北京市西城区1中高二上学期期中考试数学（理）试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精高二年级数学（理科）试题一、选择题:本大题共10小题，每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1。如果点在直线上,而直线又在平面内，那么可以记作（）．A。，B.，C。，D.，【答案】B【解析】直线上有无数个点,直线可看成点的集合，点在直线上，可记作，直线在平面内，可记作，故选．2.以下命题正确的有（）．①②③④A.①②B.①②③C。②③④D.①②④【答案】A【解析】试题分析:①由线面垂直的判定定理可知结论正确；②由线面垂直的性质可知结论正确；③中的关系可以线面平行或直线在平面内；④中直线可以与平面平行，相交或直线在平面内考点:空间线面平行垂直的判定与性质3。在下列命题中，正确的命题是（）．A。如果平面内的一条直线垂直于平面内的任一直线，那么B.如果平面内一直线平行于平面，那么C。如果平面平面,任取直线，那么必有D.如果平面平面，直线，那么必有【答案】A【解析】项正确．项可能存在，项可能存在与是异面直线，故选．4。一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是(）．A.①②B.②③C。③④D。①④【答案】D【解析】由主视图、左视图可知，俯视图可能是长为宽为的长方形，也可能是椭圆，故选．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐,宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽。由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.5。下列命题中，正确命题是（)．A.空间不同三点确定一个平面B。空间两两相交的三条直线确定一个平面C。两组对边相等的四边形是平行四边形D。和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内【答案】D【解析】A错误。空间不共线三点确定一个平面；B错误。如三棱锥的一个顶点出发的三条棱所在的直线不能确定一个平面；C错误。正四面体的两组对棱构成的四边形不是平行四边形；D正确。6.如果平面外有两点、,它们到平面的距离都是，则直线和平面的位置关系一定是（）．A.平行B.相交C。平行或相交D.【答案】C【解析】若两点在平面同侧,则直线与平面平行，若在异侧，则直线与平面相交，故选．7.在正方体中，如果是的中点，那么直线垂直于（）．A.B.C。D。【答案】B【解析】试题分析:在正方体中,是的中点，设是的交点，则，,又，,故选B。考点：空间中的垂直关系8.若正四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的表面积是(）．A.B.C.D。【答案】B【解析】底面积：，侧面积：，表面积，故选．9.已知六棱锥的底面是正六边形，平面．则下列结论不正确的是（）．A。平面B。平面C。平面D。平面【答案】D【解析】∵六棱锥的底面是正六边形，平面．则，由线面平行的判定定理，可得平面,故A正确；，由线面垂直的判定定理可得平面,故B正确；，由线面平行的判定定理，可得平面，故C正确；与不垂直，故D中，平面不正确;故选D。10.在棱长为的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）．A。B.C。D。【答案】C【解析】每个三棱锥的体积，剩下几何体的体积，故选．点睛：求体积的一些特殊方法—-分割法、补形法、等体积法。①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法:等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积（或体积）通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形（或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．二、填空题：本大题共6小题,每小题4分，共24分．11。已知，是两条异面直线，，那么与的位置关系是__________．【答案】相交或异面【解析】若,则由可得到，与,是两条异面直线矛盾,所以与可能相交；也可能异面，不可能平行,故与的位置关系为相交或异面．12。圆锥的底面半径是，高是，则圆锥的侧面积是__________．【答案】【解析】试题分析：由题圆锥的母线长为,则它的侧面积是考点：圆锥的侧面积13。如果棱长为的正方体的八个顶角都在同一个球面上，那么球的表面积是__________．【答案】【解析】设球半径为,则，∴，球的表面积．故填.14.如图，在四棱锥中，平面，且四边形是矩形，那么该四棱锥的两个侧面中是直角三角形的有__________个．【答案】4【解析】∵平面，∴,，，，∴，是直角三角形，又∵在矩形中，，,∵,，∴平面,平面，∴，，∴，是直角三角形，∴、、、共个直角三角形．故填4。15.下列命题正确的有__________．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内;②若直线上有无数个点不在平面内,则与平面平行；③若直线与平面相交，则与平面内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面．【答案】①⑤【解析】①正确；②错误，直线与平面相交时,仍有无数个点不在平面内．③错误，直线与平面内过该交点的直线不是异面直线．④错误，另一条直线可能在该平面内．⑤正确．故填①⑤。16.已知是等腰直角三角形，,是斜边上的高，以为折痕使成直角．在折起后形成的三棱锥中，有如下三个结论：①直线平面；②侧面是等边三角形;③三棱锥的体积是．其中正确结论的序号是__________．（写出全部正确结论的序号)【答案】①②③【解析】①∵，，点，,平面，∴平面．②∵在中，，，∴，同理可得，，∴是等边三角形．，,，综上①②③均正确．故填①②③.三、解答题：本大题共3小题，共26分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17。如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，点为的中点．（I)求证：平面．（II)求证：平面．【答案】(1）详见解析；（2)详见解析。【解析】试题分析:（1）矩形中，，又底面，∴,根据线面垂直的判定定理可得平面;(2）设与的交点为，连接，可得，由线面平行的判定定理即可证明。试题解析：（I）在矩形中，,又∵底面,∴，∵点，，平面，∴平面．（II）设与的交点为，连接,∵、分别是、中点,∴，∵平面，平面，∴平面．点睛：直线与平面平行的定义：如果直线与平面没有公共点,则直线与平面平行，记作；直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线互相平行，则该直线与此平面平行；判定直线和平面垂直的方法：①定义法．②利用判定定理:一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．18。如图，正三棱柱中，是的中点．（I）求证:平面平面．（II）求证:平面．【答案】(1）详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析:(1)正三角形中，,又，由线面垂直的判定定理可得平面，进而可得平面平面；（2)取中点，连接，，因为,由线面平行的判定定理可得平面．试题解析：（I)∵在正三角形中，是中点,∴，又∵在正三棱柱中，平面，∴平面,∴，∵点,，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．（II）取中点，连接，，∵、分别是，中点，∴，∵平面，平面，∴平面．19.如图，三棱锥的三个侧面均为边长是的等边三角形，，分别为，的中点．（I）求的长．(II）求证:．（III)求三棱锥的表面积．【答案】（1);（2）详见解析；(3）。【解析】试题分析：（1)连接，，等边中，,，同理可得,等腰中,，；（2)由线面垂直的判定定理证明平面,则；(3）三棱锥的三个侧面均为边长为的等边三角形,底面仍为边长为的等边三角形,分别求出各面的面积求和即三棱锥的表面积.试题解析:(I）连接，，∵在等边中，是边上中点，∴，，同理可得,在等腰中,为边上中点，∴，∴．（II)证明：∵,，点，、平面，∴平面，∴．（III）∵三棱锥的三个侧面均为边长为的等边三角形，则底面中，，∴底面仍为边长为的等边三角形，∴表面积．【B卷】一、选择题（每题5分，共30分．）20.在空间四边形中,等于（）．A。B。C.D.【答案】C【解析】,，．故选．21.下列各组向量平行的是（)．A。，B.，C.,D。，【答案】A【解析】项，，,,即．故选A。22。已知向量，，则等于__________．【答案】【解析】，，．故填。23。已知点,则点关于轴对称的点的坐标为（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】关于轴对称后．故选B。24.已知，，若,则（)．A。B.C。D.【答案】C【解析】∵,∴，∴，解得．故选C。点睛:平面向量数量积的类型及求法：（1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝｜a｜｜b|cosθ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义。(2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.25。已知，，，则向量与的夹角为（）．A.B.C。D.【答案】C【解析】∵，，，∴，，∴，∴与的夹角为，故选．二、解答题:本大题共2小题，共20分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤．26。（用空间向量方法）如图，正方体的棱长为，为棱的中点．(I)求与所成角的大小．（II)求与平面所成角的正弦值．（III）求平面与平面所成角的余弦值．【答案】(1);(2);(3）.【解析】试题分析:(1）建立空间直角坐标系如图所示，求出和的坐标，代入，求出结果即可;(2）写出的坐标，平面是一个法向量,与平面所成角的正弦值为的绝对值;（3)求出平面的法向量,代入公式即可.试题解析：（I)如图以为坐标原点，以，,分别为，，轴,建立空间直角坐标系，，，，．∴，，，由图知，与成角为锐角．(II)，,，平面是一个法向量，∴，∴与平面所成角的正弦值为．（III)，,，∵，，，设平面的一个法向量，∴,，∴，平面与平面所成角余弦值为．点睛:本题考查线线角,线面角以及二面角大小的求法,属于中档题.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破"：第一，破“建系关",构建恰当的空间直角坐标系;第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四，破“应用公式关".27.如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直．，,，．(I）求证：平面．（II）求证:平面．（III）求二面角的大小．【答案】（1)详见解析；（2）详见解析；(3）.【解析】试题分析：(1)设与交于点，先证明四边形为平行四边形,可得,由线面平行的判定定理即可证明；(2)连接,判断出四边形为菱形，得到,又正方形中，，且平面平面,∴平面，∴,根据线面垂直的判定定理证明即可;(3）建立空间直角坐标系,写出各点坐标,求出平面和平面的法向量，代入二面角公式即可求出二面角的大小.试题解析:(I)设与交于点，∵，且，，∴四边形为平行四边形,∴,∵平面,平面，∴平面．(II）连接，∵，，，∴四边形为菱形，∴，∴在正方形中,,且平面平面，平面平面，∴平面，∴,又