北京翔宇中学高三数学文模拟试卷含解析

北京翔宇中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数在区间[－3,3]的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（） A．[﹣1，2] B． [﹣2，﹣1] C． [﹣1，1] D． [1，2]参考答案：分析： 求出A中不等式的解集确定出A，再由B，求出A与B的交集即可．解答： 解：由A中不等式变形得：（x+1）（x﹣2）≥0，解得：x≤﹣1或x≥2，即A=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：B．点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.设，，空间向量则的最小值是(A)2

(B)4

(C)

(D)5参考答案：B略4.的三个内角的对边分别为，已知，向量，，若，则角的大小为Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.参考答案：A略5.已知函数，则下列判断不正确的是

A．的最小正周期为

B．的一条对称轴为

C．的一个对称中心为

D．将向右平移后得，则是奇函数参考答案：D6.若复数Z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则在复平面内Z对应点的坐标为(

)A．（0，2） B．（0，3i） C．（0，3） D．（0，2i）参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数为纯虚数求得a值，则答案可求．【解答】解：∵Z==是纯虚数，∴，即a=6．∴Z=3i．∴在复平面内Z对应点的坐标为（0，3）．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．7.在R上定义运算:,若不等式对任意的实数x成立，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C8.已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，则A∩?RB=(

)A．{x|x≤0} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤1或x＞2} D．{x|0≤x＜1或x≥2}参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】先求出集合AB，再求出B的补集，根据交集的定义即可求出．【解答】解：∵全集为R，集合A={x|2x≥1}={x|x≥0}，B={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴?RB={x|x＜1或x＞2}，∴A∩?RB={x|0≤x≤1或x＞2}故选：C【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．9.已知数列的前项和，且满足，则（）A.192

B.189

C.96

D.93参考答案：B10.存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1|参考答案：D【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．【解答】解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1=t，则f（x2+2x）=|x+1|，化为f（t2﹣1）=|t|；令t2﹣1=x，则t=±；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.半径为r的圆的面积,周长，若将看作（0，+∞）上的变量，则①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作（0，+）上的变量，请你写出类似于①的式子_______________②；②式可用语言叙述为________________。参考答案：，球的体积函数的导数等于球的表面积函数。12.观察下列各式：则_____________;参考答案：123略13.设是单位向量，且的最大值为________．参考答案：14.已知一组数据3，5，4，7，6，那么这组数据的方差为

．参考答案：2【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差．【解答】解：一组数据3，5，4，7，6，这组数据的平均数==5，这组数据的方差S2=[（3﹣5）2+（5﹣5）2+（4﹣5）2+（7﹣5）2+（6﹣5）2]=2．故答案为：2．15.椭圆的长轴长是

，离心率是

．参考答案：4,16.已知双曲线C：的一个焦点是抛物线的焦点，且双曲线

C的离心率为，那么双曲线C的方程为____.参考答案：考点：双曲线方程17.在展开式中，含x的负整数指数幂的项共有_____项．参考答案：4【分析】先写出展开式的通项：由0≤r≤10及5为负整数，可求r的值，即可求解【详解】展开式的通项为其中r＝0，1，2…10要使x的指数为负整数有r＝4，6，8，10故含x的负整数指数幂的项共有4项故答案为：4【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是根据通项及r的范围确定r的值三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在平面直角坐标系中，已知点，过直线左侧的动点P作于点的角平分线交x轴于点M，且，记动点P的轨迹为曲线P．（1）求曲线P的方程；（2）过点F作直线m交曲线P于A，B两点，点C在上，且轴，试问：直线AC是否恒过定点？请说明理由．参考答案：（1）；（2）是.【分析】（1）设，由题意可得：，可得==，即，化简整理即可得出；（2）由题意可得：直线的斜率不为0，可设直线的方程为：，设，，与椭圆方程联立化为：，直线的斜率，方程为：，结合根与系数的关系化简整理即可得出．【详解】（1）设P（x，y），由题意可得：|MF|=|PF|，∴==．即=，化为：+y2=1．（2）由题意可得：直线m的斜率不为0，可设直线m的方程为：．设，．联立，化为：，成立．∴，，．∴直线AC的斜率，方程为：．即：．又===．∴y=，即y=．∴直线恒过定点．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.(本小题满分12分)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．20.已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx+1（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为6π．（1）求ω的值；（2）设α，β∈[0，]，f（3α﹣）=，f（3β+π）=，求cos（α+β）的值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）首先根据三角函数的恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用周期求出函数关系式．（2）根据（1）的结论，利用关系变换求出对应的sin，，最后求出cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ的值．【解答】解：（1）函数f（x）=sinωx﹣cosωx+1=2sin（ωx﹣）+1由于：函数的最小正周期为6π．所以：解得：ω=（2）由（1）知：f（x）=2sin（x﹣）+1=所以：所以：sinα，β∈[0，]，根据同角三角函数恒等式，所以：sin，所以：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣21.给定椭圆C:(a＞b＞0)，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4.(I)求椭圆C的方程；(II)点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1,l2交“准圆”于点M,N.(1)当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1,l2的方程，并证明l1⊥l2；(2)求证:线段MN的长为定值.参考答案：(Ⅰ)∴椭圆C的方程为．．．．4分(Ⅱ)①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则，当时，与准圆交于点，此时：y=1或y=－1，显然垂直；同理可证当时，垂直.

．．．．．．．．．．．．．．．．6分②当斜率存在时，设点，其中，设过与椭圆相切的直线为，由，得，

．．．．．．．．．．．．．．．．8分由△=0化简得，∵，∴，设的斜率分别为，∵与椭圆相切，∴满足上述方程，∴，即垂直．

综合①②可知：.

．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点在椭圆C上，满足.（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线过点P，且与椭圆只有一个公共点，直线与的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点M，N，与直线交于点K（K介于M，N两点之间）.（i）求证：；（ii）是否存在直线，使得直线、、PM、PN的斜率按某种顺序能构成等比数列？若能，求出的方程；若不能，请说明理由.