天津市武清区杨村第一高级中学校2023-2024学年高三上学期开学学业质量检测数学试卷（含答案）

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数学试卷

一、选择题（本大题9小题，每小题5分，共45分）

1．已知全集，集合，，则（）

A．B．C．D．

2．已知，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．函数的图象可能是（）

A．B．

C．D．

4．如图在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值是（）

A．B．C．D．

5．为响应我校“读数节”活动，高三年级开展语文教师课文朗读比赛．已知本年级男女教师人数相同，其中有8%的男教师和4%的女教师擅长中华诗词朗诵，现随机选一位教师，这位教师恰好擅长中华诗词朗诵的概率是（）

A．0.12B．0.10C．0.06D．0.05

6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（）

A．B．C．D．

7．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线的极大值点为b，极大值为c，则ad等于（）

A．2B．C．D．1

8．5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：

时间x12345

销售量y（千只）0.50.81.01.21.5

若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（）

A．由题中数据可知，变量y与x正相关

B．线性回归方程中

C．时，残差为0.02

D．可以预测时该商场5G手机销量约为1.72（千只）

9．已知函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿x轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的结论，其中所有正确结论的序号是（）

①函数是奇函数②的图象关于直线对称

③在上是增函数④当时，函数的值域是

A．①③B．③④C．②D．②③④

二、填空题（本大题6小题，每题5分，共30分，将答案写在答题纸上）

10．已知函数，则______．

11．二项式展开式的常数项为______．

12．已知点A在函数的图象上，点B在直线上，则A，B两点之间距离的最小值是______．

13．某校高三年级有男生360人，女生240人，对高三学生进行问卷调查，采用分层抽样的方法，从这600名学生中抽取5人进行问卷调查，再从这5名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是______，记抽取的男生人数为X，则随机变量X的数学期望为______．

14．若，，则的最小值为______．

15．已知，且函数．若对任意的不等式恒成立，则实数a的取值范围为______．

三、解答题（本大题共5小题，共75分．将解题过程写在答题纸上）

16．（本小题满分14分）

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．

（1）求角B的大小；

（2）若，求的值；

（3）若，，求边a的值．

17．（本小题满分14分）

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF，，，，，．

（1）求证：平面ACF；

（2）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；

（3）求平面ACF与平面BCE所成角的正弦值．

18．（本小题满分15分）

已知等比数列的首项为1，公比为q，，，依次成等差数列．

（1）求公比q的值；

（2）当公比时，求数列的前n项和．

19．（本小题满分16分）

设函数．

（1）当时，求的极值；

（2）当时，讨论的单调区间；

（3）若对任意及，恒有成立，求m的取值范围．

20．（本小题满分16分）

已知数列的前n项和为，数列是首项为0，公差为的等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，对任意的正整数k，将集合中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为，求证：数列为等比数列；

（3）对（2）中的，求集合的元素个数．

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数学答案

一、选择题

1-5CBABC6-9DABC

二、填空题

10．111．6012．13．14．415．

三、解答题

16．（本小题满分14分）

解：（1）由正弦定理有：，而A为的内角，

∴，即，由，可得．

（2），

∵，，可得，而，，

∴．

（3）由余弦定理知：，又，，，

∴，可得．

17．（本小题满分14分）

（1）证明：法一：在EF上取点P，使，

因为，所以，于是平面ACF，

因为，四边形ABEF为正方形，所以，所以平面ACF，

因为，所以平面平面ACF，

因为平面MNP，所以平面ACF；

（2）因为平面ABEF，所以，，

又因为四边形ABEF为正方形，所以，

所以FA、FE、FD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，

设平面BCE的法向量为，

，令，，

所以直线AD与平面BCE所成角的正弦值为；

（3）解：，，

设平面ACF的法向量为，

，令，，

由（1）知平面BCE的法向量为，

设平面ACF与平面BCE所成二面角的大小为，

，．

所以平面ACF与平面BCE所成二面角的正弦值为．

18．（本小题满分15分）

（1）∵依次成等差数列，∴．

∵是首项为1的等比数列，∴．

∵，∴，∴或．

（2）∵，∴，∴

∵，

∴，

∴，

上式减下式得：

，∴．

19．（本小题满分16分）

（1）依题意，知的定义域为．

当时，，．

令，解得，

当时，；当时，，

又，所以的极小值为，无极大值；

（2）∵，

当时，，令，得或，令，得；

当时，得，令，得或，令，得；

当时，；

综上所述，当时，的递减区间为，；递增区间为；

当时，在单调递减；

当时，的递减区间为，，递增区间为．

（3）由（2）可知，当时，在单调递减．

当时，取最大值；当时，取最小值．

所以，

因为恒成立，

所以，

整理得．

又，所以，

又因为，得，所以，所以．

20．（本小题满分16分）

（1）∵数列的前n项和为，数