量子力学考研核心题库

一、填空题1．描述微观粒子运动状态的量子数有_____;具有相同n的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。【答案】2．力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____.【答案】厄米；实数【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.3．（1）自由粒子被限制在x和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理.如果没有给出其他资料，则粒子在x和x+1/3之间的概率是_____.A.025B.033C.011D.067（2）上题中，按照量子力学.处于最低能态的粒子在x和x+1/3之间被找到的概率是_____.A.019B.072C.033D.050【答案】（1）B【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，即所求概率为（2）A【解析】取x为原点，则有波函数为所求概率即4．不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。【答案】波粒二象性5．一维谐振子升、降算符、a的对易关系式为_____;粒子数算符N与、a的关系是;哈密顿量H用N或、a表示的式子是_____；N（亦即H）的归一化本征态为_____。【答案】6．—粒子的波函数为写出粒子位于间的几率的表达式_____。【答案】二、选择题7．__________。【答案】8．设粒子处于态为归一化波函数为归一化的球谐函数，则系数的取值为_____的可能值为_____的平均值为_____。【答案】9．（1）_____；（2）_____。【答案】10．下面关于厄米算符的定义式中.正确的为（）.【答案】A【解析】量子力学中力学量对应的算符必须为厄米算符，这是因为力学量算符的本征值必须为实数.厄米算符定义式为11．量子谐振子的能量是（）.【答案】A【解析】由于谐振子的哈密顿算符为而本征值为n，于是谐振子能量为第4页，共47页12．设粒子处于态为归一化的球谐函数，则的平均值为（）。【答案】B三、简答题13．请用泡利矩阵定义电子的自旋算符，并验证它们满足角动量对易关系。【答案】电子的自旋算符其中，14．斯特恩—革拉赫实验证明了什么？【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。（2）空间量子化的事实。（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。15．写出测不准关系，并简要说明其物理含义。【答案】测不准关系物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同时有确定的测值。16．自发辐射和受激辐射的区别是什么？【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；受激辐射是处于激发能级的原子被一个频率为的光子照射，受激发而跃迀到较低能级同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机的。17．写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。【答案】第5页，共47页18．自旋可以在坐标表象中表示吗？【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。19．归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为如果对整个空间积分等于1，则对整个空间积分也等于1。即用任意相因子去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的归一化。20．写出电子在外电磁场中的哈密顿量。【答案】四、计算题21．已知厄米算符.满足且求：（1）在A表象中算符的矩阵表示。（2）在B表象中算符的本征值和本征函数。（3）从A表象到B表象的么正变换矩阵S。【答案】（1）由于所以算符的本征值是因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：设在A表象中算符的矩阵是利用得：由于所以：则有：由于是厄米算符，所以：则有：令其中为任意实常数，得在A表象中的矩阵表示式为：第6页，共47页（2）类似地，可求出在B表象中算符的矩阵表示为：在B表象中算符的本征方程为：即则有：α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即则可得：对有：对有：所以，在B表象中算符的本征值是，本征函数为：和-（3）类似地，在A表象中算符的本征值是本征函数为：从A表象到B表象的么正变换矩阵就是将算符在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即：22．考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或反对称的。空间部分波函数是反对称时对应总的自旋平方本征值为空间部分波函数对称时对应总的自旋平方本征值为0。假设两电子系统哈密顿量为分别针对空间部分波函数是反对称和对称两种情形，求体系的能量。（提示：单电子自旋角动量平方算符的本征值为）。【答案】利用可知，空间部分波函数反对称时：对应能量：空间部分波函数对称时：对应能量：23．已知氢原子在t=0时如下处于状态：其中，为该氢原子的第n个能量本征态。求能量及自旋z分量的取值概率与平均值，写出t＞0时的波函数。第7页，共47页【答案】已知氢原子的本征值为：将t=0时的波函数写成矩阵形式：利用归一化条件：于是，归一化后的波函数为：能量的可能取值为相应的取值几率为：能量平均值为：自旋z分量的可能取值为相应的取值几率为：自旋z分量的平均值为：f>0时的波函数为：24．设一维粒子的HamiltonianH，坐标算符为x.利用利用能量本征态的完全性关系，将用和E.，表出，其中是能量本征值为E.，的本征矢。【答案】利用可得于是即第8页，共47页25．（1）写出全同粒子体系的态所满足的交换对称性以及随时间演化的动力学方程；（2）考虑由2个全同费米子（）组成的体系，设可能的单粒子态为试用表示出体系可能的状态。【答案】（1）全同粒子系的波函数：对称性波函数；反对称性波函数。其随时间演化的动力学方程：（2）用表示出体系可能的状态如下：26．设已知在，的共同表象中，算符的矩阵分别为试在取值为的本征态下求的可能取值和相应的概率及的平均值.【答案】可能取得的值有设的本征态矢为则由可以解得同理由可以解得时态矢为概率为态矢为概率为平均值为27．粒子在一维无限深势阱中运动.设该体系受到的微扰作用。（1）利用微扰理论求第n能级的准至二级的近似表达式.（2）指出所得结果的适用条件.【答案】（1）一维无限深方势阱：体系的零级近似波函数和零级近似能量求到二级，矩阵元一般形式则第n能级的二级近似能量第9页，共47页（2）结果适用的条件是：即28．设质量为m的粒子处于势场中，K为非零常数.在动量表象中求与能量E对应的本征波函数【答案】显然势场不含时，属于一维定态问题，而也属于正幂次级数，故有定态方程式中：则I式可以化为：令上方程可化简为式解得则其中C为归一化常数。第10页，共47页量子力学考研核心题库（二）一、填空题1．自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____,自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。【答案】的奇数倍；反对称变换的整数倍；对称变换2．一粒子的波函数则粒子位于间的几率为_____。【答案】3．普朗克的量子假说揭示了微观粒子_____特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的_____性。【答案】粒子性；波粒二象性【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说爱因斯坦后来将此应用到了光电效应上，并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这为量子力学的诞生奠定了基础.4．当对体系进行某一力学量的测量时.测量结果一般来说是不确定的.测量结果的不确定性来源于_____.【答案】测量的干扰【解析】当我们对物理量进行测量时，不可避免地对体系施加影响，而这影响将导致体系的波函数发生变化，这最终导致对物理量的测量的不确定性.5．总散射截面Q与微分散射截面的关系是_____。【答案】6．费米子组成的全同粒子体系的波函数具有_____，玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有_____。【答案】对称性；反对称性二、选择题7．对力学量进行测量.要能得到确定结果的条件是（）A.体系可以处于任一态B.体系必须处于宏观态第11页，共47页C.力学量必须是守恒量D.体系必须处于的本征态【答案】D【解析】若对力学量的测量得到的是确定结果，则要求体系必须处于定态，而处于定态的条件即体系处于力学量对应的本征态.8．一维运动中，哈密顿量【答案】9．量子力学中的力学量用_____算符表示，表示力学量的算符有组成_____的本征函数。【答案】厄密；完全系10．假定角动量平方算符的本征值分别为和如果则可能是本征值的选择为（）【答案】C11．类氢原子问题中，设原子核带正电核为为原子的波尔半径，对处于基态的电子，其出现几率最大的径向坐标位置是（）。A.B.C.D.E.【答案】B12．如果是厄米算符，并且则下列是厄米算符为（）。第12页，共47页【答案】C三、简答题13．什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。线偏振光选择定则：圆偏光选择定则：14．放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？【答案】与量子隧穿效应有关。15．波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？的物理含义是什么？【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻附近体积元中粒子出现的几率密度。16．反常塞曼效应的特点，引起的原因。【答案】原因如下：（1）碱金属原子能级偶数分裂；（2）光谱线偶数条；（3）分裂能级间距与能级有关；（4）由于电子具有自旋。17．什么样的状态是定态，其性质是什么？【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变18．以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。【答案】在量子力学中，能量用算符表示，当体系处于某个能量的本征态时，算符对态的作用是得到这一本征值，即当体系处于一般态时，算符对态的作用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率），即19．如果算符表示力学量那么当体系处于的本征态时，问该力学量是否有确定的值？【答案】是，其确定值就是在本征态的本征值。第13页，共47页20．坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。【答案】对易关系为测不准关系为四、计算题21．已知分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，为电子的总角动量。（）的共同本征态为证明是的本征态，并就两种情况分别求出其相应的本征值。【答案】22．Q表缘的基矢有两个：算符有如下性质：（1）求Q表象中的本征值和本征函数；（2）已知粒子状态为求测量力学量的可能值及相应的概率和平均值.【答案】（1）先算出该算符在Q表象中的矩阵元.设其本证函数为则有由久期方程解得再代回可得对应本征函数为对应本征函数为（2）粒子的力学量可能取值即其本征值.第14页，共47页由题意时，相应概率为时，相应概率为23．取为试探波函数，应用变分原理估算粒子在势场中的基态能量.以上表达式中均为常数，且【答案】试探波函数利用波函数的归一化从而由可得，代入可得基态能量24．考虑相距2a、带电为e和一e的两个粒子组成的一个电偶极子，再考虑一个质量为m、带电为e的入射粒子，其入射波矢k垂直于偶极子方向，见图求在玻恩近似下的散射振幅，并确定微分散射截面取最大值的方向。图【答案】电偶极子势能为由波恩近似有散射振幅为散射微分截面为【积分未完成】式中此即所求表达式.25．设一维谐振子的初态为即基态与第一激发态叠加，其中为实参数.（1）求t时刻的波函数（2）求t时刻处于基态及第一激发态的概率.第15页，共47页（3）求演化成所需的最短时间【答案】（1）一维谐振子定态能量和波函数：任意时刻t的波函数可表示为已知t=0时刻的波函数是由得，在n=0，1的本征态的相应能量分别为：则任意时刻t的波函数可以表示为（2）t时刻处于基态的几率为处于第一激发态的几率（3）设时刻粒子的波函数是即可得解得所以当n=l时有最小时间，即26．分别在表象中，求出的矩阵表示，并求出由表象到表象的变换矩阵。【答案】（1）在表象中应为对角矩阵，对角元为的本征值，由知的本征值为±1，故：令因是厄米算符，有所以即a、d为实数，因此有：由有：可得：所以a=﹣a，即a=0；d=﹣d，即d=0。第16页，共47页由有：而所以取则：取则（比较在表象中，（2）在表象中，方法同上。先令再求得最后求得（3）下面求由表象到表象的变换矩阵。的本征值为：求的本征矢，对于本征值设其基矢为有：再归一化，得：对于本征矢可得：所以，变换矩阵为：取有：27．平面转子的转动惯量为I，设绕z轴转动，受到的微扰作用，求体系激发定态能量的一级近似。【答案】受到微扰之前，系统波函数为对应能量为对于所有激发态能级，其简并度为二.设对应零级近似波函数为容易得到则第17页，共47页于是有方程再由久期方程解得:故体系激发态定态能量的一级近似为：即能级简并消失了，每个激发态能级都分裂成了两个能级。28．设是自旋为1/2的粒子的沿x、y与z轴的自旋算符，而是某一角度.（1）写出粒子的自旋算符在表象中的的矩阵形式；（2）将述算符的乘积化简为粒子自旋算符的线性组合.【答案】⑴?（2）由公式且令其中n为正整数，则上式即题中利用公式则第18页，共47页结合可得\第19页，共47页量子力学考研核心题库（三）一、填空题1．对一个量子体系进行某一物理量的测量时，所得到的测量值肯定是_____当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的.除非体系处于_____。【答案】本征值；定态【解析】物理量的测量值应该对应其本征值，对于非定态，由于它是各个本征态的混合态，这就导致物理量的测量值可以是它的各个本征值，测得各个本征值满足一定概率分布，只有当体系处于定态，即位于该物理量对应的本征态，测得值才有可能为确定值.2．玻恩关于波函数统计解释的基本论点是_____。【答案】物质的本源是粒子；波动性是指微观粒子处于某一物理量值的统计几率3．如图所示，有一势场为：，当粒子处于束缚态时，￡的取值范围为_____。图【答案】4．为氢原子的波函数（不考虑自旋），分别称为_____量子数、_____量子数、_____量子数，它们的取值范分别为_____、_____、_____。【答案】主；角；磁；5．（1）体系处在用归一化波函数描述的状态.且此波函数可以按力学量A所对应的厄米算符的本征函数系展开.即认为是归一的，则决定系数的表达式为_____。（2）题（1）中设是算符的本征值，则力学量A的平均值_____。（3）题（1）中当对体系进行力学量A测量时，测量结果一般来说是不确定的.但测量得到某一结果的概率为_____。【答案】（1）第20页，共47页【解析】由题意在上式两边乘以并积分得考虑到正交归一化条件有（2）【解析】由平均值定义式以及正交归一化条件有（3）为确定【解析】由题意在上式两边乘以并积分得考虑到正交归一化条件有而概率应该为为定值.6．判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是_____。【答案】当物理体系的作用量与A相比拟时，该物理体系视为量子体系；当物理体系的作用量远大于时，视为经典体系。二、选择题7．量子力学中的力学量用_____算符来表示，量子力学中的力学量算符的矩阵是_____矩阵。【答案】厄米；厄米8．给出如下对易关系：【答案】9．如果算符表示力学量那么当体系处于的本征态时，力学量F有_____。这个值就是相应的_____。【答案】确定值；本征值10_________________________。【答案】第21页，共47页11．考虑个无相互作用的玻色子处在一维无限深势阱中，粒子质量为势阱范围为则体系的基态能量是（）。【答案】E12．角动量算符满足的对易关系为_____，坐标和动量的对易关系是_____。【答案】三、简答题13．简述波函数的统计解释。【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。14．波函数是否描述同一状态？【答案】与描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。15．如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？【答案】不妨设这组算符为.完全系为依题意则对任意波函数有：可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。16．写出在表象中的泡利矩阵。【答案】17．将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？【答案】不改变。根据对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函数在空间各点的相对强度。18．非相对论量子力学的理论体系建立在一些基本假设的基础上，试举出二个以上这样的基本假设，并简述之。【答案】（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。第22页，共47页波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量换为算符得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函数。（3）将体系的状态波函数用算符的本征函数展开：则在盔中测量力学量得到结果为的几率是得到结果在范围内的几率是（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程其中是体系的哈密顿算符。（5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。以上选三个作为答案。19．什么是隧道效应，并举例说明。【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。20．什么是定态？若系统的波函数的形式为问是否处于定态？【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化.不是，体系能量有E和-E两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.四、计算题21．在表象中，电子波函数可表示为简要说明其物理意义。【答案】式中，代表（自旋向上）的状态波函数，代表（自旋向下）的状态波函数，代表自旋向上的概率，代表自旋向下的概率，归一化表示为：22．三个自旋为的全同粒子，在一维位势中运动。（1）给出这三个粒子体系的基态和第一激发态的能量及相应的本征矢（谐振子波函数以表示）。（2）它们的简并度分别是多少？【答案】（1）第23页，共47页基态第一激发态：（2）基态二重简并，第一激发态四重简并。23．对于描述电子自旋的泡利矩阵（1）在表象中求的归一化本征函数.（2）若为某一方向余弦，证明算符的本征值为±1，说明其物理意义.（3）对于两个电子组成的体系，若用分别表示单电子自旋平方和自旋z分量的共同本征态，证明态矢量是体系总自旋平方的本征态.【答案】（1）在表象中，由和由的本征方程很容易求得的本征值与本征矢：（2）的本征方程第24页，共47页可得，故其物理意义即电子自旋的泡利算符，在空间任意一个方向的投影只能取两个值：（3）在耦合角动量表象中，总自旋的共同本征态其中则题中故是的本征态.24．质量为m的粒子处于角频率为的一维谐振子势中.（a）写出在坐标表象中的哈密顿算符，本征值及本征函数（可不归一化）.（b）写出在动量表象中的哈密顿算符.（c）证明在动量表象中，哈密顿算符的矩阵元为.【答案】（a）在坐标表象中一维谐振子的哈密顿算符为本征值和波函数（b）在动量表象中坐标算符可表示为则一维谐振子的势能为则哈密顿算符为（c）在动量表象中哈密顿的矩阵元可表示为25．考虑一自旋量于救s=l的粒子，忽略空间自由度，并假定粒子处在外磁场中（为x轴的单位矢量），粒子的哈米顿算符为（1）若虬同本征矢为基，求自旋算符S的矩阵表示.第25页，共47页（2）如果初始时刻t=0粒子的态为求在t＞0后粒子的态？（3）发现粒子处在态的概率是多少?【答案】（1）由于故由于哈密顿量为则能量本征态对应于本征态.（2）由定态方程解得而故t＞0后粒子的态为（3）由于故所求概率为26．求电荷为q的一维谐振子在外加均匀电场E中的能级，哈密顿量为【答案】记则哈密顿量可时的哈密顿量相比，相差一常数，且x，p换为对易关系不变，而这不影响原有的能级，所以第26页，共47页27．对于一个限制在边长为L的立方体中的自旋为1/2、质量为m的粒子，计算基态与第二激发态的本征能量及相应的本征态波函数.【答案】这是一个三维方势阱问题，例子波函数为S为自旋波函数.可分离变量得最终解得代表例子自旋朝上和朝下两种状态.由于粒子自旋此时并不会对粒子能量产生影响，故粒子能量基态：对应波函数为：例子第一激发态能量：对应波函数有：第27页，共47页第二激发态能量：对应波函数有：28．一粒子在一维无限深势阱中运动，求粒子的能级和对应的波函数.【答案】由一维定态薛定谔方程有又在边界处应该满足连续条件故由归一化条件有故对应能量为第28页，共47页量子力学考研核心题库（四）一、填空题1．波函数的统计解释是：波函数在空间某一点处的_____和在该点扰到粒子的_____成正比。【答案】强度；几率2．用球坐标表示，粒子波函数表为写出粒子在球壳中被测到的几率_____。【答案】3．二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为_____和_____;它们的力学量完全集分别是_____和_____;在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是_____和_____。【答案】耦合表象；非耦合表象；4．设体系的状态波函数为如在该状态下测量力学是F在确定的值则力学量算符与态矢量的关系为_____。【答案】5．—个电子运动的旋量波函数为则表示电子自旋向上、位置在处的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。【答案】6．称_____、_____、_____等固有性质完全相同的微观粒子为_____。【答案】质量；电荷；自旋；全同粒子二、选择题7．正交归一性表示为_____，如果算符是厄米算符，则它满足_____。【答案】8．一维自由电子被限制在x和处两个不可穿透壁之间，埃，如果是电子最低能态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（）I第29页，共47页【答案】C【解析】一维无限深方势阱中能级公式为则可知，较高级能量与基态能量比值为由题意，基态能量为则第一激发态能量为9．中心力场中，算符的共同征函数为则关于这两个算符的本征值方程正确的式子是（）A.B.C.D.【答案】C10．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则它们满足对易关系为_____。【答案】011．光子和电子的波长都为5.0埃，光子的动量与电子的动量之比是多少？（）A.1B.C.D.【答案】A【解析】由德布罗意波长公式波长相同则二者动量大小必定相同，因此答案选A.12．已知体系的哈密顿算符为下列算符与对易的有_____。【答案】三、简答题13．描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。14．在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。第30页，共47页15．现有三种能级请分别指出他们对应的是哪些系统。【答案】对应中心库仑势系统，例如氢原子；对应一维无限深势阱；对应一维谐振子．16．试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。17．什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象；斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。18．写出角动量的三个分量的对易关系.【答案】这三个算符的对易关系为19．解释量子力学中的“简并”和“简并度”。【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。20．有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法，简述理由。【答案】不同意。因为为实函数，但可以为复函数。四、计算题21．设是方向的单位矢量，在表象中，（1）计算并将结果表示为三个泡利矩阵的线性组合（要求给出组合系数）。（2）计算的本征态（3）设两电子自旋态为试证该态与的方向无关，即由不同得到的态最多相差相因子。【答案】⑴第31页，共47页（2）设的本征值为，本征矢为则:解久期方程，可得：将分别代入本征方程，得到与对应的本征矢为：与对应的本征矢为：（3）利用矩阵直积的知识，可将表示为：因此，对任意得到的与态只相差倍。得证22．设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量为其中T为常数。（1）求很长时间后电子跃迁到激发态的概率.已知，a基态其中为玻耳半径.已知，基态（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零?简述理由.第32页，共47页【答案】（1）根据跃迁几率公式其中可知，必须先求得根据题意知，氢原子在t>0时所受微扰为：氢原子初态波函数为：根据选择定则终态量子数必须是记由初态到末态的跃迁矩阵元为将代入跃迁几率公式（2）基态电子跃迁到的几率均为0,因为不符合跃迁的选择定则23．—体系未受微扰作用时只有三个能级：现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为和c都是实数.用微扰公式求能量至二级修正。【答案】至二级修正的能量公式为其中分别为一级和二级修正能量.n=1时，将m=2,3代入II式得第33页，共47页n=2时，将m=l,3代入II式可得n=3时，将m=l,2代入II式可得再分别由I式、III式、IV式和V式可得24．—自旋的粒子的哈密顿算符其中，，在表象中的矩阵为为实常数。（1）不考虑空间运动，由确定自旋运动定态能量.与定态波函数已知时，求任意时刻f的波函数并求和的几率。（2）同时考虑空间运动和自旋运动，已知时波函数为其中是的本征值的本征函数，求任意时刻的波函数及能量￡、动量与自旋的平均值：【答案】（1）本征方程为若设即需解方程有非零解，则必有可得：因此：任意时刻，第34页，共47页因为时刻，且：故：的几率为：的几率为：（2）容易证明，时刻，粒子的空间波函数为的本征态，对应本征值为因此：故：25．设在平行于y轴的磁场中，一个电子的哈密顿为其中，为自旋算符，在t=0时刻，电子处在本征值为的本征态，求以后t时刻电子所处状态的表示式。【答案】粒子的哈密顿量因此定态方程的解为：t时刻，电子波函数满足：因为故：所以：第35页，共47页26．中子的自旋也为磁矩为若中子处于沿y方向的均匀磁场中，求自旋波函数。【答案】体系的哈米顿基为：不妨取）在表象中，设自旋波函数为则能量本征方程为：久期方程为：由此可得：（1）当时，由并结合归一化条件可得自旋波函数为：（2）同理，当时，可得自旋波函数为：27．设t=0时刻氢原子处于状态，其中是氢原子哈密顿算符的正交归一化本征波函数.求：（1）t=0时刻，体系能量的平均值.（2）t=0时刻，体系角动量平方的平均值.（3）t=0时刻，体系角动量x分量的平均值.（4）时刻，体系所处的状态【答案】（1）由题意可知n=2，3故t=0时，体系能量平均值为第36页，共47页（2）由题意知1=1，2则的平均值为（3）由关系式另外，由正交归一条件有故t=0时平均值为（4）时刻体系所处的状态为28．粒子的一维运动满足薛定愕方程：（1）若是薛定谔方程的两个解，证明与时间无关.（2）若势能V不显含时间t，用分离变数法导出不含时的薛定谔方程，并写出含时薛定谔方程的通解形式.【答案】⑴取式（1）之复共轭，得第37页，共47页得对全空间积分：即所以与时间无关.（2）设代入薛定谔方程，分离变量后，得E为既不依赖t,也不依赖r的常数.这样，所以因此，通解可以表示为其中，是满足不含时的薛定谔方程第38页，共47页量子力学考研核心题库（五）一、填空题1．在量子力学原理中.体系的量子态用希尔伯特空间中的_____来描述.而力学量用_____描述.力学量算符必为_____算符，以保证其_____为实数.【答案】函数矢量；张量（一般是二阶张量，即矩阵）；厄米；本征值【解析】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对应张量，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵.力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符合事实.2．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。【答案】3．粒子在一维势阱中运动，波函数为则的跃变条件为_____。若势阱改为势垒则的跃变条件为_____。【答案】4．称_____等固有性质_____的微观粒子为全同粒子。【答案】质量；电荷；自旋；完全相同5．一质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动，其状态波函数为_____,能级表达式为_____。【答案】6．表示_____，几率流密度表示为_____。【答案】几率密度；二、选择题第39页，共47页7．量子力学中，体系的任意态可用一组力学量完全集的共同本征态展开，展开式为_____，展开式系数_____。【答案】8．下列算符是线性算符的是_____。【答案】9．在量子力学中.对每一个物理量A,都有一个厄米算符与之对应，若体系处在由波函数描述的态中.则在t时刻.对物理量A测量时所得的平均值A.t为（）。【答案】B【解析】物理量平均值定义为分别为物理量本征值及取值概率，而考虑到正交归一化条件和力学量算符的厄米性，于是10．下面哪组是泡利矩阵（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】泡利矩阵必须满足以下对易关系再由最终推导出泡利矩阵只能为11．—维问题中的哈密顿量为哈密顿与坐标的对易式（）。第40页，共47页【答案】C12．（1）考虑如图的电子干涉实验，电子从距屏为L的电子枪发射，屏上有两个特别窄的狭缝（缝宽为电子的德布罗意波长数量级），观察干涉图样的探测器置于屏的另一侧L处.如果电子枪向上移动（沿y方向）距离d,则干涉图样（）。A.向上移动距离dB.向下移动距离dC.向上移动距离d/2D.向下移动距离d/2（2）题（1）中，如果电子枪开始以较太的能量向屏发射电子，则（）.A.干涉图样中相邻最大值之间的距离减小B.干涉图样向上移动C.干涉图样变蓝D.干涉图样消失（3）题（1）中，如果两缝之间距离加倍，则干涉图样中相邻最大值之间距离（）.A.加倍B.为原来的四倍C.为原来的二分之一D.不变（4）题（1）中，如果每个缝宽度加倍.则干涉图样中相邻最大值之间距离（）.A.加倍B.为原来的四倍C.为原来的二分之一D.不变（5）题（1）中，如果只有一个缝的宽度加倍（原来两缝宽度相同），则（）.A.干涉图样消失B.干涉图样中相邻最大值之间距离改变C.干涉图样向变宽狭缝移动第41页，共47页D.干涉图样的最大强度与最小强度之差减小（6）题（1）中，如果探测器置于某一狭缝的旁边，由此可确定某一电子是否通过该狭缝，则（）.A.干涉图样向装探测器的狭缝移动B.干涉图样中相邻最大值之间距离改变C.干涉图样消失D.干涉图样变弱【答案】（1）B【解析】分析未移动前位于屏幕正中间的点，令偏上的光线为a，偏下的光线为b，未移动前，a和b的光程相等，电子枪上移后，a在狭缝左边光程减小，b在狭缝右边光程增加，为保证a和b光程再次相等，应该使a在狭缝右边光程相对于b在狭缝右边光程増加，于是干涉图样只能下移.再考虑到狭缝与电子枪和屏幕距离相等，于是整个装置具有对称性，为保证a和b的光程相等，干涉图样只能向下移动距离d.（2）A【解析】A项，由德布罗意波长公式以及可知，当能量E増加后，动量p増加，导致电子的德布罗意波长减小，而干涉条纹间距因而增加电子能量将导致干涉条纹间距减小.B项，电子能量增加并不会对光程产生影响，故不影响干涉图像位置.C项，电子能量増加并不会改变屏的特征光谱，不会变蓝.D项，题中提到狭缝间距尺寸在德布罗意波长数量级，在电子能量变化不是很大时，电子波长应该仍与狭缝间距相当，干涉图样不会消失.（3）C【解析】设狭缝间距为d，由双缝干涉条纹间距公式有条纹间距则显然当d加倍时，必定导致条纹间距变为原来的二分之一.（4）D【解析】设狭缝间距为d，则由双缝干涉条纹间距公式有条纹间距则显然条纹间距与缝的宽度无关，即条纹间距不变.（5）D【解析】A项，缝宽度的变化并不会影响产生干涉图样的条件——电子波长与缝的间距相近，干涉条纹不会消失.B项，同样由条纹间距可知，条纹间距也不会有变化.C项，缝宽度变化也不会影响光程，干涉图样位置也不会因此发生变化.D项，只改变一个缝的宽度将导致从缝射出的两列光波振幅不同，因而最小强度无法变为0,最终导致干涉图样的最大强度与最小强度之差减小.（6）C【解析】由题意，通过该狭缝的电子位置将会由于测不准原理导致光子动量不确定，以至于电子波长和频率会受到极大干扰，从狭缝射出的光波将不再是相干光，而干涉图样产生的重要条第42页，共47页件之一就是参与干涉的光必须是相干光，因而干涉图样消失.三、简答题13．写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。【答案】总自旋为0:总自旋为1:14．分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。【答案】15．假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是它的本征值（非简并）和本征函数已知：另一部分很小，可以看作是加于上的微扰.写出在非简并状态下考虑一级修正下的波函数的表达式?及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。【答案】一级修正波函数为二级近似能量为其中16．试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由.【答案】量子态的叠加原理：若为粒子可能处于的态，那么