y2，∴x1=，∴点A到抛物线C的焦点的距离为1+=．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，解题的关键是利用抛物线的定义确定A的横坐标．15.函数的单调递增区间是_________________．参考答案：(—∞，0)略16.定义域为的函数图象上两点．是图象上任意一点，其中.已知向量，若不等式对任意恒成立，则称函数在上“k阶线性近似”．若函数在上“k阶线性近似”，则实数的k取值范围为.参考答案：17.（选修4—4：坐标系与参数方程）直线的极坐标方程为，圆C：（θ为参数）上的点到直线的距离值为d，则d的最大值为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，且AB＝，BC＝1，E，F分别为AB，PC中点.（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE.参考答案：证明：（1）方法一：取线段PD的中点M，连结FM，AM．因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝CD．因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EA∥CD，且EA＝CD．所以FM∥EA，且FM＝EA．所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM．

………5分又AMì平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD．

………2分方法二：连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN．因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE．

又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE＝NE．

又F为PC的中点，所以EF∥NP．…………5分又NPì平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD．

……………2分方法三：取CD的中点Q，连结FQ，EQ．在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ．所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD．又ADì平面PAD，EQ?平面PAD，所以EQ∥平面PAD．

………………2分因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD．又PDì平面PAD，FQ?平面PAD，所以FQ∥平面PAD．

又FQ，EQì平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD．……………3分因为EFì平面EQF，所以EF∥平面PAD．

………………2分（2）设AC，DE相交于G．在矩形ABCD中，因为AB＝BC，E为AB的中点.所以＝＝．

又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．

又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥AC．

………2分因为平面PAC⊥平面ABCD因为DEì平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，

……3分

又DEì平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE．…………

2分说明：第一问，方法1和2，下结论时：不交代平面外一条直线与平面内一条直线平行，一律扣2分；方法3，直接由线线平行→面面平行，扣3分；

第二问，不用平几证明DE⊥AC，扣2分；略19.(本小题满分13分）已知函数在处取得极小值2．（1）求函数的解析式；（2）求函数的极值；新课

标

第

一网（3）设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围．参考答案：（1）∵函数在处取得极小值2∴

……1分又∴

由②式得m=0或n=1，但m=0显然不合题意∴，代入①式得m=4

∴

……2分经检验，当时，函数在处取得极小值2

……3分∴函数的解析式为

……4分http://w（2）∵函数的定义域为且由（1）有令，解得：

……5分∴当x变化时，的变化情况如下表：

……7分x-11—0+0—减极小值-2增极大值2减∴当时，函数有极小值-2；当时，函数有极大值2

……8分（3）依题意只需即可．∵函数在时，；在时，且∴由（2）知函数的大致图象如图所示：∴当时，函数有最小值-2

又对任意，总存在，使得http://∴当时，的最小值不大于-2

又

①当时，的最小值为∴得；

②当时，的最小值为∴得；

③当时，的最小值为∴得或又∵∴此时a不存在

……12分综上所述，a的取值范围是．

……13分20.（本小题满分16分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益。现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%。

（1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数模型的基本要求，并分析函数是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该公司采用模型函数作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值。参考答案：21.如图，已知四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=．（Ⅰ）求证：平面EAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣D的余弦值．参考答案：考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间角．分析：（I）取AB的中点O，连接EO，CO．由题意，可得△AEB是以AB为斜边的等腰直角三角形，得EO⊥AB，再由等边三角形△ACB的高线CO=，得到平方关系：EC2=EO2+CO2，得EO⊥CO，所以EO⊥平面ABCD，从而得到平面EAB⊥平面ABCD；（II）以AB中点O为坐标原点，以OB、OE所在直线分别为y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，求出A、C、D、E各点的坐标，从而得到向量、、的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法，建立方程组并解之，分别可求得平面DEC和平面EAC的法向量、的坐标，最后利用空间向量的夹角公式，可算出二面角A﹣EC﹣D的余弦值．解答： 解：（I）取AB的中点O，连接EO，CO∵△AEB中，∴AE2+EB2=2=AB2，得△AEB为等腰直角三角形∴EO⊥AB，EO=1…又∵△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°∴△ACB是等边三角形，得，又∵EC=2，∴△ECO中，EC2=4=EO2+CO2，得EO⊥CO…∵AB、CO是平面ABCD内的相交直线，∴