高中数学《函数的概念、性质与基本初等函数》知识点讲解附真题课件

第三章函数的概念、性质与基本初等函数§3.1函数的概念高考数学第三章函数的概念、性质与基本初等函数高考数学考点一函数的有关概念1.函数的概念一般地,设A,B是①非空

的实数集,如果对于集合A中的②任意

一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有③唯一

确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数(function),记作y=f(x),x∈A.2.函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的④定义域

(domain),与x的值相对应的y值叫做⑤函数值

.函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的⑥值域

(range).显然,值域是集合B的⑦子集

.3.函数的三要素:⑧定义域

、⑨值域

、⑩对应关系

.考点清单考点一函数的有关概念考点清单24.相等函数:如果两个函数的定义域相同,且对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.考点二函数的表示方法1.常用的函数表示法:

解析法

、

列表法

、

图象法

.2.分段函数若函数在其定义域的

不同子集

上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但

它表示的是一个函数.注意(1)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各

段函数的值域的并集.(2)分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数问题时,首先确定自变量的取值属于哪个区间,再选取相应的对应关系,离开定义域讨论分段函数是毫无意义的.4.相等函数:如果两个函数的定义域相同,且对应关系完全一致,3考法一函数定义域的求法知能拓展例1函数f(x)=

+ln(x+4)的定义域为

.解题导引根据函数式的结构列不等式组.然后解不等式组求出定义域.解析要使f(x)有意义,则有

∴-4<x≤1,∴函数f(x)的定义域为(-4,1].答案(-4,1]考法一函数定义域的求法知能拓展例1函数f(x)= +ln4方法总结已知函数的解析式求定义域,解此类题要从使解析式有意义的

角度入手.一般来说,在高中范围内涉及的有:(1)开偶次方时被开方数为非

负数;(2)分式的分母不为零;(3)零次幂的底数不为零;(4)对数的真数大于

零;(5)指数、对数的底数大于零且不等于1;(6)实际问题还需要考虑使题目

本身有意义.例2已知函数f(2x+1)的定义域为(0,1),求f(x)的定义域.解题导引函数f(2x+1)中的自变量是谁?(0,1)是谁的取值范围?要求f(x)的

定义域是求f(2x+1)中谁的取值范围?方法总结已知函数的解析式求定义域,解此类题要从使解析式有意5方法总结求复合函数的定义域的题目一般有两种情况:(1)已知y=f(x)的定义域是A,求y=f[g(x)]的定义域,可由g(x)∈A求出x的范围,

即为y=f[g(x)]的定义域.(2)已知y=f[g(x)]的定义域是A,求y=f(x)的定义域,可由x∈A求出g(x)的范围,

即为y=f(x)的定义域.解析∵f(2x+1)的定义域为(0,1),∴0<x<1,∴1<2x+1<3,∴f(x)的定义域是(1,3).方法总结求复合函数的定义域的题目一般有两种情况:解析∵f6考法二函数解析式的求法例3已知f(

+1)=x+2

,求f(x)的解析式.解题导引解法一:设t=

+1,解出x=(t-1)2,代入函数式得f(x)的解析式.解法二:把式子x+2

配凑为关于

+1的式子结构得f(x)的解析式.方法总结1.换元法.已知f[h(x)]=g(x),求f(x)时,可设h(x)=t,从中解出x,代入g

(x)进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围.2.配凑法.已知f[h(x)]=g(x),求f(x)的问题,可把g(x)整理或配凑成只含h(x)的

式子,用x将h(x)代换.考法二函数解析式的求法例3已知f( +1)=x+2 ,求7例4已知f(x)是一次函数且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x).解题导引设f(x)=ax+b(a≠0),代入3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17得关于a,b的方程

组,求出a,b的值,得f(x)的解析式.解析设f(x)=ax+b(a≠0).∵3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,∴3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=2x+17.∴ax+b+5a=2x+17.∴

∴a=2,b=7.∴f(x)=2x+7.方法总结待定系数法.前提是已知函数的类型(如一次函数、二次函数),

比如二次函数可设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其中a、b、c是待定系数,根据题

设条件列出方程组,解出待定系数即可.例4已知f(x)是一次函数且满足3f(x+1)-2f(x-8例5定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数f(x)的解析式.解题导引令x为-x,得关于f(x),f(-x)的一个方程,从而求出f(x)的解析式.解析

x∈(-1,1)时,有2f(x)-f(-x)=lg(x+1).以-x代x,得2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).联立得

解得f(x)=

lg(x+1)+

lg(1-x),x∈(-1,1).方法总结解方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,

还有其他未知量,如f

等,必须根据已知等式构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).例5定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f(9考法三分段函数问题的解题策略例6已知函数f(x)=

且f(a)=-3,则f(6-a)=

.解题导引

分类讨论a的范围,求出a的值,得f(6-a)的值.解析当a≤1时,f(a)=2a-2=-3,无解.当a>1时,由f(a)=-log2(a+1)=-3得a+1=8,∴a=7,∴f(6-a)=f(-1)=2-1-2=-

.答案-

考法三分段函数问题的解题策略例6已知函数f(x)= 且f10方法总结分段函数问题的常见题型及解法1.求函数值.弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式,求“层层套”的

函数值,要从最内层逐层往外计算.2.求函数最值.分别求出每个区间上的最值,然后比较大小.3.解不等式.根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应的解析式求

解.4.求参数.“分段处理”,采用代入法列出各区间上的方程.方法总结分段函数问题的常见题型及解法11§3.2函数的基本性质高考数学§3.2函数的基本性质高考数学考点一函数的单调性及最值1.函数的单调性(1)单调函数的定义

增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I.区间D⊆I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1<x2

都有①

f(x1)<f(x2)

都有②

f(x1)>f(x2)

函数f(x)在区间D上是③增函数

函数f(x)在区间D上是④减函数

图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的考点清单考点一函数的单调性及最值增函数减函数定义一般地,设函数f13知识拓展(a)单调函数的定义有以下两种等价形式:∀x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,(i)

>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;

<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.(ii)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.(b)复合函数的单调性函数y=f(u),u=φ(x),在函数y=f(φ(x))的定义域上,如果y=f(u),u=φ(x)的单调性

相同,那么y=f(φ(x))单调递增;如果y=f(u),u=φ(x)的单调性相反,那么y=f(φ(x))知识拓展(a)单调函数的定义有以下两种等价形式:14单调递减.(c)函数单调性的常用结论(i)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)

函数.(ii)若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同,若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反.(iii)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=

的单调性相反.(iv)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=

的单调性相同.(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是单调增函数或单调减函数,则称函数f(x)在这一区

间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.单调递减.15注意单调区间只能用区间表示,当一个函数的增区间(或减区间)有多个

时,不能用“∪”连接,而应该用“和”或“,”连接.例如:y=

的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),但不能写成(-∞,0)∪(0,+∞).2.函数的最值前提一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足

条件(1)对于任意的x∈I,都有⑤

f(x)≤M

(2)存在x0∈I,使得⑥

f(x0)=M

(1)对于任意的x∈I,都有⑦

f(x)≥M

(2)存在x0∈I,使得⑧

f(x0)=M

结论M是f(x)的⑨最大

值M是f(x)的⑩最小

值注意单调区间只能用区间表示,当一个函数的增区间(或减区间)16考点二函数的奇偶性1.函数的奇偶性2.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性

相同

,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性

相反

.奇偶性定义图象特点偶函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有

f(-x)=f(x)

,那么函数f(x)就叫做偶函数关于

y轴

对称奇函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有

f(-x)=-f(x)

,那么函数f(x)就叫做奇函数关于

原点

对称(2)在公共定义域内,(i)两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;(ii)两个偶函数的和、积都是偶函数;(iii)一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数.考点二函数的奇偶性2.奇、偶函数的性质奇偶性定义图象特点偶17考点三函数的周期性1.周期函数的概念对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都

有

f(x+T)=f(x)

,那么函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做f(x)的周期.如果所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)

的最小正周期.2.关于函数周期性的几个常用结论(1)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则f(x)的周期是

T=|a-b|

.考点三函数的周期性18(2)若f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期是

T=2|a|

.(3)若f(x+a)=

或f(x+a)=-

,其中f(x)≠0,则f(x)的周期是

T=2|a|

.(4)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,

2|a|是它的一个周期.(5)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,

4|a|是它的一个周期.(2)若f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期是 

19考法一判断函数单调性的方法知能拓展例1

已知f(x)=ex+e-x.证明:f(x)在(0,+∞)上为增函数.解题导引证法一:任取x1,x2∈(0,+∞),且令x1<x2,然后作差f(x1)-f(x2),变形、

定号、判断.证法二:先求导数f'(x),然后判断f'(x)与零的大小关系,最后作出判断.考法一判断函数单调性的方法知能拓展例1

已知f(x)20证明证法一:任取x1,x2∈(0,+∞),且令x1<x2,则f(x1)-f(x2)=

+

-

-

=(

-

)

.∵0<x1<x2,∴

-

>0,∵e>1,x1+x2>0,∴

>1,∴

-1<0,∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.证法二:易求得f'(x)=ex-e-x=e-x(e2x-1).∵x∈(0,+∞),∴e-x>0,e2x-1>0,∴f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.方法总结(1)用定义法判断函数单调性的步骤为求定义域→取值→作差

→变形→定号→单调性.(2)用导数法判断函数单调性的步骤为求定义域→求导→解不等式f'(x)>0

(或f'(x)<0)→单调性.解析式为三次或分式或指数、对数式的复合函数的

单调性常用导数法.证明证法一:任取x1,x2∈(0,+∞),且令x1<x2,21例2函数y=|x|(1-x)的增区间为

()A.(-∞,0)

B.

C.[0,+∞)

D.

解题导引

去绝对值符号转化为分段函数,画图象得增区间.解析

y=|x|(1-x)=

=

=

画出图象如图所示.由图可知函数的增区间为

.答案

B例2函数y=|x|(1-x)的增区间为 ()解题导引

22方法总结1.用图象法求单调区间的步骤:求定义域→作图象→结合图象

的升、降→单调区间.2.性质法:在公共定义域内,若y=f(x),y=g(x)都为增(减)函数,则y=f(x)+g(x)为

增(减)函数;在公共定义域内,若y=f(x)为增函数,y=g(x)为减函数,则y=f(x)-g(x)为增函数,

y=g(x)-f(x)为减函数.例3求函数f(x)=lo

(-x2-2x+3)的单调区间.解题导引先求定义域,然后拆分函数式为y=lo

u,u=-x2-2x+3,判断单调性得单调区间.方法总结1.用图象法求单调区间的步骤:求定义域→作图象→结23解析由已知得-x2-2x+3>0,∴-3<x<1.∴f(x)的定义域为{x|-3<x<1}.令u=-x2-2x+3.∵u=-x2-2x+3在区间(-3,-1)上单调递增,在区间(-1,1)上单调递减,y=lo

u为减函数,∴由复合函数单调性的判断方法得:f(x)=lo

(-x2-2x+3)的单调递减区间是(-3,-1),单调递增区间是(-1,1).方法总结

判断复合函数y=f(g(x))的单调性的步骤如下:(1)求定义域;(2)将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x);(3)分别确定这两个函数的单调性;(4)若这两个函数同增或同减,则y=f(g(x))为增函数;若一增一减,则y=f(g(x))

为减函数,即同增异减.解析由已知得-x2-2x+3>0,∴-3<x<1.方法总结24考法二函数单调性的应用例4

(2019河北衡水中学二调,6)已知函数y=f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,

且f(-x)=f(x),若a=f(lo

3),b=f(2-1.2),c=f

,则a,b,c的大小关系为

()A.a>c>b

B.b>c>aC.b>a>c

D.a>b>c解题导引由f(-x)=f(x)得f(x)为偶函数,然后得出f(x)在(0,+∞)上的单调性,

从而比较大小.解析易知f(x)为偶函数,因为a=f(lo

3)=f(-log23)=f(log23),且log23>

,0<2-1.2<2-1=

,所以log23>

>2-1.2>0.又f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,且f(x)为偶函数,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,所以f(lo

3)<f

<f(2-1.2),所以b>c>a.故选B.考法二函数单调性的应用例4

(2019河北衡水中学二25答案

B方法总结应用函数单调性比较大小时应将自变量转化到同一个单调区

间内,然后利用函数的单调性解决.例5已知函数f(x)对任意a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.解题导引(1)任取x1,x2∈R,且令x1<x2,利用x>0时,f(x)>1比较f(x1),f(x2)的大小.(2)由已知得f(2)=3,将不等式化为f(3m2-m-2)<f(2),利用单调性转化为3m2-m-

2<2求解.答案

B方法总结应用函数单调性比较大小时应将自变量转26解析(1)证法一:任取x1,x2∈R,且令x1<x2,∴x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1,∴f(x2)=f(x1+

(x2-x1))=f(x1)+f(x2-x1)-1>f(x1),∴f(x)是R上的增函数.证法二:∵f(0+0)=f(0)+f(0)-1,∴f(0)=1.∵f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)-1=1,∴f(-x)=2-f(x).任取x1,x2∈R,且令x1<x2,∴x2-x1>0,∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1=f(x2)+2-f(x1)-1=f(x2)-f(x1)+1>1,∴f(x2)-f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)是R上的增函数.(2)f(4)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3,∴f(3m2-m-2)<3=f(2),由(1)知f(x)是R上的增函数,∴3m2-m-2<2,∴-1<m<

.∴不等式的解集为

.解析(1)证法一:任取x1,x2∈R,且令x1<x2,∴x27方法总结解此类不等式主要是利用函数的单调性脱去函数符号.可按下

列步骤进行.(1)先将不等式化为f(x1)<f(x2)的形式.(2)若函数在(a,b)内递增,则由a<x1<b,a<x2<b,x1<x2联立解不等式组;若函数

在(a,b)内递减,则由a<x1<b,a<x2<b,x1>x2联立解不等式组.(3)写出不等式的解集.方法总结解此类不等式主要是利用函数的单调性脱去函数符号.可28例6(1)若函数y=lo

(x2-ax+3a)在区间(2,+∞)上是减函数,则a的取值范围为

()A.(-∞,-4)∪[2,+∞)

B.(-4,4]C.[-4,4)

D.[-4,4](2)若函数f(x)=

(a>0且a≠1)在R上单调递减,则实数a的取值范围是

.例6(1)若函数y=lo (x2-ax+3a)在区间(2,29解析(1)令t=x2-ax+3a,则y=lo

t,易知t=x2-ax+3a在

上单调递减,在

上单调递增.∵y=lo

(x2-ax+3a)在区间(2,+∞)上是减函数,∴t=x2-ax+3a在(2,+∞)上是增函数,且在(2,+∞)上t>0,∴2≥

,且4-2a+3a≥0,∴a∈[-4,4].故选D.(2)∵f(x)在R上单调递减,∴

∴

≤a<1.∴a的取值范围为

.解析(1)令t=x2-ax+3a,则y=lo t,30答案(1)D(2)

方法总结利用单调性求参数.视参数为已知数,依据函数的图象或单调性

定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.需注意:①若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上

也是单调的;②对于分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.答案(1)D(2) 方法总结利用单调性求参数.视参数31考法三函数奇偶性的判断及应用例7判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=(x-1)

;(2)f(x)=

;(3)f(x)=

(4)f(x)=

+

;(5)f(x)=x2-|x-a|+2.考法三函数奇偶性的判断及应用例7判断下列函数的奇偶性.32解析(1)由

≥0,得定义域为[-1,1),不关于原点对称,故f(x)为非奇非偶函数.(2)由

得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,这时f(x)=

=-

.∵f(-x)=-

=

=-f(x),∴f(x)为奇函数.(3)当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x);当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x).∴对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数.解析(1)由 ≥0,得定义域为[-1,1),不关于原点对称33(4)由

得x=-

或x=

,∴函数f(x)的定义域为{-

,

}.又∵对任意的x∈{-

,

},f(x)=0,∴f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x).∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(5)函数f(x)的定义域为R.当a=0时,f(x)=f(-x),∴f(x)是偶函数;当a≠0时,f(a)=a2+2,f(-a)=a2-2|a|+2,f(a)≠f(-a),且f(a)+f(-a)=2(a2-|a|+2)=2

+

≠0,∴f(x)是非奇非偶函数.(4)由 得x=- 或x= ,34方法总结判断函数奇偶性的一般方法1.定义法2.图象法

3.性质法若f(x),g(x)在其公共定义域上具有奇偶性,则奇+奇=奇;奇×奇=偶,偶+偶=

偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.方法总结判断函数奇偶性的一般方法3.性质法35例8(1)已知函数f(x)=

的最大值为M,最小值为m,则M+m等于

()A.0

B.2

C.4

D.8(2)(2019江西赣州五校协作体联考,17)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,

且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在x≤0时的图象,如图所示.

①画出函数f(x)在x>0时的图象,并写出函数f(x)(x∈R)的解析式;②若函数g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),当a>1时,求函数g(x)的最小值.例8(1)已知函数f(x)= 的最大值为M,最小值为m,则36解析(1)易知f(x)的定义域为R,f(x)=

=2+

,设g(x)=

,则g(-x)=-g(x)(x∈R),∴g(x)为奇函数,∴g(x)max+g(x)min=0.∵M=f(x)max=2+g(x)max,m=f(x)min=2+g(x)min,∴M+m=2+g(x)max+2+g(x)min=4,故选C.(2)①f(x)在x>0时的图象如图所示.若x>0,则-x<0,又函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x,∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),∴f(x)=

②由①知g(x)=x2-2x-2ax+2,其图象的对称轴方程为x=a+1,当a>1时,a+1>2,g(x)=x2-2x-2ax+2在[1,2]上单调递减,则g(x)在[1,2]上的最小值为g(2)=2-4a.答案(1)C解析(1)易知f(x)的定义域为R,若x>0,则-x<037方法总结函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式.抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式,或充分利用奇偶性作出

关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式.(2)已知带有字母系数的函数的表达式及奇偶性,求参数.常常采用待定系

数法,利用f(x)±f(-x)=0产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可得出字母

的值.(3)求函数的单调区间,首先应注意函数的定义域,函数的增减区间都是其

定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.

常用方法有:根据定义,利用图象和单调函数的性质等.(4)奇函数⇔图象关于原点对称;偶函数⇔图象关于y轴对称.因此在关于原点对称的区间上,奇函数的单调性相同;偶函数的单调性相反.方法总结函数奇偶性的应用因此在关于原点对称的区间上,奇函数38考法四函数周期性的确定及应用例9(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增

函数,则

()A.f(-25)<f(11)<f(80)

B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25)

D.f(-25)<f(80)<f(11)(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=2x-m,

则m=

,f(2019)=

.解题导引(1)由单调性比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单

调区间内,要利用函数的性质,转化到同一个单调区间上进行比较.(2)利用函数性质求值的关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函数的周

期性将自变量转化到指定区间内,然后代入函数解析式求值.考法四函数周期性的确定及应用例9(1)已知定义在R上的奇39解析(1)∵f(x)满足f(x-4)=-f(x),∴f(x-8)=f(x),∴f(x)的周期为8,∴f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3)=f(-1+4)=-f(-1)=f(1),又∵奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数,∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数,∴f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11),故选D.(2)∵f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+1)=f(1-x),∴f(x+2)=f(-x)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期为4.由题意知f(0)=1-m=0,则m=1,∴当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1.∴f(2019)=f(-1+505×4)=f(-1)=-f(1)=-1.答案(1)D(2)1;-1解析(1)∵f(x)满足f(x-4)=-f(x),由题意知40方法总结(1)周期性与奇偶性的综合问题多为求值问题,常利用奇偶性和

周期性将问题进行转换,即将所求值的自变量转化到已知解析式的自变量

范围内求解.(2)求抽象函数周期的方法递推法:若f(x+a)=-f(x),则f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以2a为f(x)的一

个周期.换元法:若f(x+a)=f(x-a),令x-a=t,则x=t+a,则f(t+2a)=f(t+a+a)=f(t+a-a)=f(t),所

以2a为f(x)的一个周期.方法总结(1)周期性与奇偶性的综合问题多为求值问题,常利用41考法五函数值域的求解方法例10求下列函数的值域:(1)y=

,x∈[-3,-1];(2)y=2x+

;(3)y=x+4+

;(4)y=

;(5)y=log3x+logx3-1.解题导引

考法五函数值域的求解方法例10求下列函数的值域:解题导引42解析(1)由y=

可得y=

-

.∵-3≤x≤-1,∴

≤-

≤

,∴

≤y≤3,即y∈

.(2)(代数换元法)令t=

(t≥0),则x=

.∴y=-t2+t+1=-

+

(t≥0).∴当t=

,即x=

时,y取最大值,ymax=

,且y无最小值,∴函数的值域为

.(3)(三角换元法)令x=3cosθ,θ∈[0,π],则y=3cosθ+4+3sinθ=3

sin

+4.∵0≤θ≤π,∴

≤θ+

≤

,∴-

≤sin

≤1.解析(1)由y= 可得y= - .∵-3≤x≤-1,∴ ≤43∴1≤y≤3

+4,∴函数的值域为[1,3

+4].(4)(判别式法)观察函数式,将已知的函数式变形为yx2+2yx+3y=2x2+4x-7,整

理得(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0.(※)显然y≠2(运用判别式法之前,应先讨论x2的系数).将(※)式看作关于x的一元二次方程.易知原函数的定义域为R,则上述关于x的一元二次方程有实根,所以Δ=[2(y

-2)]2-4(y-2)(3y+7)≥0.解不等式得-

≤y≤2.又y≠2,∴原函数的值域为

.(5)y=log3x+logx3-1变形得y=log3x+

-1.①当log3x>0,即x>1时,y=log3x+

-1≥2-1=1,∴1≤y≤3 +4,∴函数的值域为[1,3 +4].44当且仅当log3x=1,即x=3时取“=”.②当log3x<0,即x<1时,y≤-2-1=-3.当且仅当log3x=-1,即x=

时取“=”.综上所述,原函数的值域为(-∞,-3]∪[1,+∞).例11(1)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min{2x,x+2,10

-x}(x≥0),则f(x)的最大值为

()A.4

B.5

C.6

D.7(2)(2019陕西西安高新第一中学模拟,6)已知函数f(x)=5-log3x,x∈(3,27],则f

(x)的值域是

()A.(2,4]

B.[2,4)

C.[-4,4)

D.(6,9]解题导引(1)画出函数f(x)的图象,由图象得最大值.(2)函数f(x)=5-log3x为减函数,利用单调性求值域.当且仅当log3x=1,即x=3时取“=”.例11(1)用45解析(1)作出f(x)的图象(如图实线部分),可知A(4,6)为函数f(x)图象的最高点.(2)因为y=log3x为增函数,所以f(x)=5-log3x为减函数.因为3<x≤27,所以1<log3x≤3,所以2≤f(x)<4,即f(x)的值域是[2,4).解析(1)作出f(x)的图象(如图实线部分),可知A(4,46方法总结求函数值域(最值)的方法(1)分离常数法形如y=

(ac≠0)的函数的值域经常使用“分离常数法”求解.(2)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法,形如F(x)=a[f(x)]2+bf(x)+

c(a≠0)的函数的值域问题,均可使用配方法.(3)换元法①代数换元.形如y=ax+b±

(a,b,c,d为常数,ac≠0)的函数,可设

=t(t≥0),转化为二次函数求值域.②三角换元:如y=x+

,可令x=cosθ,θ∈[0,π].利用换元法求值域,一定要注意新元的范围对值域的影响.(4)判别式法方法总结求函数值域(最值)的方法47把函数转化成关于x的一元二次方程,通过方程有实根,知判别式Δ≥0,从而

求得原函数的值域,形如y=

(a1,a2不同时为零)的函数的值域常用此法求解.用判别式法求值域的注意事项:①函数的定义域应为R;②分式的分子、分

母没有公因式.(5)有界性法形如sinα=f(y),x2=g(y),ax=h(y)等,由|sinα|≤1,x2≥0,ax>0可解出y的范围,从而

求出其值域.(6)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显,如距离、斜率等,可用数形结合的方法.(7)基本不等式法把函数转化成关于x的一元二次方程,通过方程有实根,知判别式Δ48利用基本不等式:a+b≥2

(a>0,b>0).用此法求函数值域时,要注意条件“一正,二定,三相等”.(8)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(9)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(10)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出

最值.利用基本不等式:a+b≥2 (a>0,b>0).49§3.3二次函数与幂函数高考数学§3.3二次函数与幂函数高考数学考点一二次函数的图象与性质1.二次函数的解析式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);(2)顶点式:若二次函数图象的顶点坐标为(h,k),则其解析式为f(x)=①

a(x-h)2+k(a≠0)

;(3)两根式:若相应一元二次方程的两根为x1,x2,则其解析式为f(x)=②

a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

.2.二次函数的图象和性质考点清单考点一二次函数的图象与性质考点清单51解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+bx+c(a<0)图象

定义域RR值域

③

最值f(x)min=

f(x)max=④

解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+52单调性在⑤

上单调递减,在⑥

上单调递增在

上单调递增,在

上单调递减奇偶性当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数

顶点坐标

对称性图象关于⑦直线x=-

对称

单调性在⑤

 

上在 上奇偶性当b=0时为偶函数53知识拓展

二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[m,n]上的最大值或最小值

如下:①当-

∈[m,n],即对称轴在所给区间内时,f(x)的最小值在对称轴处取得,其最小值是f

=

;若-

≤

,则f(x)的最大值为f(n);若-

≥

,则f(x)的最大值为f(m).②当-

∉[m,n],即给定的区间在对称轴的一侧时,f(x)在[m,n]上是单调函数,若-

<m,则f(x)在[m,n]上是增函数,f(x)的最小值是f(m),最大值是f(n);若n<-

,则f(x)在[m,n]上是减函数,f(x)的最小值是f(n),最大值是f(m).③当不能确定-

是否属于区间[m,n]时,则需分类讨论,以对称轴与区间的关系确定讨论的标准,然后转化为上述①②两种情形求最值.知识拓展

二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)54考点二幂函数1.幂函数的定义一般地,形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中α为常数.2.幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=

,y=

的图象、3.幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=

,y=

的性质考点二幂函数55

y=xy=x2y=x3y=

y=x-1定义域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(-∞,0)上减,(0,+∞)上增增增(-∞,0)上减,(0,+∞)上减定点(0,0),(1,1)

(1,1)y=xy=x2y=x3y= y=x-1定义域RRR[0,+56考法一求二次函数在闭区间上的最值(值域)知能拓展例1

(2018陕西渭南尚德中学一模,20)已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.(1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域;(2)若函数f(x)在[1,3]上的最大值为1,求实数a的值.解题导引

考法一求二次函数在闭区间上的最值(值域)知能拓展例1

57解析(1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3=

-

,因为x∈[-2,3],所以f(x)min=f

=-

,f(x)max=f(3)=15,所以所求函数的值域为

.(2)f(x)图象的对称轴为直线x=-

.①当-

≤1,即a≥-

时,f(x)max=f(3)=6a+3,所以6a+3=1,即a=-

,满足题意;②当-

≥3,即a≤-

时,f(x)max=f(1)=2a-3,所以2a-3=1,即a=2,不满足题意;③当1<-

<3,即-

<a<-

时,f(x)max在端点处取得,解析(1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3= - ,58令f(1)=1+2a-1-3=1,得a=2(舍去),令f(3)=9+3(2a-1)-3=1,得a=-

(舍去).综上,可知a=-

.方法总结二次函数求最值问题,一般先用配方法化成y=a(x-m)2+n(a≠0)

的形式,得其图象的顶点坐标为(m,n),对称轴方程为x=m,再结合二次函数的

图象求解,常见的有三种类型:(1)对称轴、区间都是给定的;(2)对称轴动,区间固定;(3)对称轴定,区间变

动.解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合,三点指的是区

间两个端点及两个端点的中点,一轴指的是对称轴.具体方法是利用函数的

单调性及分类讨论的思想求解.对于(2)、(3),通常要分对称轴在区间内、对称轴在区间外两大类情况进

行讨论.简单地讲,轴在区间外,端点处取最值,轴在区间内,顶点和端点处有最值.令f(1)=1+2a-1-3=1,得a=2(舍去),令f(359考法二一元二次方程根的分布例2已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取

值范围;(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的取值范围.考法二一元二次方程根的分布例2已知关于x的二次方程x2+60解析令f(x)=x2+2mx+2m+1.(1)由条件知,抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点的横坐标分别在区间(-1,0)和(1,2)内,如图所示,则

⇒

故m的取值范围是

.(2)抛物线与x轴的两个交点的横坐标均落在区间(0,1)内,如图所示,解析令f(x)=x2+2mx+2m+1.故m的取值范围是 61则

⇒

故m的取值范围是

.方法总结研究二次函数零点的分布,一般情况下需要从以下三个方面考虑:(1)一元二次方程根的判别式;(2)对应二次函数区间端点函数值的正负;(3)对应二次函数图象——抛物线的对称轴直线x=-

与区间端点的位置关系.设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两实根,则x1,x2的分布范围

与一元二次方程系数之间的关系如下表:则 ⇒ 故m的取值范围是 .方法总结研究二次函数零点的分布62零点的分布(m,n,p为常数)图象满足条件x1<x2<m

m<x1<x2

零点的分布(m,n,p为常数)图象满足条件x1<x2<m  63x1<m<x2

f(m)<0m<x1<x2<n

m<x1<n<x2<p

只有一个零点在(m,n)之间

或f(m)·f(n)<0或

或x1<m<x2 f(m)<0m<x1<x2<n  m<x1<64考法三幂函数的图象及性质的应用例3(1)(2018贵州适应性考试,6)幂函数y=f(x)的图象经过点(3,

),则f(x)是

()A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数C.奇函数,且在(0,+∞)上是减函数D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数(2)(2018北京东城月考,6)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·

(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为

()A.-3

B.1

C.2

D.1或2考法三幂函数的图象及性质的应用例3(1)(2018贵州适65解题导引(1)设f(x)=xa,由y=f(x)的图象经过(3,

),求出f(x)的解析式,然后得出答案.(2)由幂函数的定义,得n2+2n-2=1,再由题意得n的值.解析(1)设幂函数的解析式为f(x)=xa,则f(3)=3a=

,解得a=

,则f(x)=

=

,是非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.故选D.(2)由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验,只有n=1符合题意,故选B.答案(1)D(2)B解题导引(1)设f(x)=xa,由y=f(x)的图象经过(66§3.4指数与指数函数高考数学§3.4指数与指数函数高考数学考点指数与指数函数1.根式的概念2.两个重要公式

=

根式的概念符号表示备注一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根

n>1且n∈N*当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数

零的n次方根是零当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数±

(a>0)负数没有偶次方根考点清单考点指数与指数函数2.两个重要公式根式的概念符号表示备注一68(

)n=④

a

(注意a必须使

有意义).3.有理指数幂(1)幂的有关概念(i)正数的正分数指数幂:

=

(a>0,m,n∈N*,且n>1);(ii)正数的负分数指数幂:

=

=

(a>0,m,n∈N*,且n>1);(iii)0的正分数指数幂等于⑤0

,0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的性质(i)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);(ii)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);(iii)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).( )n=④

a

(注意a必须使 有意义).69

a>10<a<1图象

定义域R

值域⑥(0,+∞)

4.指数函数的图象与性质性质过定点⑦(0,1)

当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1

在(-∞,+∞)上是⑧单调增函数

在(-∞,+∞)上是⑨单调减函数

a>10<a<1图象  定义域R

值域⑥(0,+∞)

705.指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如

图所示,其中0<c<d<1<a<b.

在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小;无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.5.指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关71考法一指数式的大小比较知能拓展例1下列各式比较大小正确的是

()A.1.72.5>1.73

B.0.6-1>0.62C.0.8-0.1>1.250.2

D.1.70.3<0.93.1

解题导引

考法一指数式的大小比较知能拓展例1下列各式比较大小正确的72解析

A中,∵函数y=1.7x在R上是增函数,2.5<3,∴1.72.5<1.73.故A错误.B中,∵y=0.6x在R上是减函数,-1<2,∴0.6-1>0.62.故B正确.C中,∵(0.8)-1=1.25,y=1.25x在R上是增函数,0.1<0.2,∴1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2.故C错误.D中,∵函数y=1.7x在R上是增函数,且0.3>0,∴1.70.3>1.70=1,又函数y=0.9x在R上是减函数,且3.1>0,∴0<0.93.1<0.90=1.∴1.70.3>0.93.1.故D错误.答案

B方法总结指数式值大小比较的常见类型:同底不同指数,同指数不同底,

底和指数均不相同.指数式值的大小比较的常用方法:(1)化为相同指数或

相同底数后利用相应函数的单调性,(2)作差或作商法,(3)利用中间量(0或1

等)分段.解析

A中,∵函数y=1.7x在R上是增函数,2.5<73考法二指数(型)函数的图象和性质例2已知函数y=

.(1)作出函数图象;(2)由图象指出其单调区间;(3)由图象指出当x取什么值时有最值.解题导引

考法二指数(型)函数的图象和性质例2已知函数y= .解题74解析(1)由函数解析式可得y=

=

其图象分成两部分:一部分是y=

(x≥-2)的图象,由下列变换可得到:y=

的图象

y=

的图象;另一部分是y=2x+2(x<-2)的图象,由下列变换可得到:y=2x的图象

y=2x+2的图象,如图(实线)为函数y=

的图象.解析(1)由函数解析式可得y= = 75(2)由(1)中图象观察知函数的单调增区间为(-∞,-2],单调减区间为(-2,+∞).(3)由(1)中图象观察知,x=-2时,函数y=

取大值,最大值为1,没有最小值.方法总结(1)指数型复合函数的图象对于指数型复合函数的图象问题,一般从最基本的指数函数的图象入手,通

过平移、伸缩、对称变换而得到.需特别注意底数a>1与0<a<1两种不同情

况.(2)对于指数型复合函数图象问题,先求出定义域,对函数式进行化简变形,

转化成分段函数,画其图象.(2)由(1)中图象观察知函数的单调增区间为(-∞,-2],76例3如果函数f(x)=ax(ax-3a2-1)(a>0,且a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数.求

实数a的取值范围.解析由题意得f(x)=(ax)2-(3a2+1)ax,令t=ax,t>0,则f(t)=t2-(3a2+1)t(t>0).当a>1

时,t=ax在[0,+∞)上为增函数,此时t≥1,而对于f(t)而言,f(t)图象的对称轴为t

=

>2,故f(x)在[0,+∞)上不可能为增函数;当0<a<1时,t=ax在[0,+∞)上为减函数,此时0<t≤1,要使f(x)在[0,+∞)上为增函数,则f(t)在(0,1]上必为减函数,故

≥1.∴a≥

或a≤-

,∴

≤a<1.例3如果函数f(x)=ax(ax-3a2-1)(a>0,且77方法总结与指数函数有关的复合函数的单调区间的求解步骤(1)求复合函数的定义域;(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的;(3)分层逐一求解函数的单调区间;(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”).例4已知函数f(x)=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14.求

实数a的值.解题导引分0<a<1和a>1两种情况讨论.方法总结与指数函数有关的复合函数的单调区间的求解步骤例478解析

f(x)=a2x+2ax-1=(ax+1)2-2.(1)当0<a<1时,a≤ax≤

,∴当ax=

时,f(x)取得最大值.∴

-2=14,∴

=3或

=-5(舍去),∴a=

.(2)当a>1时,

≤ax≤a,∴当ax=a时,f(x)取得最大值.∴(a+1)2-2=14,∴a=3或a=-5(舍去).综上可知,实数a的值为

或3.方法总结与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(1)函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的定义域与y=f(x)的定义域相同;(2)先确定f(x)的值域,再根据指数函数的单调性确定y=af(x)(a>0,且a≠1)的值域.解析

f(x)=a2x+2ax-1=(ax+1)2-279§3.5对数与对数函数高考数学§3.5对数与对数函数高考数学考点对数与对数函数1.对数的概念(1)对数的定义如果ax=N(a>0且a≠1),那么指数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a

叫做对数的底数,N叫做真数.(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN考点清单考点对数与对数函数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>081a.

=①

N

(a>0且a≠1,N>0);b.logaaN=②

N

(a>0且a≠1).(2)对数的重要公式a.换底公式:logbN=

(a,b均大于零且不等于1,N>0);b.logab=

,推广:logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于零且不等于1,d大于零);c.lo

Mn=

logaM(a>0且a≠1,m,n∈R,m≠0).(3)对数的运算法则如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么a.loga(MN)=③

logaM+logaN

;b.loga

=logaM-logaN;2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质a. =①

N

(a>0且a≠1,N>0);2.82c.logaMn=④

nlogaM

(n∈R).3.对数函数的图象与性质

a>10<a<1图象

性质定义域:(0,+∞)

值域:R

过点(1,0),即x=1时,y=0

当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0

是(0,+∞)上的增函数是(0,+∞)上的减函数c.logaMn=④

nlogaM

(n∈R).834.反函数指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它

们的图象关于直线y=x对称.其图象关系如图所示.

4.反函数84考法一对数式大小的比较方法知能拓展例1(1)已知a=

,b=lo

,c=log3

,则

()A.b>c>a

B.a>b>c

C.c>b>a

D.b>a>c(2)设

<a<1,m=loga(a+1),n=loga(1-a),p=loga

,则m,n,p的大小关系是

(

)A.n>m>p

B.m>p>nC.p>n>m

D.n>p>m考法一对数式大小的比较方法知能拓展例1(1)已知a= ,85解析(1)∵a=

,b=lo

,c=log3

,∴0<a=

<20=1,b=lo

>lo

=1,c=log3

<log31=0.∴b>a>c.故选D.(2)因为

<a<1,所以a+1-

=

=

>0,

-(1-a)=

=

>0,所以a+1>

>1-a,又

<a<1,所以loga(a+1)<loga

<loga(1-a),即m<p<n.故选D.答案(1)D(2)D解析(1)∵a= ,b=lo  ,c=log3 ,∴0<a86方法总结对数式大小的比较方法

方法总结对数式大小的比较方法87考法二对数函数的图象与性质的应用例2(1)若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|y≥1},则函数y=loga|x|的图象

大致是

()(2)已知a>0,且a≠1,函数f(x)=loga|ax2-x|在[3,4)上是增函数,则a的取值范围

是

()A.

≤a≤

或a>1

B.a>1C.

≤a<

D.

≤a≤

或a>1(3)已知函数f(x)=loga(8