微分几何课程标准

微分几何课程标准一、课程概况课程名称微分几何课程代码20111402适用专业数学与应用数学开课学期第

5,

6

学期课程性质专业选修课程学时/学分51/2预修课程数学分析、解析几何、常微分方程、高等几何二、课程目标课程目标1：培养学生分析问题和解决问题的能力，为学生进一步学习本学科的后继课程打下良好的基础，同时，使学生认识到数学来源于实践，又应用于实践，从而树立改革、创新观念。课程目标2：理解基本定理的证明过程，训练学生的抽象思维、逻辑推理和空间想象的能力，培养学生解决问题的基本意识与技能，提高学生的专业能力素质，为自主学习与职后发展奠定坚实的能力基础。课程目标3：掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部理论；学习曲面的第一、二基本形式，以及由这两个形式决定的几何量及其性质；掌握微分几何常用的思想方法和技巧，如微分法、活动标架法、张量分析法等；了解微分几何在数学、物理、生物医学等学科中的应用。三、课程目标与毕业要求的关系1、课程目标与毕业要求的对应关系毕业要求指标点课程目标学会教学学科素养3.2

善于整合运用数学知识分析问题、解决问题，具备对数学问题进行抽象概括化和逻辑推理的能力，具备良好的数学表达能力。课程目标1课程目标2教学能力4.2具备扎实的教学基本功，熟练掌握现代信息技术，积极采用启发式、案例式、合作式、研讨式等教学方法，准确、生动地向学生传授知识，实施教学。课程目标1课程目标2学会发展学会反思7.1

掌握数学教学专业发展规律，具有数学教学反思意识，树立终身学习理念。能够利用反思改进教学手段、针对教育教学工作中的现实需要与问题和国内外学科发展趋势做纵深对比，进行探索和研究，初步具备数学教学研究能力。课程目标1课程目标2课程目标32、课程目标与毕业要求的矩阵关系图名称践行师德学会教学学会育人学会发展师德规范教育情怀学科素养教学能力班级管理综合育人学会反思沟通合作1.11.21.32.12.22.33.13.23.34.14.24.35.15.25.36.16.26.37.17.27.38.18.28.3微分几何HLM微分几何H

LM课程目标1HLM课程目标2HLM课程目标3M四、课程教学要求与重难点序号课程内容框架教学要求教学重点教学难点1曲线论1.

理解曲线的基本概念，掌握切线和法面的求法，理解曲线的弧长、自然参数的引进。2.

掌握曲线的密切平面、基本三棱形、曲率、挠率等概念、几何意义并会其求法；3.

理解、会用Frenet公式、曲线的局部结构和基本定理。空间曲线的基本三棱形，曲率，挠率，Frenet公式Frenet公式及其运用，空间曲线论的基本定理的意义及理解2曲面论

1.

熟练掌握简单曲面及其上面曲线族（网）的特征，会求曲面的法线、切面等。2.

掌握曲面第一基本形式及相关量的计算，并理解其几何意义。掌握等距对应与共形对应的定义，理解其几何意义，并会判定。3.

掌握曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念，会相关运算。4.

掌握直纹面和可展曲面的定义与基本特征。5.

掌握、理解曲面论基本定理的内容及相关概念与符号。6.

掌握、理解测地曲率和测地线、半测地坐标网的定义及其几何意义。7.

掌握并会应用Gauss-Bonnet公式，理解其深刻内涵。8.

掌握常Gauss曲率曲面的求法，理解罗氏几何学的特点与思想。第一、二基本形式以及由它们决定的几何量的计算和性质；可展曲面的判断和性质各种曲率间的联系和区别，多种几何量的几何意义的理解。五、课程教学内容、教学方式、学时分配及对课程目标的支撑情况序号课程内容框架教学内容教学方式学时支撑课程目标1

向量函数微分几何引论，向量代数复习讲授、课堂讨论、课后练习2课程目标1课程目标2向量函数的极限、连续性、微商、Taylor展式和积分；三个常用引理讲授、课堂讨论、课后练习4课程目标1课程目标2曲线的概念曲线的概念、切线和法面讲授、课堂讨论、课后练习2课程目标1课程目标2课程目标3曲线的弧长和自然参数讲授、课堂讨论、课后练习2课程目标1课程目标3空间曲线空间曲线的密切平面和基本三棱形讲授、课堂讨论、课后练习4课程目标1课程目标2空间曲线的曲率与挠率讲授、课堂讨论、课后练习2课程目标1课程目标3空间曲线的Frenet公式讲授、课堂讨论、课后练习2课程目标1课程目标3空间曲线论基本定理讲授、课堂讨论、课后练习2课程目标1课程目标22曲面的概念简单曲面、曲面的切平面及法线、曲线网讲授、课堂讨论、课后练习4课程目标1课程目标2曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式、弧长、交角、面积讲授、课堂讨论4课程目标1课程目标2课程目标3等距交换、保角变换讲授、课堂讨论2课程目标1课程目标2曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式、曲面上曲线的曲率讲授、课堂讨论、课后练习3课程目标1课程目标2杜邦（Dupin）指标线、曲面的渐近方向和共轭方向讲授、课堂讨论、课后练习2课程目标1课程目标2曲面的主方向和曲率线、曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率讲授、课堂讨论、课后练习4课程目标1课程目标2直纹面和可展曲面直纹面和可展曲面讲授、课堂讨论、课后练习2课程目标1课程目标2课程目标3曲面论的基本定理曲面论基本定理，高斯-科达齐-迈因纳尔迪（Gauss-Codazzi-Mainardi）公式讲授、课堂讨论、课后练习2课程目标1课程目标2曲面上的测地线曲面的测地线讲授、课堂讨论、课后练习4课程目标1课程目标2高斯-波涅公式讲授、课堂讨论、课后练习2课程目标1常高斯曲率的曲面常高斯曲率的曲面讲授、课堂讨论、课后练习2课程目标1课程目标2六、课程目标与考核内容课程目标考核内容课程目标1：培养学生分析问题和解决问题的能力，为学生进一步学习本学科的后继课程打下良好的基础，同时，使学生认识到数学来源于实践，又应用于实践，从而树立改革、创新观念。

简单曲线的概念、曲线的弧长、自然参数和一般参数的确定和转化；空间曲线基本三棱形的概念、结构、用途以及选取不同参数时，它的计算公式；曲率、挠率的几何意义，对不同参数的曲率和挠率的计算公式，并能根据它的特点，判断曲线的一般特征；曲线的Frenet公式的几何意义，并能用此公式讨论空间曲线中的一些问题；特殊曲线的定义、性质定理以及应用。同时包含出勤、课堂表现和平时作业的完成情况以及平时测验成绩。课程目标2：理解基本定理的证明过程，训练学生的抽象思维、逻辑推理和空间想象的能力，培养学生解决问题的基本意识与技能，提高学生的专业能力素质，为自主学习与职后发展奠定坚实的能力基础。三维欧式空间的曲面的局部性质、曲面的第一、二基本形式以及引申出来的各种曲率以及其它几个重要几何量的计算，它们的性质、几何意义以及它们在微分几何中的作用；掌握直纹面与可展曲面的定义，判定方法及应用；曲面论的一些经典实例；外微分形式及活动标架，整体微分几何学等研究微分几何的基本方法。同时包含出勤、课堂表现和平时作业的完成情况以及平时测验成绩。课程目标3：掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部理论；学习曲面的第一、二基本形式，以及由这两个形式决定的几何量及其性质；掌握微分几何常用的思想方法和技巧，如微分法、活动标架法、张量分析法等；了解微分几何在数学、物理、生物医学等学科中的应用。会求曲线的弧长和自然参数；计算空间曲线的曲率与挠率；求曲面的第一基本形式、弧长、交角、面积；一些简单直纹面和可展曲面方程的计算；同时包含出勤、课堂表现和平时作业的完成情况以及平时测验成绩。七、考核方式与评价细则考核方式比例考核/评价细则课堂表现10%评价标准：

根据学生上课出勤率、课堂讨论和回答问题等综合表现给出成绩。基础分90分；旷课一次扣

10

分，迟到、早退、事假一次扣

5

分；病假、公假、丧假不扣分；旷课三次以上不及格。有效参与讨论并正确回答问题一次加5分，最高100分。平时作业20%评价标准：一个教学班分成两个小组，每次批改其中一个小组的作业。若每次作业给出A、B、C、D等级，全部为A计100分；两次及以上为A计90分；一次为A计85分；三次及以上为D计60分；其他80分。若给出百分制的分值，则计为平均分。在此标准下，少交一次作业扣10分。期中测验10%评价标准：一次期中考试成绩，占百分之十。严格按照《微分几何》期中测验试题参考答案及评分细则进行阅卷。期末考试60%评价标准：严格按照《微分几何》期末试题参考答案及评分细则进行阅卷。综合成绩100%课堂表现(10%）+平时作业（20%）+期中测验（10%）+期末考试（60%）八、课程目标达成度评价参考《数学学院课程目标达成度评价方法》进行评价。九、本课程各个课程目标的权重依据第八部分中的课程目标达成度评价方法，计算得到本课程的各个课程目标的权重如下：课程目标课程目标1课程目标2课程目标3权值0.42860.42860.1428十、持续改进根据学生的课堂表现、平时作业、期中测验和期末考试情况及教学督导的反馈，检验学生对本课程涉及的学科素养和学会反思的达成情况，及时对教学中的不足之处进行改进，调整教学指导策略；根据学生的课堂表现、平时作业、期中测