微积分教学大纲

《微积分》教学大纲一、使用阐明（一）课程性质《微积分》是高等学校财经、管理类专业关键课程经济数学基础之一，它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。微积分作为一年的课程，是为财经类、管理类等非数学专业本科生开设的，制定大纲的原则是具有一定数学基础的学生对该领域的基础知识、背景有所理解，为深入学习专业课打下坚实的基础。（二）教学目的通过本课程的学习，使学生很好地掌握微积分特有的分析思想，并在一定程度上掌握运用微积分认识问题、处理问题的措施；对微积分的基本概念、基本措施、基本成果有所理解，并能运用其手法处理实际问题中的简朴课题。（三）教课时数本课程共132课时，8学分。（四）教学措施采用课堂讲授、多媒体课件等措施和形式。（五）面向专业经济学、管理学所有本科专业。二、教学内容第一章函数（一）教学目的与规定[教学目的]使学生对的理解函数的定义。理解函数的多种表达法，尤其是分析表达法。理解函数的几何特性及图形特性，理解反函数、复合函数概念。纯熟掌握基本初等函数的性质及图形，掌握初等函数的构造并能确定其定义域，能列出简朴的实际问题中的函数关系。[基本规定]1、理解实数与实数的绝对值的概念。2、理解函数、函数的定义域和值域，熟悉函数的表达法。3、理解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特性。4、理解反函数概念；懂得函数与其反函数的几何关系；给定函数会求其反函数。5、理解复合函数的概念；理解函数能构成复合函数的条件；掌握将一种复合函数分解为较简朴函数的措施。6、基本初等函数及定义域、值域等概念；掌握基本初等函数的基本性质。7、理解分段函数的概念。8、会建立简朴应用问题的函数关系。（二）教学内容函数的定义，函数的几何特性，反函数，复合函数，初等函数，经济中的常用函数。教学重点：1、五个基本初等函数的分析体现式、定义域、值域及其图形。2、初等函数的概念，复合函数的复合环节的分解措施。3、几种常用经济量的含义及几种常用的经济函数。教学难点：1、复合函数的复合环节的分解措施。2、运用图形把抽象的数学问题形象化、直观化研究问题的措施。第一节预备知识一、实数二、绝对值三、区间四、邻域五、集合第二节函数概念一、常量与变量二、函数的定义与表达法三、函数定义域的求法第三节函数的几何特性一、函数的单调性二、有界性三、奇偶性四、周期性第四节反函数一、反函数的定义及其图形二、反三角函数及其主值第五节复合函数一、复合函数的定义二、运算及举例第六节初等函数一、基本初等函数的定义、定义域、值域及其图形二、初等函数的定义第七节分段函数一、分段函数的概念二、分段函数的图形特性第八节建立函数关系的例子一、总成本函数、总收入函数、总利润函数二、需求函数、供应函数（三）教学措施与形式采用课堂讲授、多媒体课件等措施和形式。（四）教课时数6课时。第二章极限与持续（一）教学目的与规定[教学目的]通过本章教学使学生理解极限与持续这两个高等数学中的基本概念掌握极限运算法则和两个极限存在准则，理解间断点的概念和闭区间上持续函数的性质。[基本规定]1、理解数列极限与函数极限概念。有关数列极限与函数极限分析定义不做规定。2、理解无穷小量的概念与基本性质，掌握无穷小量比较的措施；理解无穷大量的概念；懂得无穷小量与无穷大量的关系。3、懂得两个极限的存在性定理，并能用于求某些简朴的极限。夹逼定理，单调有界数列的极限存在性定理。4、纯熟掌握两个重要极限，两个重要极限的证明不作规定。5、理解函数持续性的概念，函数间断点的概念；掌握函数间断点的分类；掌握讨论简朴分段函数持续性的措施。6、理解持续函数的性质，理解初等函数在其定义区间内必持续的结论。7、理解闭区间上持续函数的基本定理，基本定理的证明不作规定。8、掌握求极限的基本措施：运用极限运算法则、无穷小量的性质、两个重要极限以及函数的持续性等求极限的措施。（二）教学内容数列极限，函数极限，极限的基本性质，无穷小及无穷大，极限的四则运算，极限存在准则及两个重要极限，函数持续的概念及性质。教学重点：1、极限概念、极限的运算法则。2、两个重要极限，求极限的某些基本初等措施。3、函数持续性的概念、间断点的分类。教学难点：1、极限的概念。2、分段函数的持续性。3、间断点的分类。第一节数列的极限一、数列的概念二、数列极限的定义与几何意义三、数列极限的唯一性及收敛数列的有界性第二节函数的极限一、时，函数的极限二、时，函数的极限三、函数极限的几何解释四、单边极限第三节极限的基本性质一、唯一性二、有界性三、保号性四、不等式性第四节无穷小量与无穷大量一、无穷小量的定义与基本性质二、无穷小量的比较三、无穷大量的定义四、无穷小量与无穷大量的关系第五节极限的运算法则一、极限的四则运算法则二、复合函数的极限运算法则第六节极限的存在性定理一、夹逼定理二、单调有界数列的极限存在性定理第七节两个重要极限一、二、第八节函数的持续性一、函数的变化量二、函数的持续性，左持续与右持续三、函数的持续性与极限的关系四、函数的间断点及其分类五、持续函数的和、差、积、商的持续性六、反函数与复合函数的持续性七、初等函数的持续性七、分段函数的持续性第九节闭区间上持续函数的基本定理一、有界性定理二、最值定理三、介值定理四、零点定理（三）教学措施与形式采用课堂讲授、多媒体课件等措施和形式。（四）教课时数14课时。第三章导数与微分（一）教学目的与规定[教学目的]让学生理解导数与微分的概念，导数的几何意义及函数可导性与持续性之间的关系。掌握导数四则运算法则，初等函数、复合函数、反函数以及隐函数所确定的函数的一阶二阶导数的求导措施，会求简朴的n阶导数。[基本规定]1、理解导数的概念；懂得导数的几何意义与经济意义；理解可导与持续的关系。2、纯熟掌握基本初等函数的导数公式。3、纯熟掌握导数的四则运算法则。4、掌握反函数的导数公式（证明不作规定）。5、纯熟掌握复合函数的链式求导公式（证明不作规定）6、掌握隐函数求导法与对数求导法。7、理解高阶导数概念，掌握求二阶、三阶导数及某些简朴函数的n阶导数的措施。8、理解微分的概念；掌握可导与可微的关系；纯熟掌握微分法则与微分基本公式；理解微分形式的不变性。9、懂得边际与弹性的概念，会求解简朴的经济应用问题。（二）教学内容导数概念；导数的和、差、积、商的求导法则；反函数的导数；复合函数的求导法则；高阶导数；隐函数的导数；函数的微分；微分在近似计算中的应用。教学重点：1、导数定义，运用求导公式及四则运算法则计算初等函数的导数。2、复合函数的导数。3、微分的定义以及计算措施。教学难点：1、导数概念的建立。2、复合函数的导数。3、微分概念的建立，微分形式不变性。第一节导数的概念一、变速直线运动的速度二、平面曲线的切线斜率三、导数的定义与几何意义四、可导与持续的关系第二节基本初等函数的导数公式推导基本初等函数的导数公式。第三节导数的四则运算导数的和、差、积、商的求导法则。第四节反函数与复合函数的导数，隐函数的导数，对数求导法一、反函数的导数二、复合函数的求导法则三、隐函数的导数四、对数求导法第五节高阶导数的概念与求法一、高阶导数的概念二、高阶导数求法第六节微分一、微分的定义与几何意义二、可导与可微的关系三、微分法则与微分基本公式四、微分形式的不变性第七节导数与微分的简朴应用一、边际与弹性概念二、边际与弹性经济学意义（三）教学措施与形式采用课堂讲授、多媒体课件等措施和形式。（四）教课时数16课时。第四章中值定理与导数的应用（一）教学目的与规定[教学目的]使学生掌握中值定理的条件和结论。会用中值定理进行简朴的推理论证，纯熟运用洛必达法则求不定式的极限，掌握运用导数判断函数的单调性、极值、凹凸型和拐点的措施，并会描绘简朴函数的图形，会用到书分析某些简朴的经济问题。[基本规定]1、能论述Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理，懂得这些定理之间的联络，会运用这些定理证明某些简朴的证明题（如证明不等式）。有关这些定理的证明不作规定。2、纯熟掌握型、型的洛必达法则，理解其他未定式的定值措施。注意洛必达法则合用的条件。3、纯熟掌握函数单调性的鉴别法。4、纯熟掌握求函数的极值与最值的措施；理解函数极值与最值的关系与区别；会求某些简朴的经济应用问题。5、掌握曲线凹凸性的鉴别法；掌握求曲线拐点与渐进线的措施。6、掌握函数作图的基本环节与措施；会作某些简朴函数的图形。（二）教学内容中值定理；洛必达法则；函数单调性、凹凸性及拐点的鉴定；函数的极值与最值及其求法；函数图形的描绘。教学重点：1、拉格朗日中值定理的题的条件,结论和有限增量形式。2、用洛必达法则求,型的极限化五种不定式∞-∞,0*∞,,,为型或型。3、运用导数研究函数的单调性,极值及曲线的凹凸性。4、经济应用问题:最大利润,最小成本等。教学难点：1、三个中值定理的证明,证明时辅助函数的引进。2、化五种不定式∞-∞,0*∞,,,为型或型。3、运用单调性和极值证明不等式。第一节中值定理一、Rolle定理二、Lagrange定理三、Cauchy定理第二节洛必达法则一、洛必达法则二、洛必达法则的条件及其应用第三节函数的单调性与凹凸性一、函数的单调性及其鉴别法二、函数的凹凸性及其鉴别法、拐点第四节函数的极值与最值一、函数极值的定义二、函数取极值的必要条件与充足条件三、函数最值的概念四、求函数最值的基本环节第五节函数作图一、曲线的渐进线二、函数作图第五节经济应用举例一、最大利润二、最小成本（三）教学措施与形式采用课堂讲授、多媒体课件等措施和形式。（四）教课时数18课时。第五章不定积分（一）教学目的与规定[教学目的]通过教学让学生理解不定积分的概念与性质.掌握不定积分的基本公式,还原法和分部积分法,会求某些简朴的有理函数的积分。[基本规定]1、理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质。2、熟悉基本积分公式。3、纯熟掌握计算不定积分的两种换元法和分部积分法。4、会计算三种简朴的分式的不定积分：，，（二）教学内容不定积分的概念与性质；换元积分法；分部积分法；有理函数的积分。教学重点：1、原函数,不定积分的定义,基本积分公式。2、换元法,分部积分法教学难点：1、第一换元法,第二换元法,分部积分法。2、有理函数式化部分分式代数和。第一节不定积分的概念一、原函数的概念二、不定积分的定义与几何意义三、不定积分的基本性质第二节基本积分表基本积分公式。第三节换元积分法一、第一换元积分法二、第二换元积分法第四节分部积分法一、分部积分公式二、分部积分公式应用第五节有理函数的积分一、简朴分式的不定积分二、真分式的分解三、求有理函数不定积分的一般环节与措施（三）教学措施与形式采用课堂讲授、多媒体课件等措施和形式。（四）教课时数10课时。第六章定积分（一）教学目的与规定[教学目的]使学生理解定级分和广义积分的概念,掌握定积分的计算措施.会计算简朴的广义积分,此外会用定积分求解某些简朴的几何和经济问题。[基本规定]1、理解定积分的概念与基本性质，掌握积分中值定理。2、会求变上限积分的导数，纯熟掌握牛顿——莱布尼兹公式。3、纯熟掌握定积分的换元积分公式与分部积分公式。4、会运用定积分求解平面图形的面积、旋转体的体积、及简朴的经济应用问题。5、理解广义积分收敛与发散的概念，掌握计算广义积分的措施。懂得广义积分与的收敛条件。懂得Γ函数的定义、性质与递推公式。（二）教学内容定积分的概念与性质；微积分基本定理；定积分的换元积分法和分部积分法；定积分在面积、体积与经济学中的应用；广义积分。教学重点：1、定积分的概念,牛顿—莱布尼兹公式,定积分的计算。2、定积分的换元法及分部积分法。3、平面图形的面积计算。教学难点：1、定积分几何意义,变上限定积分。2、广义积分的敛散性。3、”微元法”的基本思想。第一节定积分的概念与性质一、曲边梯形的面积二、定积分的定义与几何意义三、定积分的基本性质四、积分中值定理第二节微积分基本定理一、变上限积分与原函数存在定理二、变上限积分的求导措施三、牛顿——莱布尼兹公式第三节定积分的计算一、第一换元积分法二、第二换元积分法三、分部积分法第四节定积分的应用一、平面图形的面积二、立体的体积三、简朴的经济应用问题第五节广义积分初步一、无穷积分的概念与无穷积分收敛与发散的定义及其计算二、瑕积分的概念与瑕积分收敛与发散的定义及其计算三、广义积分与的敛散性鉴别四、Γ函数的定义、性质与递推公式五（三）教学措施与形式采用课堂讲授、多媒体课件等措施和形式。（四）教课时数14课时。第七章多元函数微积分学（一）教学目的与规定[教学目的]使学生理解空间直角坐标系的有关概念及多元函数的概念.理解多元函数微分理论,掌握多元函数微分的基本计算措施和在求极值方面的应用.理解二重积分的概念,性质.掌握在直角坐标系下二重积分的计算措施及对特殊区域会用极坐标系去计算积分。[基本规定]1、理解空间直角坐标系的有关概念，会求空间两点间的距离。理解平面区域、区域的边界、点的领域、开区域与闭区域等概念。2、理解多元函数的概念；掌握二元函数的定义与表达法。3、懂得二元函数的极限与持续性的概念。4、理解多元函数的偏导数与全微分的概念；纯熟掌握求偏导数与全微分的措施；掌握求多元复合函数偏导数的措施。5、掌握由一种方程确定的隐函数的求偏导数的措施。6、理解二元函数极值与条件极值的概念；掌握用二元函数极值存在的必要条件与充足条件求二元函数极值的措施；掌握用拉格朗日乘数法求解二元函数极值的措施。7、理解二重积分的概念、几何意义与基本性质；掌握在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分的常用措施，会计算某些简朴的二重积分（二）教学内容多元函数的概念；偏导数；多元复合函数偏导数；隐函数的求偏导数；全微分；二元函数极值与条件极值；二重积分的概念、性质、计算法及应用。教学重点：1、偏导数的运算。2、复合函数的偏导数和全微分。3、条件极值与拉格朗日乘数法。4、二重积分定义,性质。5、在直角坐标系及极坐标系下计算二重积分教学难点：1、二元函数极限的概念。2、高阶偏导数的运算。3、复合函数的偏导数。4、极值应用问题的求解。5、二重积分定义。6、二重积分的定限第一节预备知识一、空间直角坐标系、空间两点间的距离与空间曲面与曲面方程二、平面上的区域、区域的边界、点的领域、开区域与闭区域的概念第二节多元函数的概念一、多元函数的定义二、二元函数的定义域与几何意义三、二元函数的极限与持续性第三节偏导数与全微分一、偏导数的定义与计算措施二、全微分的定义与计算措施第四节多元复合函数微分法与隐函数微分法一、多元复合函数概念与微分法二、隐函数微分法第五节高阶偏导数一、高阶偏导数的定义二、高阶偏导数的求法第六节多元函数的极值与最值一、二元函数极值的定义二、极值的必要条件与充足条件三、条件极值与拉格朗日乘数法四、多元函数最值的概念与求法第七节二重积分一、曲顶柱体体积二、二重积分的定义与基本性质三、二重积分的计算法四、在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分（三）教学措施与形式采用课堂讲授、多媒体课件等措施和形式。（四）教课时数28课时。第八章无穷级数（一）教学目的与规定[教学目的]使学生掌握有关级数的基本概念和基本理论及有关级数收敛性的理论和措施.理解函数项级数的收敛域及和函数的概念,能纯熟掌握简朴的幂级数收敛区间的求法.[基本规定]1、理解无穷级数及其一般项、部分和、收敛与发散、收敛级数的和等基本概念。2、掌握几何级数与P级数敛散性鉴别条件；懂得调和级数的敛散性。3、掌握级数收敛的条件，以及收敛级数的基本性质。4、掌握正项级数的比较鉴别法；纯熟掌握正项级数的达朗贝尔比值鉴别法。5、掌握交错级数敛散性的莱布尼兹鉴别法。6、理解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念；掌握绝对收敛与条件收敛的鉴别法。（二）教学内容常数项级数的概念与性质；正项级数的鉴别法；任意项级数的鉴别法；幂级数的概念；收敛半径；收敛区间。教学重点：1、正项级数收敛性的鉴别。2、交错级数的判敛.任意级数绝对收敛与条件收敛的概念。3、幂级数的收敛半径和收敛区间教学难点：1、对级数通项的认识并选定恰当的判敛法。2、任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念。第一节无穷级数的概念与性质一、无穷级数及其一般项与部分和的概念二、无穷级数收敛与发散的定义三、收敛级数和的概念四、几何级数与调和级数的收敛性五、无穷级数收敛的必要条件六、收敛级数的基本性质第二节正项级数一、正项级数收敛的概念二、正项级数收敛的充足必要条件三、正项级数敛散性的比较鉴别法、达朗贝尔比值鉴别法四、P级数的敛散性第三节任意项级数一、交错级数的概念二、交错级数敛散性的莱布尼兹鉴别法三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念四、绝对收敛与条件收敛的鉴别法*第四节广义积分的敛散性鉴别法一、无穷积分与瑕积分的比较鉴别法与极限鉴别法二、广义积分的绝对收敛性三、Β函数的定义四、Β函数与Γ函数的关系*第五节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数的概念三、幂级数收敛半径、收敛区间、和函数的概念四、幂级数敛散性鉴别法五、幂级数收敛半径、收敛区间的求法六、幂级数的基本性质*第六节函数的幂级数展开一、泰勒公式及其他项二、泰勒级数与麦克劳林级数三、幂级数展开定理四、将函数展成幂级数的措施（直接展开法、间接展开法）五、基本初等函数的幂级数展开（三）教学措施与形式采用课堂讲授、多媒体课件等措施和形式。（四）教课时数10课时。第九章微分方程初步（一）教学目的与规定[教学目的]使学生理解微分方程的某些基本概念,掌握某些特殊而又简朴的微分方程的解法,以及一阶线性方程,二阶常系数线性方程的解法,并会解某些简朴的经济应用问题.[基本规定]1、理解微分方程的阶、解、通解、特解等概念。2、掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法。3、掌握二阶常系数线性微分方程的解法。4、会求解某些简朴的经济应用问题。（二）教学内容微分方程的基本概念；可分离变量的微分方程；齐次微分方程；一阶线性微分方程；二阶常系数线性微分方程；微分方程在经济学中的应用。教学重点：1、微分方程的概念。2、变量可分离的微分方程,齐次方程,一阶线性微分方程,二阶常系数线性微分方程的解法。教学难点：1、多种类型的微分方程的鉴别。2、建立实际问题的微分方程