正弦定理、余弦定理知识点

-.-.--.--.可修编-正弦定理、余弦定理三角形常用公式：A＋B＋C＝π；S＝1absinC＝1bcsinA＝＝1casinB；2 2 2:A>Ba b 正弦定理： ＝ ＝

＝〔外接圆直径；sinA sinB sinCa2RsinA正弦定理的变式：b2RsinB； a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．c2RsinC正弦定理应用围：①两角和任一边，求其他两边及一角．②两边和其中一边对角，求另一边的对角．③几何作图时，存在多种状况．如a、b及A，求作三角形时，要分类争论，确定解的个数．两边和其中一边的对角解三角形，有如下的状况：A为锐角CbaCbaaB2B1baACbaB A A baa=bsinAbsinA<a<bab一解 两解 一解(2)A为锐角或钝角当a>b时有一解.余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA．c2=a2+b2-2abcosC．b2=a2+c2-2accosB．假设用三边表示角，余弦定理可以写为、余弦定理应用围：三角形的三条边长，可求出三个角；三角形的两边及夹角，可求出第三边．7.三角形面积公式课堂互动学问点1 运用推断三角形外形例题1在△ABC中acosB=bcosA,试推断△ABC的外形.【分析】利用正弦定理或余弦定理推断三角形外形,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，推断出三角形的外形.【答案】解法1：由扩大的正弦定理：代入式2RsinAcosB=2RsinBcosAsinAcosB-cosAsinB=0， sin(A-B)=0A-B=0 ∴A=B 即△ABC为等腰三角形解法2:由余弦定理:稳固练习

c22ac

b2b

c22bc

a2b2

ab 即△ABC为等腰三角形.1．在ABC中，假设b2sin2Cc2sin2B2bcosBcosC，试推断三角形的外形．2．在ABC中,a2tanB=b2tanA,试推断这个三角形的外形.3．ABC中，有cosA2cosC

sinB，推断三角形外形.cosA2cosB sinC学问点2 运用正、余弦定理解三角形32解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1)在下述状况下应首先使用余弦定理:①三条边(边边边),求三个角;②两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2)在下述状况下应首先使用正弦定理:①两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角;②两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角.32例题2 在△ABC中，a

，B=45求A、Cc.【分析】在解斜三角形应用过程中，留意要敏捷地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角3asinB 3sin4532【答案】解法1：由正弦定理得：sinA b 22∵B=45<90即b<a ∴A=60或120当A=60时C=75c

bsinCsinB

sin7522sin45

6 22当A=120时C=15c

bsinC2sin15 2sin15

6 2sinB sin45 2--.--.可修编-- .解法2：设c=x由余弦定理b2

2accosB将条件代入整理：x2 6x10解之：x

6 211 32( 3当c3

6

b2时cosA

a2

6 2)22

从而A=60，C=752

2 2

6 2 2当c当c622时同理可求得：A=120C=15.稳固练习1．在ABCA45,AB6,BC2，试解该三角形．在ABC中，tanA2cb, b

31，求三角A、B、C． AtanB b c 2b cABC在ABCABCsinAsinCcos2B，S求三边a、b、c．ABC

43，

450C a B在ABC中，AC2B，tanAtanC2 3，求A、B、C的大小，又知顶点C的对边C上的高等于4 3，求三角形各边a、b、c的长． Ca学问点3 解决与三角形在关的证明、计算问题例题3 A、B、C为锐角，tanA=1，tanB=2，tanC=3，求A+B+C的值． B【分析】此题是要求角，要求角先要求出这个角的某一个三角函数值，再依据角的 A D围确定角．此题应先求出A+B和C的正切值，再一次运用两角和的正切公式求出A+B+C．【答案】 A、B、C为锐角0°ABC270°又tanA1，tanB2，由公式可得tan(AB) tanAtanB 2

31tanAtanB 12 tan(AB)tanC

33tan(ABC)tan所以A+B+C=π

(AB)C

1tan(AB)tanC 1(3)3 =013sin22sinsinsin2cos22coscoscos236--.--.可修编-- .22(coscossinsin)稳固练习

132cos()59cos()5936 36 72在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,设a+c=2b,A-C,求sinB的值.3在ABC中，a，b，c分别是A，B，Ca，b，ca2c2acbcAbsinB的值．c在ABC中，假设a

5b4且cos(AB)

31，求这个三角形的面积．32例题4 在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,证明:a2b2c2

sin(AB).sinC【分析】在用三角式的恒等变形证明三角形中的三角等式时，其解题的一般规律是：二项化积、倍角公式，提取公因式，再化积.遇有三角式的平方项，则利用半角公式降次.【答案】证法一:由正弦定理得a2b2sin2Asin2Bcos2Bcos2A=2sin(BA)sin(BA)=sinCsin(AB)=sin(AB).c2 sin2C 2sin2C 2sin2C sin2C sinC证法二:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,则a2b2

=c22bccosA=1-2b∙cosAb=sinB,∴c2 c2

c c sinCa2b2=1-2sinB∙cosA=sinC2sinBcosA=sin(AB)2sinBcosA=sinAcosBsinBcosA=sin(AB).c2 sinC sinC sinC sinC sinC证法三:sin(AB)=sinAcosBsinBcosA.sinC sinC由正弦定理得sinAa,sinBb,∴sin(AB)=acosBbcosA,又由余弦定理得sinC csinC csinCcaa2c2b2bb2c2a2AB)=

2ac 2bc =(a2c2b2)(b2c2a2)

=a2b2.sinC c稳固练习

2c2 c21．锐角三角形ABCsin(AB)

3，sin(AB)1.5 5〔1〕求证tanA2tanB〔〕设AB3，求B边上的高．【考题再现】131〔04年全国Ⅲ在ABC中，AB3，BC ，AC4，则边AC上的高13〔A〕

2 3〔B〕2 3

〔C〕 〔D〕33 3333 2 23 3332〔05年卷C〔〕＝，0，求角A、B、C23.〔2005年春季〕在△ABC中，sinA+cosA=22

，AC=2，AB=3，求tanA的值和△ABC的面积.4.〔05年卷〕ABC中，A3〔A〕4 3sinB3

，BC3，则ABC的周长为〔B〕4 3sinB3 3 6 --.--.可修编-- .〔C〕6sinB3 〔D〕6sinB3 3 6 506年卷〕假设ABC的角A满足sin2A

2，则sinAcosA31515A. B． C．5 D．515153 3 3 36.〔2006年卷〕假设ABC

的三个角的余弦值分别等于ABC

的三个角的正弦值，则〔 〕11 1 2 2 2ABC

和ABC

都是锐角三角形 ABC

和ABC

都是钝角三角形11 1

2 2 2

11 1

2 2 2ABC

ABC

是锐角三角形11 1 2 2 2ABC

ABC

是钝角三角形11 1 2 2 2【模拟训练】12004年市区二模题〕在ABC中，cos2Bcos2A是AB的〔〕〔A〕 充分而不必要条件 〔B〕必要而不充分条件〔C〕充要条件 〔D〕既不充分也不必要条件2〔04年市二模题在ABC中，ABC为三角形的三个角，且ABC，sinB45cos(2AC)4，求cos2A的值53〔04年华南师大附中〕求A的度数

a,b,c

分别为角

的对边，且4sin2

BCcos2A72 2假设a

3bc3，求b和c的值405年市基地学校联考〕 在ABC中，边B为最长边，且sinAsinB是

2 ，则cosAcosB的最大值3435.〔06年八校其次次联考〕关于x则ABC肯定是

x2xcosAcosB2sin2

C0的两根之和等于两根之积的一半，2〔A〕直角三角形〔B〕钝角三角形〔C〕等腰三角形〔D〕等边三角形.6.(06年黄岗市荆州市高三年级模拟)ABC的三个角为A、B、C所对的三边为a、b、c，假设ABC的面积为ASa2b2c2，则tan2教考

．在证明三角形问题或者三角恒等式时，要留意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并留意特别正、余弦关系的应用，比方互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；另外，在三角恒等式的证明或者三角形外形的推断，关键是正、余弦定理的边角互换．运用正、余弦定理求解三角形的有关问题，要格外生疏了三角函数公式及三角形的有关性质，如三角函数的定义、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具，同时留意三角形面积公式S

1ah，S

1absinC，还要注2 2意三角形角和ABC的制约关系，此外，要对常见解题方法与解题技巧的总结，这样才能不断提高三角形问题的求解力量．参考答案--.--.可修编-- .课堂互动例题1 稳固练习【答案】[解法 1]：由正弦定理

a b

2R，R为ABC外接圆的半径，将原式化为sinA sinB sinC8R2sin2Bsin2C8R2sinBsinCcosBcosC，sinBsinC0，sinBsinCcosBcosC.即cos(BC)0,BC90，A90.故ABC为直角三角形[解法2]：将等式变为b2(1cos2C)c2(1cos2B)2bcosBcosC，a2b2c22 a2c2b22由余弦定理可得b2c2b2

2ab

c2

2ac 2bca2c2b2a2b2c2，2ac 2ab即b2c2(a2b2c2)(a2c2b2)2 4a2也即b2c2

a2，故ABC为直角三角形．【答案】解法1:由得a2sinB

b2sinA,由正弦定理得sin2AsinB

sin2BsinA,∵sinAsinB≠0,∴sinAcosA=sinBcosB,cosB cosA cosB cosA即sin2A=sin2B,∴2A=2B或2A=1800-2B,即A=B或A+B=900ABC是等腰三角形或直角三角形.解法2:由得a2sinB

b2sinA,由正弦定理得

a2b

b2a,即 a

b ,又由余弦定理得aa2c2-b2

bb2c2a2

cosB cosA cosB cosA cosB cosA,整理得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a=b,或a2+b2=c2ABC是等腰三角形或直角三角形.2ac 2bc解：由得例题2 稳固练习--.--.可修编-636- .63663211：由正弦定理，得sinC632

sin45

因ABsinA

BC2, AB3由 23

2 2 26，则有二解，即C60或C1206B180604575或B1801204515故AC

BC33sinA33

1AC

1，C120, B15C60,B75解法2：令AC=b，则由余弦定理3b2( 6)22 6bcos4522b22 3b20b 13又( 6)2b22222bcosCcosC1, C60或C1202B1804560)75或B18045120)15.2【答案】由有tanA12c，化简并利用正弦定理：tanB bsinAcosBcosAsinB2sinC sin(AB)2sinC

sinC2sinCcosA0cosAsinB sinB cosAsinB sinB由sin0，故cosA

1A60b

1，可设3332 c 23333b(31)k,c2k，由余弦定理，得a2(

1)2k24k22(

1)k2a 6k由正弦定理 a

3c 得 csinA3

2k2sinA sinC2

sinC 2 6ka 26k由cb则C是锐角，故C45,B180AC753B

AC，又由ABC180B60故sinAsinCcos2601①2 4又由S

4

1acsinB4

acac16②333ABC 2 4333故

a c( )2(

a c)264 83sinAsinC sinA sinC sinA sinC3由b

asinBsinA

8sinB8sin604则cosBcos60

b212ac 26即(ac)2b23ac(ac)2484896ac4 ③把③与②联立，得6--.--.可修编-66 6- .66 66a2(6

2),c2(

2a2(

2),c2(4AC2B，及ABC180B60,

AC120由tan(AC)

tanAtanC及tan(AC) 3,tanAtanC231tanAtanC3得tanAtanC33x2(3 3)x23

，以tanA,tanC为一元二次方程330的两个根，解方程，得33tanA1

或tanA2

A45或A753333

C1

C75 C45假设A45,C75，则a 4 3sin60

8，b 4 3 4sin45

，casinC8sin756sinA sin456

4(

3假设A75,C45，则a 43sin60

8,b

433

4

1)4(3

bsinC3sinB3

32例题3 稳固练习32【答案】由正弦定理和条件a+c=2b,得sinA+sinC=2sinB.由和差化积公式,得2sin

cos

=2sinB.2 2由A+B+C=π得sin

=cosB.又A-C,得

3cosB

=sinB.∴

3cosB

=2sinBcosB

,∵0<B<

≠0,∴11sin2B2

2 2 2

2 2 2 2 2sinB= 3.∴cosB=

= 13,∴sinB=2sinBcosB

=2∙

3∙ 13= 39.2 4 2

4 2

4 4 8【答案〔I〕 a，b，c成等比数列b2

ac又a2

c2

acbcb2

c2

a2

bc在ABC中，由余弦定理得cosA

b2c2a2

bc 2bc 2bc 2〔II〕在ABC中，由正弦定理得sinB

bsinA

bsinB

b2sin60

sin60 ．3a c ca 23【答案】解法1：由余弦定理得cosAb2

a2

c29

cosB

c292bc 8c 2ac 10c由正弦定理得：

5 4 5 c29 c29 5 31 sinA sinB (1cos2B)sinA sinB 4 8c 10c 4 32c481 5 c29 31 82c2162 31 )2] c236c680c2

4 10c 32 80c2 32--.--.可修编-15 7- .15 7故cosAc293699sinA5 7S

1bcsinA8c 48 16 16

ABC 2 4解法2：如图，作CADAB，AD交BC于D，令CDx则由a5知，BD5x, AD5x，在CAD中由余弦定理cos(AB)

(5x)242x2

31化简得9x9x1，在CAD中由正弦定理8(5x) 32AD CD

sinC

AD1cos2(AB)sin(AB)41cos2(AB)

3 7sinC sin(AB) CD 83 7S 13 7

ACBCsinC

145 15 7ABC

2 2 8 4例题4 稳固练习〔1〕证明：由于sin(AB)3sin(AB)1，5 5sinAcosBcosAsinB所以sinAcosBcosAsinB

3 sinAcosB5，1 cosAsinB5

215

tanAtanB

2.所以tanA2tanB〔2〕由于

ABsin(AB3， 所以tan(AB3，即

tanAtanB

3，2 5 4 1tanAtanB 4将tanA2tanB代入上式并整理得2tan2B4tanB10.解得tanB

，舍去负值得tanB ，从而tanA2tanB2 .2 62 62 6666设ABCD.66则ABADDB考题再现

CD CD2 6 2 6tanA tanB3 313 3

由AB=3，得CD2

，所以AB边上的高等于2【答案】由余弦定理，得cosA选B.

，A60，所以ACBDABsinA2 21：由sinA(sinBcosBsinC0得sinAsinBsinAcosBsin(AB)0.所以sinAsinBsinAcosBsinAcosBcosAsinB0.即sinB(sinAcosA)0.B0,所以sinB0，从而cosAsinA由A0,知A

.BC

3.4 4由sinBcos2C0得sinBcos23B)0即sinBsin2B0.亦即sinB2sinBcosB0.4--.--.可修编-- .由此得cosB

1BC5所以A,BC5.2 3 12 4 3 12解法2： 由sinBcos2C0得sinBcos2Csin(32

2C).由0B、cB32C或B2CB2C3或2CB.2 2 2 2由sinA(sinBcosBsinC0得sinAsinBsinAcosBsin(AB)0.所以sinAsinBsinAcosBsinAcosBcosAsinB0.即sinB(sinAcosA)0由于sinB0，所以cosAsinA.由A0,),知A

.BC

3 3，知B+2C= 不合要求.4 4 2再由2CB

1BC5所以A,B

2 3 12 4 3 12【答案】解法1：∵sinA+cosA=

cos〔A－45°〕=

，∴cos〔A－45°〕=1.222 222又0°＜A＜180°，∴A－45°=60°，A=105°.1 311 31 33∴sinA=sin105°=sin〔45°+60°〕=sin45°cos60°+cos45°sin60°=

2 6.4∴S =1AC·ABsinA=1·2·3· 2 6=3〔

+ 〕.26△ABC 2 2 4 426【答案】在ABC，由正弦定理得 AC

AB BC

3 23sinB sinC sinA sin33∴AC2 3sinB,AB2 3sinC2 3sinAB2 3sinB 3 ABACBC2

sinBsinB32 33sinB

2cosB 2

6sinB3 3

2 2

63 3

5【答案】由sin2A＝2sinAcosA0，可知A这锐角，所以sinA＋cosA0，又(sinAc