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第10讲证明垂直证明垂直,一般通过降维的手段,最终归结为证明线线垂直.线线垂直是问题的核心,具体线线垂直的证明方式总结如下.（1）共面直接证明1.勾股定理:在中,,则.2.三线合一:在中,是的中点,则.3.矩形:找到或者证明一个四边形是矩形,则可得邻边相互垂.（2）性质定理转化证明1.线面垂直:若要证明的直线为异面直线,通常转化为线面垂直,利用线面垂直的性质证明线线垂直2.面面垂直：若题目中给了面面垂直，通常是要找到两平面交线和垂直于交线的直线，利用面面垂直性质转化为线面垂直.勾股定理证明垂直【例1】如下图所示,在三棱柱中,.证明:平面.【解析】证明：如下图所示,连接.由可得为等边三角形.,,.又,且平面,平面.【例2】如下图所示,在四棱锥中,平面,四边形是平行四边形,是边长为的等边三角形,.证明:平面.【解析】证明：平面,且,平面.在Rt中,,.在Rt中,..四边形是平行四边形,.平面平面,.又,平面.【例3】如下图所示,已知在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,侧棱,过点的平面与侧棱分别相交于点,且满足.证明:平面.【解析】证明：(1)如下图所示,连接,.,连接..又底面是菱形,.平面..又.由已知条件得.由余弦定理得,.,.与相交,且都在平面AEMF内,平面.【例4】如下图所示,在四棱锥中,平面,点在线段上,且平面.证明:平面平面.【解析】证明：如下图所示,连接交于点,连接.平面平面,平面平面,.由知,.又..在中,,由余弦定理得,即,故,.平面平面,.又平面.又平面,平面平面PAD.三线合一证明垂直【例1】如下图所示,在四棱锥中,底面是正方形,若.证明:平面平面.【解析】证明：如下图所示,取的中点为,连接..,.在正方形中,.,为直角三角形且.,平面.平面,平面平面.【例2】如下图所示,在三棱柱中,,点为的中点,.证明:平面平面.【解析】证明：如下图所示,取的中点为,连接,则.在中,,.,平面.平面,.根据已知,,又,.,平面.又平面,平面平面.性质定理证明垂直【例1】如下图所示,在三棱柱中,,平面平面.证明:平面平面.【解析】证明：∵且四边形为平行四边形,四边形为菱形..又平面平面,平面平面,平面.又平面,平面平面.【例2】如下图所示,底边是正方形,平面平面.证明:平面平面.【解析】证明：∵平面平面，平面平面,平面,平面.平面,.又四边形是正方形,.平面,平面,平面.又平面,平面平面.特殊四边形证明垂直【例1】如下图所示,在三三棱柱中,底面是等边三角形,侧面为菱形,且平面平面,点为棱的中点.证明:平面.【解析】证明：设的中点为与的交点为,连接,如下图所示.由为的中点可得.又平面平面,平面平面,平面.又为的中点,且.又且,且.因此四边形为平行四边形,且,平面.又四边形为菱形,.又平面,平面,平面.【例2】如下图所示,在直四棱柱中,底面是菱形,分别为的中点.证明:平面.【解析】证明：如下图所示,连接交于点,连接.四边形为菱形,且,为的中点.为的中

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