2023届高考数学二轮复习微专题29以二元变量为载体的应用题作业

微专题29以二元变量为载体的应用题1.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x的值是________．2．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋eq\f(1,t)，而人均消费g(t)(元)近似满足g(t)＝120－|t－20|.则该城市旅游日收益的最小值为________．3．共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用．据市场分析，每辆单车的营运累计利润y(单位：元)与营运天数x(x∈N*)满足y＝－eq\f(1,2)x2＋60x－800.(1)要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围；(2)每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润eq\f(y,x)的值最大？4．(2018·上海松江一模)某市有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利．已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20.经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与(10－t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人．记电车载客量为p(t)．(1)求p(t)的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；(2)若该线路每分钟的净收益为Q＝eq\f(6p（t）－1500,t)－60(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？

5.(2018·苏州期末)如图，长方形材料ABCD中，已知AB＝2eq\r(3)，AD＝4.点P为材料ABCD内部一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE＝1，PF＝eq\r(3).现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足∠MPN＝150°，点M，N分别在边AB，AD上．(1)设∠FPN＝θ，试将四边形材料AMPN的面积S表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；(2)试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值．6．(2018·苏锡常镇二模)如图1是某斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，某研究小组将其抽象成图2所示的数学模型．索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21∶4.且P对两塔顶的视角为135°.(1)求桥面AC的长度；(2)研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比(比例系数为正数a)，且与该处到索塔的距离的平方成反比(比例系数为正数b)，问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．微专题291．答案：30.解析：总费用4x＋eq\f(600,x)×6＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(900,x)))≥240，当且仅当x＝eq\f(900,x)，即x＝30时等号成立．2．答案：441万元．解析：由题意可得W(t)＝f(t)g(t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(1,t)))(120－|t－20|)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(401＋4t＋\f(100,t)，1≤t≤20，,559＋\f(140,t)－4t，20＜t≤30.))当t∈[1，20]时，401＋4t＋eq\f(100,t)≥401＋2eq\r(4t·\f(100,t))＝441(t＝5时取最小值)．当t∈(20，30]时，因为W(t)＝559＋eq\f(140,t)－4t递减，所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443eq\f(2,3).答：当t∈[1，30]时，W(t)的最小值为441万元．3．答案：(1)40到80天之间；(2)每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天．解析：(1)要使营运累计收入高于800元，令－eq\f(1,2)x2＋60x－800＞800，解得40＜x＜80.所以营运天数的取值范围为40到80天之间．(2)eq\f(y,x)＝－eq\f(1,2)x－eq\f(800,x)＋60≤－2eq\r(400)＋60＝20，当且仅当eq\f(1,2)x＝eq\f(800,x)时等号成立，解得x＝400.答：每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天．4．答案：(1)368人；(2)当发车时间间隔t＝5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为60元．解析：(1)由题意知p(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400－k（10－t）2，2≤t＜10，,400，10≤t≤20))(k为常数)．因为p(2)＝400－k(10－2)2＝272，所以k＝2，所以p(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400－2（10－t）2，2≤t＜10，,400，10≤t≤20.))所以p(6)＝400－2(10－6)2＝368(人)．(2)由Q＝eq\f(6p（t）－1500,t)－60，可得Q＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)（－12t2＋180t－300），2≤t＜10，,\f(1,t)（－60t＋900），10≤t≤20.))当2≤t＜10时，Q＝180－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12t＋\f(300,t)))≤180－2eq\r(12×300)＝60，当且仅当t＝5时等号成立．当10≤t≤20时，Q＝－60＋eq\f(900,t)≤－60＋90＝30，当t＝10时等号成立．答：当发车时间间隔t＝5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为60元．5．答案：(1)S＝eq\f(3,2)tanθ＋eq\f(1,2)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＋eq\r(3)，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))；(2)当AN＝eq\f(2\r(3),3)时，四边形材料AMPN的面积S最小，最小值为2＋eq\f(\r(3),3).解析：(1)在直角△NFP中，因为PF＝eq\r(3)，∠FPN＝θ，所以NF＝eq\r(3)tanθ，所以S△NAP＝eq\f(1,2)NA·PF＝eq\f(1,2)(1＋eq\r(3)tanθ)×eq\r(3).在直角△MEP中，因为PE＝1，∠EPM＝eq\f(π,3)－θ，所以ME＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))，所以S△AMP＝eq\f(1,2)AM·PE＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(3)＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))))×1.所以S＝S△NAP＋S△AMP＝eq\f(3,2)tanθ＋eq\f(1,2)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＋eq\r(3)，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).(2)因为S＝eq\f(3,2)tanθ＋eq\f(1,2)tan(eq\f(π,3)－θ)＋eq\r(3)＝eq\f(3,2)tanθ＋eq\f(\r(3)－tanθ,2（1＋\r(3)tanθ）)＋eq\r(3).令t＝1＋eq\r(3)tanθ，由θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，得t∈[1，4]，所以S＝eq\r(3)＋eq\f(3t2－4t＋4,2\r(3)t)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(4,3t)))＋eq\f(\r(3),3)≥eq\f(\r(3),2)×2×eq\r(t×\f(4,3t))＋eq\f(\r(3),3)＝2＋eq\f(\r(3),3).当且仅当t＝eq\f(2\r(3),3)时，即tanθ＝eq\f(2－\r(3),3)时等号成立．此时，AN＝eq\f(2\r(3),3)，Smin＝2＋eq\f(\r(3),3).答：当AN＝eq\f(2\r(3),3)时，四边形材料AMPN的面积S最小，最小值为2＋eq\f(\r(3),3).6．答案：(1)500m；(2)两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为eq\f(6ab,3125).解析：(1)设AP＝21t，BP＝4t(t＞0)，记∠APB＝α，∠CPD＝β，则tanα＝eq\f(60,21t)＝eq\f(20,7t)，tanβ＝eq\f(60,4t)＝eq\f(15,t)，由tan(α＋β)＝tan45°＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(20,7t)＋\f(15,t),1－\f(300,7t2))＝1，化简得7t2－125t－300＝0，解得t＝20或t＝－eq\f(15,7)(舍去)．所以，AC＝AP＋PC＝25×20＝500.答：两索塔之间的距离AC＝500米．(2)方法1：设AP＝x，点P处的承重强度之和为L(x)．则L(x)＝60eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(ab,x2)＋\f(ab,（500－x）2)))，且x∈(0，500)，即L(x)＝60abeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋\f(1,（500－x）2)))，x∈(0，500)，记l(x)＝eq\f(1,x2)＋eq\f(1,（500－x）2)，x∈(0，500)，则l′(x)＝eq\f(－2,x3)＋eq\f(2,（500－x）3)，令l′(x)＝0，解得x＝250，当x∈(0，250)，l′(x)＜0，l(x)单调递减；当x∈(250，500)，l′(x)＞0，l(x)单调递增；所以x＝250时，l(x)取到最小值，L(x)也取到最小值eq\f(6ab,3125).方法2：由基本不等式得500＝a＋b≥2eq\r(ab)，所以ab≤2502①，当且仅当a＝b时“＝