数学人教A版必修4导学案2.2.3向量数乘运算及其几何意义

2.2.3向量数乘运算及其几何意义1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义，会作向量ma＋nb.2．熟练掌握和运用向量数乘的运算律，会化简向量关系式，并能用已知向量表示未知向量．3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线．1．向量的数乘定义一般地，实数λ与向量a的积是一个______，这种运算叫做向量的数乘，记作λa长度|λa|＝|λ||a|方向λ＞0λa的方向与a的方向______λ＝0λa＝____λ＜0λa的方向与a的方向____①实数与向量可以进行数乘运算，其结果是一个向量，不是实数；但实数与向量不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是错误的．②对任意非零向量a，则向量eq\f(a,|a|)是与向量a同向的单位向量．③λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍．【做一做1】已知非零向量a，b满足a＝4b，则()A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b|C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反2．向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝________；(2)(λ＋μ)a＝________；(3)λ(a＋b)＝________(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝______＝______，λ(a－b)＝______.在△ABC中，D是BC的中点，则有eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．【做一做2】3(2a－4b)等于(A．5a＋7b B．5a－7b C．6a＋12b D．63．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______．(1)向量共线的条件：当向量a＝0时，a与任一向量b共线；当向量a≠0时，对于向量b，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么由实数与向量的积的定义知b与a共线．反之，已知向量b与a(a≠0)共线且向量b的长度是向量a长度的λ倍，即|b|＝λ|a|，那么当b与a同方向时b＝λa，当b与a反方向时b＝－λa.(2)如果向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝0.已知三点A，B，C共线，O是平面内任意一点，则有eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))，其中λ＋m＝1.【做一做3】已知P是线段MN的中点，则有()A.eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(NP,\s\up6(→)) B.eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))C.eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NM,\s\up6(→)) D.eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))4．向量的线性运算向量的____、____、______运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝向量λ(μ1a＋μ2b)可以用平行四边形法则作出，如图所示，eq\o(OE,\s\up6(→))＝λ(μ1a＋μ2b)．【做一做4】在ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3b，则eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．a＋b B．a－b C．2a＋3b D．2a－答案：1．向量相同0相反【做一做1】C∵a＝4b,4＞0，∴|a|＝4|b|.∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同．2．(1)(λμ)a(2)λa＋μa(3)λa＋λb－(λa)λ(－a)λa－λb【做一做2】D原式＝3×2a－3×4b＝6a－123．b＝λa【做一做3】B如图所示，eq\o(MN,\s\up6(→))＝－2eq\o(NP,\s\up6(→))，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(PN,\s\up6(→))，则选项A，C，D不正确，很明显eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))，则选项B正确．4．加减数乘λμ1a±λμ2【做一做4】Ceq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝2a＋3b.共线向量定理的应用剖析：共线向量定理可以分为两个定理：判定定理：如果存在一个实数λ满足b＝λa(λ∈R)，那么a∥b.性质定理：如果a∥b，a≠0，那么存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.(1)判定定理的结论是a∥b，那么用共线向量定理可以证明两向量共线．即证明向量a∥b，只需找到满足a＝λb或b＝λa的实数λ的值即可．(2)判定定理的结论是a∥b，则有当eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b时，有O，A，B三点共线，即用共线向量定理可以证明三点共线．即三点共线问题通常转化为向量共线问题．(3)判定定理的结论是a∥b，当a和b所在的直线分别是直线m和n时，则有直线m，n平行或重合．即用共线向量定理可以证明两直线平行．例如：如图，已知△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，并且AD=xAB，AE=xAC，0＜x＜1.求证：DE∥BC，且DE=xBC.证明：∵AD=xAB，AE=xAC，∴eq\o(AD,\s\up6(→))=xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))=xeq\o(AC,\s\up6(→)).∴eq\o(DE,\s\up6(→))=eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))=x(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))=xeq\o(BC,\s\up6(→)).∴DE∥BC且DE=xBC.(4)性质定理的结论是b=λa，则有|b|=|λ|·|a|，当eq\o(OA,\s\up6(→))=a，eq\o(OB,\s\up6(→))=b时，|eq\o(OB,\s\up6(→))|=|λ|·|eq\o(OA,\s\up6(→))|，从而OB=|λ关系．例如：平行四边形OACB中，BD=eq\f(1,3)BC，OD与BA相交于E.求证：BE=eq\f(1,4)BA.证明：如图，设E′是线段BA上的一点，且BE′=eq\f(1,4)BA.设eq\o(OA,\s\up6(→))=a，eq\o(OB,\s\up6(→))=b，则eq\o(BD,\s\up6(→))=eq\f(1,3)a，eq\o(OD,\s\up6(→))=b+eq\f(1,3)a.∵eq\o(BE,\s\up6(→))=eq\o(OE′,\s\up6(→))－b，=a－eq\o(OE′,\s\up6(→)),3eq\o(BE′,\s\up6(→))=，∴3(eq\o(OE′,\s\up6(→))－b)=a－eq\o(OE′,\s\up6(→)).∴eq\o(OE′,\s\up6(→))=eq\f(1,4)(a+3b)=eq\f(3,4)(b+eq\f(1,3)a)，∴eq\o(OE′,\s\up6(→))=eq\f(3,4)eq\o(OD,\s\up6(→)).∴O，E′，D三点共线，即E，E′重合．∴BE=eq\f(1,4)BA.由此可见，证明两平行线段的长度关系可转化为证明这两条线段构成的向量共线．题型一化简向量关系式【例1】计算：(1)3(6a＋b)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))；(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((3a＋2b)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7分析：综合运用实数与向量的运算律解题．反思：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．题型二用已知向量表示未知向量【例2】已知ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AN,\s\up6(→))＝e2，试用e1，e2表示eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→)).分析：由于eq\o(DB,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→))，则用e1与e2表示eq\o(MN,\s\up6(→))可得eq\o(DB,\s\up6(→))；在△AMN中，AO是MN边上的中线，则可用eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))表示eq\o(AO,\s\up6(→)).反思：用已知向量表示未知向量时，通常要结合图形的特点，把未知向量放到三角形或平行四边形中，适当选择向量的加法、减法和数乘运算来求解．有时，可借助于共线向量来解决(如本题求eq\o(DB,\s\up6(→)))．题型三已知向量a，b，求作向量ma＋nb【例3】已知向量a，b，如图所示，求作向量2a－3b分析：分别作出有相同起点的向量2a与3b，利用三角形法则作出向量2a－3反思：已知a，b，求作向量ma＋nb时，先作出向量ma与nb，借助三角形法则或平行四边形法则作出ma＋nb.题型四共线问题【例4】已知向量a，b不共线，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋3b.(1)求证：A，B，C三点共线；(2)试确定实数k的值，使ka＋b与a＋kb共线．分析：(1)由于eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))有公共点，则转化为证明eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))，根据共线向量定理，只需找到满足eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))的实数λ即可；(2)由于ka＋b与a＋kb共线，根据共线向量定理，存在实数λ使ka＋b＝λ(a＋kb)，借助于等式两边a与b的系数，列方程组解得k的值．反思：(1)证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所表示的向量共线，如本题(1)．(2)已知向量ma＋nb与ka＋pb(a与b不共线)共线求参数的值的步骤：①设ma＋nb＝λ(ka＋pb)；②整理得ma＋nb＝λka＋λpb，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝λk，,n＝λp；))③解方程组得参数的值．如本题(2)．答案：【例1】解：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq\f(3,4)b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3,4)b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a【例2】解：∵M，N分别是DC和BC的中点，∴MNeq\f(1,2)BD.∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝e2－e1，∴eq\o(DB,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))＝2e2－2e1.又AO是△AMN的中线，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)e2＋eq\f(1,2)e1.【例3】解：步骤如下；(1)作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝2a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3b.如图所示．(2)连接BA，则eq\o(BA,\s\up6(→))就是所求作的向量．【例4】解：(1)证明：∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋3b，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a＋3b)－(a＋b)＝2b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a＋2b)－(a＋b)＝b，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→)).又AC与AB有公共点A，∴A，B，C三点共线．(2)∵(ka＋b)∥(a＋kb)，∴存在实数λ使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋kλb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,1＝kλ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co