高考数学北师大（理）一轮复习ppt课件23函数的奇偶性与周期性

2.3

函数的奇偶性与周期性2.3函数的奇偶性与周期性-2-知识梳理考点自诊1.函数的奇偶性f(-x)=f(x)y轴

f(-x)=-f(x)原点

-2-知识梳理考点自诊1.函数的奇偶性f(-x)=f(x)-3-知识梳理考点自诊2.函数的周期性(1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足条件:①T≠0;②

对定义域内的任意x都成立.

(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

,那么这个

就叫做f(x)的最小正周期.

(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).f(x+T)=f(x)最小的正数

最小正数

-3-知识梳理考点自诊2.函数的周期性f(x+T)=f(x)-4-知识梳理考点自诊1.函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.-4-知识梳理考点自诊1.函数奇偶性的四个重要结论-5-知识梳理考点自诊2.周期性的几个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x(其中a>0,且为常数):(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;(2)若f(x+a)=

(m∈R且m≠0),则T=2a;(3)若f(x+a)=f(x-a),则T=2a;一般地,若f(x+a)=f(x-b),则T=|a+b|;(4)若f(x)的图像关于(a,0)对称,且关于x=b对称,则T=4|a-b|;(5)若f(x)的图像关于(a,0)对称,且关于(b,0)对称,则T=2|a-b|.3.对称性的四个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称;-5-知识梳理考点自诊2.周期性的几个常用结论-6-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数y=x2在区间(0,+∞)内是偶函数.(

)(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.(

)(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称;若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图像关于点(b,0)中心对称.(

)(4)如果函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,那么F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.(

)(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在(-∞,0)上是减少的,则f(x)在(0,+∞)上是增加的.(

)(6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期.(

)×√×√√×-6-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√-7-知识梳理考点自诊2.(2018陕西宝鸡中学三模,2)函数

的图像(

)A.关于原点对称

B.关于x轴对称C.关于y轴对称

D.关于直线y=x对称C3.(2018山东济宁一模,4)已知函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,则f(-5)的值为(

)A.-3 B.-1 C.1

D.3B解析:∵函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,∴f(-5)=f(-5+4)=f(-1)=-f(1),又x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,则f(1)=2×1-12=1,∴f(-5)=-f(1)=-1,故选B.-7-知识梳理考点自诊2.(2018陕西宝鸡中学三模,2)函-8-知识梳理考点自诊4.已知偶函数f(x)在[0,+∞)内是减少的,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是

.

5.函数f(x)的定义域为R,且对于x∈R,恒有f(x+2)=f(x).当x∈[1,3]时,f(x)=x2-2x,则f(2019)=

.

(-1,3)解析:作出函数f(x)的大致图像如图所示,

因为f(x-1)>0,所以-2<x-1<2,解得-1<x<3.则x的取值范围为(-1,3).解析:由f(x+2)=f(x)知,f(x)是周期T=2的周期函数.∵当x∈[1,3]时,f(x)=x2-2x,∴f(2

019)=f(1

009×2+1)=f(1)=12-2×1=-1,即f(2

019)=-1.-1-8-知识梳理考点自诊4.已知偶函数f(x)在[0,+∞)内-9-考点1考点2考点3考点4函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性:-9-考点1考点2考点3考点4函数奇偶性的判断-10-考点1考点2考点3考点4(2)由题意知函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.当x>0时,-x<0,此时f(x)=-x2+2x+1,f(-x)=x2-2x-1=-f(x);当x<0时,-x>0,此时f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x).故对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.-10-考点1考点2考点3考点4(2)由题意知函数的定义域为-11-考点1考点2考点3考点4思考判断函数的奇偶性要注意什么?解题心得判断函数的奇偶性要注意两点:(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.(2)判断关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.-11-考点1考点2考点3考点4思考判断函数的奇偶性要注意什-12-考点1考点2考点3考点4对点训练1判断下列函数的奇偶性:-12-考点1考点2考点3考点4对点训练1判断下列函数的奇偶-13-考点1考点2考点3考点4解

(1)由题意知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.因为f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.(2)由

可得函数的定义域为(-1,1].因为函数的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.(3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.当x>0时,-x<0,此时f(x)=-x2+x,f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x);当x<0时,-x>0,此时f(x)=x2+x,f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x).故对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)为奇函数.-13-考点1考点2考点3考点4解(1)由题意知函数f(x-14-考点1考点2考点3考点4函数奇偶性的应用

例2(1)(2018河北衡水中学九模,4)已知f(x)满足:对任意x∈R,f(-x)+f(x)=0,且x≥0时,f(x)=ex+m(m为常数),则f(-ln5)的值为(

)A.4 B.-4 C.6 D.-6(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是

(

)A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2)C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)(3)已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且

,则函数f(x)的解析式为

;

AC-14-考点1考点2考点3考点4函数奇偶性的应用(2)已知f-15-考点1考点2考点3考点4解析:(1)因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1,则f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.(2)因为f(x)是奇函数,所以当x<0时,f(x)=-x2+2x.作出函数f(x)的大致图像如图中实线所示,结合图像可知f(x)是R上的增加的,由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,解得-2<a<1.-15-考点1考点2考点3考点4解析:(1)因为f(x)为R-16-考点1考点2考点3考点4思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用?解题心得1.函数奇偶性的应用主要有:利用函数的奇偶性求函数解析式;利用函数的奇偶性研究函数的单调性;利用函数的奇偶性解不等式;利用函数的奇偶性求最值等.2.已知函数的奇偶性求函数的解析式,往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式.-16-考点1考点2考点3考点4思考函数的奇偶性有哪几个方面-17-考点1考点2考点3考点4对点训练2(1)(2018河北衡水中学三模,7)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+2017+a(a为常数),则f(-1)=(

)A.3 B.1 C.-3 D.-1(2)若f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x3-8,则{x|f(x-2)>0}=(

)A.{x|-2<x<0或x>2} B.{x|0<x<2或x>4}C.{x|x<0或2<x<4} D.{x|x<-2或x>2}(3)(2018湖南衡阳二模,13)已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=2x+x,则f(log25)=

.

CB-17-考点1考点2考点3考点4对点训练2(1)(2018河-18-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由题意得f(0)=0,得20+0+2

017+a=0,∴a=-2

018,所以f(-1)=-f(1)=-3.(3)由函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=2x+x,可得f(-x)+g(-x)=2-x-x,即f(x)-g(x)=2-x-x,(2)当x=2时,有f(2)=0,又因为f(x)为奇函数,所以f(-2)=0,作出f(x)的大致图像,由图像可知,当-2<x-2<0或x-2>2,即0<x<2或x>4时,有f(x-2)>0,选B项.-18-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由题意得f(0-19-考点1考点2考点3考点4函数周期性的应用例3(1)(2018全国2,理12)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(

)A.-50 B.0 C.2 D.50(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=

.若当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=

.

C2.5-19-考点1考点2考点3考点4函数周期性的应用C2.5-20-考点1考点2考点3考点4解析:(1)∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).∴f(x)的周期为4.∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.∴函数f(x)的周期为4.∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).∵2≤2.5≤3,∴f(2.5)=2.5.∴f(105.5)=2.5.-20-考点1考点2考点3考点4解析:(1)∵f(-x)=-21-考点1考点2考点3考点4解题心得利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,再进行求解.-21-考点1考点2考点3考点4解题心得利用函数的周期性,可-22-考点1考点2考点3考点4A.-1 B.0 C.1 D.2(2)(2018山东济宁一模,8)已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图像关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则f(2017)+f(2018)的值为

(

)A.-2 B.-1 C.0 D.1BD-22-考点1考点2考点3考点4A.-1 B.0 C.1 D-23-考点1考点2考点3考点4解析:(1)∵函数f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,当x>0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),f(x+1)=f(x)-f(x-1),∴f(x+1)=-f(x-2),∴f(x+3)=-f(x),∴f(x+6)=f(x),∴f(x)是周期为6的周期函数,∴f(2

019)=f(336×6+3)=f(3)=f(2)-f(1)=(f(1)-f(0))-f(1)=-f(0)=0.(2)由题意,f(-x)=-f(x),f(x)=f(2-x)=-f(-x),∴f(4-x)=-f(2-x)=f(-x),∴f(x)的周期为4.∵当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,∴f(2

017)+f(2

018)=f(1)+f(2)=f(1)+f(0)=1+0=1.-23-考点1考点2考点3考点4解析:(1)∵函数f(x)-24-考点1考点2考点3考点4函数性质的综合应用例4(2018河北石家庄期末,8)已知奇函数f(x),当x>0时单调递增,且f(1)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围为(

)A.{x|0<x<1或x>2} B.{x|x<0或x>2}C.{x|x<0或x>3} D.{x|x<-1或x>1}D解析:∵f(x)为奇函数,x>0时递增,∴x<0时,也递增,由f(1)=0,得f(-1)=0,解得0<x<1,∴x的取值范围为0<x<1或x>2,故选A.-24-考点1考点2考点3考点4函数性质的综合应用D解析:∵-25-考点1考点2考点3考点4思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性综合问题的策略有哪些?解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略:(1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.-25-考点1考点2考点3考点4思考解有关函数的单调性、奇偶-26-考点1考点2考点3考点4对点训练4(1)(2019河北邢台月考四,5)设函数f(x)=e-x-ex-5x,则不等式f(x2)+f(-x-6)<0的解集为(

)A.(-3,2) B.(-∞,-3)∪(2,+∞)C.(-2,3) D.(-∞,-2)∪(3,+∞)(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且f(x)在区间[0,2]上是增加的,则(

)A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)DD-26-考点1考点2考点3考点4对点训练4(1)(2019河-27-考点1考点2考点3考点4解析:(1)∵f(x)是奇函数,∴f(x2)+f(-x-6)<0⇔f(x2)<-f(-x-6)=f(x+6).又f(x)是减函数,∴f(x2)<f(x+6)⇔x2>x+6,故不等式f(x2)+f(-x-6)<0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞).(2)因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因为f(x)在区间[0,2]上是增加的,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在区间[-2,2]上是增加的,所以f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).-27-考点1考点2考点3考点4解析:(1)∵f(x)是奇函-28-考点1考点2考点3考点41.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个关键点:(1)“定义域关于原点对称”是“函数f(x)为奇函数或偶函数”的必要不充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.2.奇函数、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数进行化简,或应用定义的等价形式:3.函数的奇偶性、对称性、周期性,知二断一.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0;偶函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.-28-考点1考点2考点3考点41.正确理解奇函数和偶函数的-29-考点1考点2考点3考点44.求函数周期的方法

-29-考点1考点2考点3考点44.求函数周期的方法-30-考点1考点2考点3考点41.判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域.2.函数f(x)是奇函数,必须满足对定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x),而不能说存在x0,使f(-x0)=-f(x0).同样偶函数也是如此.-30-考点1考点2考点3考点41.判断函数的奇偶性不可忽视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