上教版必修一1.1.1集合的意义（含解析）

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（共20题）

一、选择题（共13题）

设有下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为

A．个B．个C．个D．个

设集合，则

A．B．C．D．

已知集合，且，则的值为

A．或B．或C．或D．，或

下列说法正确的有

①联盟中所有优秀的篮球运动员可以组成集合；

②；

③空集是任何集合的真子集．

A．个B．个C．个D．个

下列各组集合中表示同一集合的是

A．，

B．，

C．，

D．，

由实数，，，组成的集合中，元素最多有

A．个B．个C．个D．个

已知集合，则集合中元素的个数是

A．B．C．D．

已知集合，则中元素的个数为

A．B．C．D．

下列各组中的两个集合和，表示同一集合的是

A．，

B．，

C．，

D．，

下列每组对象，能组成集合的是

①高一年级聪明的学生；

②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；

③不小于的正整数；

④的近似值．

A．①②B．③④C．②③D．①③

若集合，，则集合中的元素的个数为

A．B．C．D．

集合中有三个元素，，，集合中有三个元素，，，若且，则等于

A．B．C．D．

设非空集合满足：当时，有．给出如下个命题：

若，则；

若，则；

若，则．

其中正确的命题的个数为

A．个B．个C．个D．个

二、填空题（共4题）

设关于的方程解集为，关于的不等式的解集为，若集合，则．

已知非空集合，满足下列四个条件：

①；

②；

③中的元素个数不是中的元素；

④中的元素个数不是中的元素；

（）如果集合中只有个元素，那么．

（）有序集合对的个数是．

若整数，能使成立，则．

若由，，组成的集合与由，，组成的集合相等，则的值为．

三、解答题（共3题）

集合论是德国数学家康托尔于世纪末创立的．当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念．关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识．

对于集合，，，，定义．集合中的元素个数记为．规定：若集合满足，则称集合具有性质．

(1)已知集合，，写出，的值；

(2)已知集合，其中，证明：有性质；

(3)已知集合，有性质，且，求的最小值．

在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关．

(1)分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；

①，．

②，．

(2)给定，，点集．

（ⅰ）求集合中与点相关的点的个数；

（ⅱ）若，且对于任意的，点，相关，求中元素个数的最大值．

答案

一、选择题（共13题）

1.表示元素与集合关系符号用：，，表示集合与集合的关系符号用：，，，是集合，而非元素．故选B．

3.因为，

所以或，解得或．

当时，；

当时，；

当时，，不满足互异性．

所以．

4.对于①，优秀的篮球运动员概念不明确，不能组成集合，错误；

对于②，，错误；

对于③，空集是任何非空集合的真子集，错误．

5.，，

所以当时，这几个实数均为；

当时，它们分别是，，，，；

当时，它们分别是，，，，，

故元素最多有个．故选A．

7.集合的元素来源于集合，且是集合中两元素的差值，因为集合中不同任意两元素的差分别是，，，，当两元素相同时，差为，所以集合．

8.C

对于①，“聪明”没有明确的定义，故不能组成集合；

对于②，符合集合的概念，能组成集合；

对于③，符合集合的概念，能组成集合；

对于④，对近似的精确度没有明确的定义，故不能组成集合.

综上所述，只有②③能组成集合，故选C．

11.因为集合，，集合，

所以当时，，可得；

当时，，可得．

所以集合的元素有，，，，共个元素．

12.集合中的元素不在集合中，且仅有这个元素符合题意．

13.

15.（）若集合中只有个元素，则集合中有个元素，所以，故．

（）当集合中有个元素时，，，此时有序集合对有个；

当集合中有个元素时，，，此时有序集合对有个；

当集合中有个元素时，，，此时有序集合对有个；

当集合中有个元素时，，，此时有序集合对有个；

当集合中有个元素时，，，此时有序集合对有个；

当集合中有个元素时，，，此时有序集合对有个．

综上可知，有序集合对的个数是．

16.由已知可得，因为两集合相等，所以有或

所以（舍）或

经检验，，满足条件，

所以．

三、解答题（共3题）

18.

(1)根据定义可得：，

．

所以，．

(2)数列，，，，的通项公式为：．

若存在，成立，

则，

因此有，

即有．

等式的左边是的倍数，右边是的倍数，故等式不成立，

因此等比数列中的任意两项（包括本身与本身）的和不在这个数列中．

所以中的元素的个数为：，

即，所以有性质．

(3)集合具有性质，所以集合中的任意两个元素的和都不在该集合中，

也就是集合中的任意两个元素的和都不相等，对于任意的，

有，也就是任意两个元素的差的绝对值不相等．

设，

所以集合具有性质．

集合，有性质，且，

（当且仅当时，取等号）．

所以的最小值为．

20.

(1)①由题知，，进而有

，

，

所以，

所以，两点相关，

②由题知，，进而有

，

，

所以，

所以，两点不相关．

(2)（ⅰ）设的相关点为，，，，

由题意，，，

因为点，相关，则，

所以，

当时，，则相关点的个数共个；

当时，则相关点的个数共个；

当时，，则相关点的个数共个．

所以满足条件点共有（个）．

（ⅱ）集合中元素个数的最大值为，

符合题意．

下证：集合中元素个数不超过．

设，，若点，相关，则

，

则，

所以，

设集合中共有个元素，分别为，，，

不妨设，并且满足当，，

下证：，

若，，

若