考研数学二二次型

考研数学二二次型1.【单项选择题】下列矩阵中，正定矩阵是A.B.C.D.正确答案：C参考解析：

二次型正定的必要条件是：aij>0．2.【单项选择题】n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是(  )．A.A无负特征值B.A是满秩矩阵C.A的每个特征值都是单值D.A-1是正定矩阵正确答案：D参考解析：A正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，(A)不对；若A为正定矩阵，则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；(D)既是充分条件又是必要条件，选(D)．3.【单项选择题】设A为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX与XTA-1X(  )．A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同正确答案：B参考解析：因为A与A-1合同，所以XTAX与XTA-1X规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)．4.【单项选择题】二次型f(x1，x2，x3)=x1x2+x2x3+x1x3的矩阵为（）．A.

B.

C.

D.

正确答案：B参考解析：5.【单项选择题】A.

B.

C.

D.

正确答案：A参考解析：判定规范形，只要确定二次型的秩及正、负惯性指数，可以通过求二次型矩阵A的特征值来确定．

6.【单项选择题】A是n阶实对称矩阵，则A合同于矩阵B的充分必要条件是（）．①r(A)=r(B)，②A与B的正惯性指数相等，③A与B均正定矩阵，④B是实对称矩阵．A.①成立B.④成立C.①②④均成立D.③成立正确答案：C参考解析：首先④是必要条件．

7.【填空题】二次型f(x1，x2，x3)=2x1x2+4x1x3在正交变换下的标准形是______.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】8.【填空题】取值范围____.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】9.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：0【解析】10.【填空题】二次型f(x1，x2，x3)=(x1-2x2)2+4x2x3的矩阵为_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：11.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：12.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：13.【填空题】值范围为______.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：-2<a<1．【解析】

14.【填空题】设二次型f(x1，x2，x3)=．(Ⅰ)求一个正交变换x=Qy，将f化为标准形；(Ⅱ)利用配方法，将f化为标准形．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：(I)

(Ⅱ)用配方法．

15.【填空题】（1）若3阶实对称矩阵A与B=合同，则二次型xTAx的规范形为______.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：

16.【填空题】设A是3阶实对称矩阵，二次型xTAx经过正交变换x=Qy后的标准形为,则二次型xTA*x的规范形为请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

17.【解答题】已知A是3阶矩阵，满足A2-2A-3E=O，(1)证明A可逆，并求A-1(2)如|A+2E|=25，求|A-E|的值.(3)证明ATA是正定矩阵.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(1)有A2-2A=3E，有A*(A-2E)/3=E。所以A可逆且A-1=(A-2E)/3。(2)设λ是A的特征值，α是对应的特征向量，即Aα=λα，α≠0．由A2-2A-3E=O有λ2-2λ-3=0，A的特征值为3或-1，那么A+2E的特征值是5或1．由|A+2E|=25，从而A的特征值只能是3，3，-1．于是|A-E|=2·2·(-2)=-8．(3)因(ATA)T=AT(AT)T=ATA，即ATA是对称矩阵．由A可逆，对ATA=ATEA知ATA与E合同，从而ATA是正定矩阵．18.【解答题】设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=的正负惯性指数都是1.(I)求a的值；(Ⅱ)求可逆线性变换x=By，将f(x1，x2，x3)化为标准形．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(Ⅰ)

解得a=1或a=-2．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，二次型为

19.【解答题】是方程组A*x=4α的解向量．(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)求正交变换x=Qy，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(Ⅰ)由已知A*α=4α，等式两边同时左乘A，得AA*α=4Aα，即|A|α=4Aα，①

(Ⅱ)由于α1，α2已正交，所以只需将α1，α2，α3单位化，得

20.【解答题】(Ⅰ)求二次型f(x1，x2，…，xn)=xTAx的秩；(Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P-1AP=A，并求二次型的正惯性指数．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(Ⅰ)f(x1，x2，…，xn)

(Ⅱ)由|λE-A|=0，解得A的特征值为

21.【解答题】设A是实对称矩阵，证明：A可逆的充要条件是存在方阵B，使得AB+BTA为正定矩阵．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(必要性)因A可逆，取B=A-1，由A是实对称矩阵，有

22.【解答题】设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)．求：(1)二次型XTAX的标准形；(2)|E+A+A2+…+An|的值．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(1)因为A2=A，所以|A||E-A|=0，即A的特征值为0或者1，因为A为实对称矩阵，所以A可对角化，由r(A)=r得A的特征值为λ=1(r重)，λ=0(n-r重)，则二次型XTAX的标准型为y12+y22+...+yr2。(2)令B=E+A+A2+...+An，则B的特征值为λ=n+1(r重)，λ=1(n-r重)，故|E+A+A2+...+An|=(n+1)r。23.【解答题】(1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式；(2)二次型g(X)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(1)(2)因为A可逆，所以A的n个特征值都不是零，而A与A-1合同，故二次型f(x1，x2，…，xn)与g(