2023届高考数学二轮复习微专题8平面向量共线定理的灵活运用含解析

Page1微专题8平面向量共线定理的灵活运用与平面向量共线有关的求值问题与最值问题是平面向量中的热点与难点，常以中档小题、压轴小题出现，解决此类问题需要将题中的向量关系转化为未知元之间的数量关系，再求出目标，本专题主要研究平面向量线性表示背景下的求值问题与最值问题，并在解决问题的过程中体会平面向量共线定理的灵活运用.例题：如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，求m＋n的值．变式1如图，经过△ABO的重心G的直线与OA，OB交于点P，Q，设eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝neq\o(OB,\s\up6(→))，m，n∈R，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的值为________________．变式2已知点O是△ABC的外心，AB＝AC＝2，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，且x＋2y＝1，则△ABC的面积等于________________．串讲1若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)求△ABM与△ABC的面积之比；(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设eq\o(BO,\s\up6(→))＝xeq\o(BM,\s\up6(→))＋yeq\o(BN,\s\up6(→))，求x，y的值．串讲2如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足eq\f(1,CM2)＋eq\f(1,CN2)＝1，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AM,\s\up6(→))＋yeq\o(AN,\s\up6(→))，则x＋y的最小值为________．(2018·四省名校联考改编)如图，在△ABC中，已知eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，P为AD上一点，且满足eq\o(CP,\s\up6(→))＝meq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(CB,\s\up6(→))，则实数m的值为________________．如图，在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，且点P落在四边形ABNM内(含边界)，求eq\f(y＋1,x＋y＋2)的取值范围．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,4))).解析：分三种情况讨论：①当P在线段AB上时，设eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OB,\s\up6(→))＋λ\o(OA,\s\up6(→)),1＋λ)，2分由于eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，(x，y∈R)，∴x＝eq\f(λ,1＋λ)，y＝eq\f(1,1＋λ).3分故x＋y＝1；此时y∈[0，1]，所以eq\f(y＋1,x＋y＋2)＝eq\f(y＋1,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))).4分②当P在线段MN上时，设eq\o(MP,\s\up6(→))＝λeq\o(PN,\s\up6(→))，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OM,\s\up6(→))＋λ\o(ON,\s\up6(→)),1＋λ).6分因为eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)xeq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)yeq\o(ON,\s\up6(→))(x，y∈R)，所以eq\f(1,2)x＝eq\f(λ,1＋λ)，eq\f(1,2)y＝eq\f(1,1＋λ)，8分故x＋y＝2；此时y∈[0，2]，所以eq\f(y＋1,x＋y＋2)＝eq\f(y＋1,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,4))).10分③当P在四边形ABNM内(含边界)，则x≥0，y≥0.eq\f(y＋1,x＋y＋2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,4))).13分所以eq\f(y＋1,x＋y＋2)的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,4))).14分微专题8例题答案：2.解析：eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，将eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))代入可得eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up6(→))，设eq\o(MO,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→))(0＜λ＜1)，可得eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MO,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋λeq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AM,\s\up6(→))＋λeq\o(AN,\s\up6(→))，由平面向量基本定理可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)＝1－λ，,\f(n,2)＝λ，))故eq\f(m＋n,2)＝1，所以m＋n的值为2.变式联想变式1答案：3.解析：连接OG并延长，交AB于点C，因为G是△ABC的重心，即OC是△ABC的中线，所以eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))①，因为eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,m)eq\o(OP,\s\up6(→))②，同理可得eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,n)eq\o(OQ,\s\up6(→))③，将②③代入①可得eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2m)eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2n)eq\o(OQ,\s\up6(→))，即eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2m)\o(OP,\s\up6(→))＋\f(1,2n)\o(OQ,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3m)eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\f(1,3n)eq\o(OQ,\s\up6(→)).设eq\o(PG,\s\up6(→))＝λeq\o(PQ,\s\up6(→))(0＜λ＜1)，则有eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋λ(eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(OQ,\s\up6(→))，根据平面向量基本定理，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3m)＝1－λ，,\f(1,3n)＝λ，))eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3m)＝1eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3，故eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的值为3.变式2答案：eq\r(3).解析：如图设D为AC中点，因为eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2y·eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))故eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AD,\s\up6(→))，因为x＋2y＝1，所以B，O，D三点共线，即BD是△ABC的中线和高，又AB＝AC，故△ABC是等边三角形，从而S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sin60°＝eq\r(3).说明：平面向量线性表示背景下的求值问题与最值问题涉及平面向量的线性表示、平面向量基本定理、向量共线等知识点，解决此类问题通常需要将题中的向量关系转化为未知元之间的数量关系，再求出目标．解决问题的关键是灵活运用平面向量基本定理．串讲激活串讲1答案：(1)1∶4；(2)x＝eq\f(4,7)，y＝eq\f(6,7).解析：(1)如图由eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))可知，M，B，C三点共线，如图，令eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))λ＝eq\f(1,4)，所以eq\f(S△ABM,S△ABC)＝eq\f(1,4)，即面积之比为1∶4.(2)由eq\o(BO,\s\up6(→))＝xeq\o(BM,\s\up6(→))＋yeq\o(BN,\s\up6(→))得，eq\o(BO,\s\up6(→))＝xeq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\f(y,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，由(1)可知eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\f(x,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＋yeq\o(BN,\s\up6(→))，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)＝1，,\f(x,4)＋y＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,7)，,y＝\f(6,7).))串讲2答案：eq\f(5,4).解析：如图，连接MN交AC于P，设eq\o(AC,\s\up6(→))＝teq\o(AP,\s\up6(→))＝t(λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(AN,\s\up6(→)))，所以x＝tλ，y＝tμ，x＋y＝t(λ＋μ)，故问题等价于求t的最小值，即求AP的最大值，