四种常见的几何关系的探究课件

双休作业(四)2四种常见的几何关系的探究第12章

全等三角形双休作业(四)第12章全等三角形123412341．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，BM＝AC，CN＝AB.求证AM⊥AN.1题型位置关系1．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，BM＝AC，CN＝AB证明：如图所示．

∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠1＋∠BAC＝90°，∠2＋∠BAC＝90°.∴∠1＝∠2.证明：如图所示．又∵BM＝CA，AB＝NC，∴△ABM≌△NCA(SAS)．∴∠3＝∠N.∵∠N＋∠4＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，即∠MAN＝90°.∴AM⊥AN.返回又∵BM＝CA，AB＝NC，返回2．如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD.求证∠C＝∠A.2题型相等关系2．如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD.2题型返回证明：连接DB.在△BCD和△BAD中，∴△BCD≌△BAD(SSS)．∴∠C＝∠A.返回证明：连接DB.∴△BCD≌△BAD(SSS)．3．如图，∠BCA＝α，CA＝CB，C，E，F分别是直线CD上的三点，且∠BEC＝∠CFA＝α.请提出对3题型和差关系EF，BE，AF三条线段之间数量关系的合理猜想，并证明．3．如图，∠BCA＝α，CA＝CB，C，E，F分别是直线CD解：猜想：EF＝BE＋AF.证明：∵∠BCE＋∠CBE＋∠BEC＝180°，∠BCE＋∠ACF＋∠BCA＝180°，∠BCA＝α＝∠BEC，∴∠CBE＝∠ACF.又∵∠BEC＝∠CFA＝α，CB＝AC，∴△BEC≌△CFA(AAS)．∴BE＝CF，EC＝FA.∴EF＝CF＋EC＝BE＋AF.返回解：猜想：EF＝BE＋AF.返回4．(中考•贵阳)(1)【阅读理解】如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．4题型不等关系4．(中考•贵阳)(1)【阅读理解】4题型不等关系解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是____________．2<AD<8解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接(2)【问题解决】如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.求证BE＋CF＞EF.(2)【问题解决】证法一：如图①，延长FD至点G，使DG＝DF，连接BG，EG.∵点D是BC的中点，∴DB＝DC.又∵∠BDG＝∠CDF，DG＝DF，∴△BDG≌△CDF(SAS)．∴BG＝CF.证法一：如图①，延长FD至点G，使DG＝DF，连接BG，EG∵ED⊥FD，∴∠EDF＝∠EDG＝90°.又∵ED＝ED，FD＝GD，∴△EDF≌△EDG(SAS)．∴EF＝EG.在△BEG中，∵BE＋BG>EG，∴BE＋CF>EF.∵ED⊥FD，∴∠EDF＝∠EDG＝90°.证法二：如图②，作∠EDG＝∠EDB，在DG边上截取DG＝DB，连接EG，FG.∵DE＝DE，∠EDG＝∠EDB，DG＝DB，∴△EDG≌△EDB(SAS)．∴BE＝EG.∵点D是BC的中点，∴DC＝DB.∴DG＝DC.证法二：如图②，作∠EDG＝∠EDB，在DG边上截取DG＝D∵ED⊥FD，∴∠EDF＝90°.∴∠EDG＋∠FDG＝90°，∠EDB＋∠FDC＝90°.∴∠FDG＝∠FDC.又∵DF＝DF，∴△FDG≌△FDC(SAS)．∴FG＝FC.在△EFG中，∵EG＋FG>EF，∴BE＋CF>EF.∵ED⊥FD，∴∠EDF＝90°.(3)【问题拓展】如图③，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD,∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF.探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．(3)【问题拓展】两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF解：BE＋DF＝EF.理由如下：方法一：如图①，延长AB至点G，使BG＝DF.∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠CBG＝180°，∴∠CBG＝∠D.解：BE＋DF＝EF.理由如下：又∵CB＝CD，∴△CBG≌△CDF(SAS)．∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF.∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠DCF＋∠BCE＝70°.∴∠BCE＋∠BCG＝70°.∴∠ECG＝∠ECF＝70°.又∵CB＝CD，又∵CE＝CE，CG＝CF，∴△ECG≌△ECF(SAS)．∴EF＝EG.∵BE＋BG＝EG，∴BE＋DF＝EF.又∵CE＝CE，CG＝CF，方法二：如图②，作∠ECG＝∠ECB，在CG边上截取CG＝CB，连接EG，FG.∵CE＝CE，∠ECG＝∠ECB，CG＝CB，∴△ECG≌△ECB(SAS)．∴BE＝EG，∠CGE＝∠B.∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，方法二：如图②，作∠ECG＝∠ECB，在CG边上截取CG＝C∴∠ECG＋∠FCG＝70°，∠BCE＋∠FCD＝70°.∴∠FCG＝∠FCD.∵CF＝CF，CG＝CB＝CD，∴△FCG≌△FCD(SAS)