高中数学人教A版选择性课件2-3-2-2-3-4两点间的距离公式点到直线的距离公式两条平行直线间的距离

2.3.2两点间的距离公式2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离第二章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.掌握平面上两点间的距离公式.(数学抽象)2.掌握点到直线的距离公式.(数学抽象)3.会求两条平行直线间的距离.(数学运算)4.会运用坐标法证明简单的平面几何问题.(数学建模)思维脉络课前篇自主预习[激趣诱思]在一条笔直的公路同侧有两个村庄A和B,现在计划在公路上某处建一个公交站点C,以方便两村人民的出行.如何选址能使站点到两个村的距离之和最小?[知识点拨]一、两点间的距离公式1.已知平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),那么这两点间的距离为2.特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离要点笔记1.当P1P2∥x轴(y1=y2)时,|P1P2|=|x2-x1|.2.当P1P2∥y轴(x1=x2)时,|P1P2|=|y2-y1|.微思考

微练习已知点P1(4,2),P2(2,-2),则|P1P2|=

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二、点到直线的距离1.概念:已知点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0,点P到直线l的距离,就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度,其中Q是垂足.2.公式:点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离名师点析

1.运用公式前首先应把直线方程化为一般式.2.注意公式特征,分子绝对值符号里面是把坐标(x0,y0)代入直线方程的左边得到的.当A=0或B=0时,上述公式仍然成立.微练习原点到直线x+2y-5=0的距离为(

)答案

D微思考点P(x0,y0)到x轴,y轴,直线y=a,x=b的距离分别是什么?提示

到x轴的距离d=|y0|,到y轴的距离d=|x0|,到y=a的距离d=|y0-a|,到x=b的距离d=|x0-b|.三、两条平行直线间的距离1.概念:夹在两条平行直线间的公垂线段的长就是两条平行直线间的距离.2.求法:两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.3.公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离名师点析

两条平行线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式,并且x,y分别对应的系数一模一样的情况,如果两平行直线的方程中x,y的系数对应不同,必须先等价化为系数对应相同才能套用公式.微练习两条平行线l1:3x-4y-1=0与l2:6x-8y-7=0间的距离为(

)答案

A课堂篇探究学习探究一两点间距离公式的应用例1已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.思路分析可求出三条边的长,根据所求长度判断三角形的形状.要点笔记两点间距离公式的应用两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一,它主要解决线段的长度问题,体现了数形结合思想的应用.探究二坐标法及其应用例2如图,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是BC边上异于B,C的任意一点,求证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.思路分析建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.证明

如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,|BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2,∴|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2,∴|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.反思感悟

坐标法及其应用(1)坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点:①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算.②如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果有轴对称性,可考虑将对称轴作为坐标轴.(2)利用坐标法解平面几何问题常见的步骤:①建立坐标系,尽可能将有关元素放在坐标轴上;②用坐标表示有关的量;③将几何关系转化为坐标运算;④把代数运算结果“翻译”成几何关系.变式训练2已知正三角形ABC的边长为a,在平面ABC上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.探究三求点到直线的距离例3求点P0(-1,2)到下列直线的距离:(1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.思路分析当直线与坐标轴不平行时,直接代入公式求得距离;当直线与坐标轴平行时,可以数形结合求解.反思感悟

点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式,直接利用点到直线的距离公式即可.(2)若已知点到直线的距离求参数值时,只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可.延伸探究

已知点A(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值为

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探究四两平行线间的距离例4(1)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是(

)思路分析(1)首先利用两直线平行求出参数m的值,将两直线方程对应系数化为相同,然后代入距离公式求值;(2)首先将两直线方程系数化为相同,然后代入距离公式求解.答案

(1)D

(2)A反思感悟

两条平行线间的距离的求法(1)化为一般式,且两条平行线方程中x,y的系数化为相同的,代入两条平行线的距离公式.(2)一条直线上任取一点,求该点到另一条直线的距离.变式训练3已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2的距离是,求l1的方程.

素养形成一题多解——求直线的方程典例求过点M(-2,1),且与A(-1,2),B(3,0)距离相等的直线方程.【规范答题】

方法总结

解此类题目有两种方法,一是利用数形结合的方法,过一定点与两定点距离相等的点的直线有两条(三定点不共线),根据这两条直线的几何特征可求出其直线方程.二是求此类问题的一般方法,它应用了点到直线的距离公式,但设所求直线的方程时,要注意考虑直线的斜率是否存在.

当堂检测1.点A(1,-2)关于原点的对称点为A',则|AA'|为(

)答案

A答案

A3.两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0间的距离为(

)答案

C4.设点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点P(2,-1),则|AB|=(

)解析

依题意