吉林省长春市力旺实验中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（含解析）

吉林省长春市力旺实验中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷一、选择题（每题3分，共24分）1．（3分）分式有意义的条件是（）A．x≠1 B．x＝1 C．x≠0 D．x＝02．（3分）下列各点中，位于第二象限的是（）A．（﹣3，2） B．（2，5） C．（5，﹣2） D．（﹣5，﹣5）3．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，下列可添加的条件不正确的是（）A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C4．（3分）一元二次方程（x+2）（x﹣4）＝x﹣4的解是（）A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝﹣1，x＝4 D．x＝﹣2，x＝45．（3分）若直线l与直线y＝2x﹣3关于y轴对称，则直线l的解析式是（）A．y＝﹣2x+3 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝2x+3 D．y＝2x﹣36．（3分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则（）A． B． C． D．7．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，则EF的长度最小为多少（）A． B． C．5 D．78．（3分）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（）A．5 B．12 C．﹣5 D．﹣12二、填空题（每题3分，共18分）9．（3分）关于x的方程x2﹣5x+1＝0的根的判别式的值为．10．（3分）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，∠A＝120°，则A．11．（3分）当﹣2＜x≤0时，y与x的函数解析式为，则y的范围是．12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的面积为．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，CE＝10，则AG＝．14．（3分）如图，点A（2，2）在双曲线y＝（x＞0）上，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是．三、解答题（共78分）15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝．16．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，C为圆心，，长为半径画弧，连接BP，CP．（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；（2）当▱ABCD的对角线满足时，四边形BPCO是菱形．17．（6分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，B两种型号充电桩的单价各是多少？18．（7分）在如图所示的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，B，C，D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按要求画图，要求保留必要的作图痕迹（1）在图①中，以线段AD为边画一个△ADE，使它与△ABC相似；（2）如图②，在线段AB上找一个点P，使BP＝3；（3）如图③，在线段AC上找一点E，连接BE，使△ABE∽△CDE．19．（7分）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），点C在第四象限，BC∥x轴．（1）求k的值；（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标及菱形的面积．20．（7分）如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB＝30米，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，求△APQ的面积．21．（8分）A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行1，l2表示两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系（1）表示乙离A地的距离与时间关系的图象是（填l1或l2）；甲的速度是km/h，乙的速度是km/h；（2）甲出发多少小时两人恰好相距5km？22．（9分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点连线或平移的方法画出函数图象．结合上面经历的学习过程（1）当x＝1时，y＝0；当x＝3时；则a＝，b＝．（2）在（1）的条件下，①在给出的平面直角坐标系中画出该分段函数图象；②若该分段函数图象上有两点A（m，y1），B（4，y2），且y1＜y2，则m的取值范围；③直线y＝k与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是．23．（10分）阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，＝，AD与BE相交于点P，求的值．小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：的值为．参考小昊思考问题的方法，解决问题：（1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，且．求的值；（2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，且，直接写出的值为．24．（12分）如图①，在正方形ABCD中，AB＝4．点P从点D出发，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当点P不与点D、B重合时，连结PP'、P′Q、PQ．设点P的运动时间为t秒．​（1）当PQ∥AB时，求t的值；（2）当点P′与点Q重合时，求t的值；（3）当P′Q＝1时，t的值为；（4）如图②，点E为PQ中点，连接P′E，则t的值为．答案解析一、选择题（每题3分，共24分）1．（3分）分式有意义的条件是（）A．x≠1 B．x＝1 C．x≠0 D．x＝0【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案．【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，解得：x≠4，故选：A．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．2．（3分）下列各点中，位于第二象限的是（）A．（﹣3，2） B．（2，5） C．（5，﹣2） D．（﹣5，﹣5）【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．【解答】解：A、（﹣3，符合题意；B、（2，不符合题意；C、（3，不符合题意；D、（﹣5，不符合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了点的坐标，解题的关键是正确掌握各象限内点的坐标特点．3．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，下列可添加的条件不正确的是（）A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可．【解答】解：A、当AB∥CD，四边形ABCD可能为等腰梯形；B、AB∥CD，一组对边分别平行且相等；C、AB∥CD，两组对边分别平行；D、∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠C+∠D＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形；故选：A．【点评】本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．4．（3分）一元二次方程（x+2）（x﹣4）＝x﹣4的解是（）A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝﹣1，x＝4 D．x＝﹣2，x＝4【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：∵（x+2）（x﹣4）＝x﹣4，∴（x+2）（x﹣4）﹣（x﹣5）＝0，则（x﹣4）（x+7）＝0，∴x﹣4＝7或x+1＝0，解得x5＝4，x2＝﹣2，故选：C．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5．（3分）若直线l与直线y＝2x﹣3关于y轴对称，则直线l的解析式是（）A．y＝﹣2x+3 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝2x+3 D．y＝2x﹣3【分析】利用关于y轴对称的点的坐标为横坐标互为相反数，纵坐标不变解答即可．【解答】解：与直线y＝2x﹣3关于y轴对称的点的坐标为横坐标互为相反数，纵坐标不变，则y＝3（﹣x）﹣3，即y＝﹣2x﹣3．所以直线l的解析式为：y＝﹣2x﹣3．故选：B．【点评】此题主要考查了一次函数的图象与几何变换，利用轴对称变换的特点解答是解题关键．6．（3分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则（）A． B． C． D．【分析】由DE∥BC，利用平行线分线段成比例，可得出＝，再代入AD＝2，BD＝3，AB＝AD+BD，即可求出结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．7．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，则EF的长度最小为多少（）A． B． C．5 D．7【分析】连接AP、EF，依据PE⊥AB，PF⊥AD，∠A＝90°，可得四边形AEPF为矩形，借助矩形的对角线相等，将求EF的最小值转化成AP的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求Rt△BAD斜边上的高，利用面积法即可得解．【解答】解：如图，连接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴∠AEP＝∠AFP＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°．∴四边形AEPF为矩形．∴AP＝EF．∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值．∵点P从B点沿着BD往D点移动，∴当AP⊥BD时，AP取最小值．下面求此时AP的值，在Rt△BAD中，∵∠BAD＝90°，AB＝6，∴BD＝＝＝＝10．∵S△ABD＝＝，∴AP＝＝＝．∴EF的长度最小为：．故本题选B．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．8．（3分）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（）A．5 B．12 C．﹣5 D．﹣12【分析】直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出k的取值范围，进而得出答案．【解答】解：如图所示：A（﹣3，3），﹣7）都不在反比例函数图象上，则﹣3×3＜k＜8×（﹣2），即﹣9＜k＜﹣7，故k的值可能是﹣5．故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，正确得出k的取值范围是解题关键．二、填空题（每题3分，共18分）9．（3分）关于x的方程x2﹣5x+1＝0的根的判别式的值为21．【分析】直接计算b2﹣4ac即可．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣5，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×7×1＝21．故答案为：21．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式为Δ＝b2﹣4ac．10．（3分）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，∠A＝120°，则A2．【分析】连接AC，证四边形ABCD是菱形，得∠BAC＝∠BAD＝60°，再证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝2，即可得出结论．【解答】解：如图，连接AC，∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，∴AB＝BC，四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠BAD＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝3，即A，C两点间的距离为2，故答案为：2．【点评】本题考查了菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．11．（3分）当﹣2＜x≤0时，y与x的函数解析式为，则y的范围是0≤y＜3．【分析】代入x＝﹣2及x＝0，求出y值，进而可得出y的范围．【解答】解：当x＝﹣2时，y＝﹣；当x＝0时，y＝﹣，∴当﹣2＜x≤0时，y的范围是3≤y＜3．故答案为：0≤y＜6．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键．12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的面积为12．【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再根据平移的性质可得：DF∥EC，DF＝EC，从而可得四边形DFCE是平行四边形，然后利用平行线分线段成比例可得点D是AC的中点，从而可得DF是△ACB的中位线，进而可得DF＝BC＝3，最后利用平行四边形的面积公式进行计算，即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，∴AC＝＝＝8，由平移得：DF∥EC，DF＝EC，∴四边形DFCE是平行四边形，∵点F是AB中点，∴点D是AC的中点，∴DF是△ACB的中位线，∴DF＝BC＝3，∵点D是AC的中点，∴DC＝AC＝4，∴四边形CFDE的面积＝DF•CD＝7×4＝12，故答案为：12．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，平移的性质，熟练掌握三角形的中位线定理，以及平移的性质是解题的关键．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，CE＝10，则AG＝3．【分析】由直角三角形的性质可求BF＝5，由勾股定理可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAC＝90°，∵CE＝10，F为CE的中点，∴BF＝CE＝3，∴BF＝BG＝5，∴AG＝＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．14．（3分）如图，点A（2，2）在双曲线y＝（x＞0）上，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是（，2）．【分析】由题意，点A（2，2），则∠AOx＝45°，同时可得双曲线解析式，再作CH⊥x轴，作BG⊥CH，可得∠CBG＝45°，又BC＝2，再结合双曲线解析式可以得解．【解答】解：∵点A（2，2）在双曲线y＝，∴5＝．∴k＝4．∴双曲线解析式为y＝．如图，作AD⊥x轴，作BG⊥CH、H、G．∵A（2，2），∴AD＝OD．∴∠AOD＝45°．∴∠AOB＝45°．∵OA∥BC，∴∠CBO＝180°﹣45°＝135°．∴∠CBG＝135°﹣90°＝45°．∴∠CBG＝∠BCG．∵BC＝6，∴BG＝CG＝．∴C点的横坐标为．又C在双曲线y＝上，∴C（，2）．故答案为：（，2）．【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，需要熟练掌握并理解．三、解答题（共78分）15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝．【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝，当时，原式＝．【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．16．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，C为圆心，，长为半径画弧，连接BP，CP．（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；（2）当▱ABCD的对角线满足AC＝BD时，四边形BPCO是菱形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，证出OB＝CP，BP＝OC，则可得出结论；（2）由菱形的判定可得出结论．【解答】解：（1）四边形BPCO为平行四边形．理由：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OC＝OA＝ACBD，∵以点B，C为圆心，，BD长为半径画弧，∴OB＝CP，BP＝OC，∴四边形BPCO为平行四边形；（2）当AC＝BD时，四边形BPCO为菱形．∵AC＝BD，OB＝，OC＝，∴OB＝OC，∵四边形BPCO为平行四边形，∴四边形BPCO为菱形．故答案为：AC＝BD．【点评】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．17．（6分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，B两种型号充电桩的单价各是多少？【分析】设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，根据“用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可．【解答】解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，根据题意得＝，解得x＝0.4，经检验x＝0.9是原方程的解，x+2.3＝1.2．答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为4.2万元．【点评】本题考查了分式的应用解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．18．（7分）在如图所示的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，B，C，D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按要求画图，要求保留必要的作图痕迹（1）在图①中，以线段AD为边画一个△ADE，使它与△ABC相似；（2）如图②，在线段AB上找一个点P，使BP＝3；（3）如图③，在线段AC上找一点E，连接BE，使△ABE∽△CDE．【分析】（1）根据相似三角形的性质得出，找到格点E，，连接DE，即可求解；（2）勾股定理求得AB＝5，取格点M，N，AM＝2，BN＝3，则△AMP∽△BNP，根据相似比为，即可得出BP＝3（3）连接QD交AC于点E，连接BE，DE，即可求解．【解答】解：（1）如图①所示，∵，，∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）如图②所示，∵AM∥BN，∴△AMP∽△BNP，∴，∵，∴BP＝6；（3）如图③所示，连接QD交AC于点E，DE，∵QE＝BE，∴∠EBQ＝∠EQB，∵QB∥CD，∴∠Q＝∠D＝∠EBQ，又∠C＝∠EAB＝90°，∴△ABE∽△CDE．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理与网格问题，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．19．（7分）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），点C在第四象限，BC∥x轴．（1）求k的值；（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标及菱形的面积．【分析】（1）根据点A（1，a）在y＝2x上，可以求得点A的坐标，再根据反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），即可求得k的值；（2）因为B是反比例函数y＝和正比例函数y＝2x的交点，列方程可得B的坐标，根据菱形的性质可确定点D的坐标；然后利用菱形的面积计算公式解答即可．【解答】解：（1）∵点A（1，a）在直线y＝2x上，∴a＝2×1＝2，即点A的坐标为（6，2），∵点A（1，5）是反比例函数y＝，∴k＝1×2＝8，即k的值是2；（2）由题意得：＝4x，解得：x＝1或﹣1，经检验x＝6或﹣1是原方程的解，∴B（﹣1，﹣4），∵点A（1，2），∴AB＝＝7，∵菱形ABCD是以AB、BC为边，∴AD＝AB＝2，∴D（1+2，2）．∴菱形的面积＝2×（2+2）＝2．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．（7分）如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB＝30米，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，求△APQ的面积．【分析】由DC∥AP，得到＝，代入数据求得AP＝90，于是得到结论．【解答】解：AQ＝AD+DQ＝20+10＝30，∵矩形ABCD，∴CD＝AB，∵DC∥AP，∴＝，∴＝，∴AP＝90，∴S△APQ＝AQ•AP＝1350米3；【点评】本题考查了平行线分线段成比例，求三角形的面积，一元二次方程的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．21．（8分）A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行1，l2表示两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系（1）表示乙离A地的距离与时间关系的图象是l2（填l1或l2）；甲的速度是30km/h，乙的速度是20km/h；（2）甲出发多少小时两人恰好相距5km？【分析】（1）观察图象即可知道乙的函数图象为l2，根据速度＝，利用图中信息即可解决问题；（2）分相遇前或相遇后两种情形分别列出方程即可解决问题；【解答】解：（1）由题意可知，乙的函数图象是l2，甲的速度是＝30km/h＝20km/h．故答案为l2，30，20．（2）设甲出发x小时两人恰好相距5km．由题意30x+20（x﹣6.5）+5＝60或30x+20（x﹣5.5）﹣5＝60解得x＝4.3或1.4，答：甲出发1.3小时或8.5小时两人恰好相距5km．【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活应用速度、路程、时间之间的关系解决问题．22．（9分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点连线或平移的方法画出函数图象．结合上面经历的学习过程（1）当x＝1时，y＝0；当x＝3时；则a＝3，b＝6．（2）在（1）的条件下，①在给出的平面直角坐标系中画出该分段函数图象；②若该分段函数图象上有两点A（m，y1），B（4，y2），且y1＜y2，则m的取值范围；③直线y＝k与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是0＜k＜2．【分析】（1）将x＝1，y＝0；x＝3，y＝2分别代入函数y＝ax﹣3和y＝得关于a和b的二元一次方程组，解方程组得a和b的值；（2）①根据解析式的特点画出函数的图象即可；（②由①中函数图象可直接得出的取值范围．③由①中函数图象可直接得出的取值范围．【解答】解：（1）把x＝1，y＝0代入y＝ax﹣5得，∴a＝3，把x＝3，y＝7代入y＝得；故答案为：3，6；（2）①∵y＝，故可作图如下：②∵B（4，y6）是函数图象上的点，∴y2＝1.6，∵y1＜y2，∴y7＜1.5，由函数图象知，当y＜7.5时，∵A（m，y1）在函数图象上，∴m＜6.5，故m的取值范围为：m＜1.7；③直线y＝k与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是0＜k＜5，故答案为：0＜k＜3；【点评】本题考查了反比例函数的性质，一次函数性质与一元一次不等式及函数的性质与图象，数形结合是解题的关键．23．（10分）阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，＝，AD与BE相交于点P，求的值．小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：的值为．参考小昊思考问题的方法，解决问题：（1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，且．求的值；（2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，且，直接写出的值为．【分析】如图2，证明△AEP≌△CEF，可得AP＝FC，再根据PD∥FC，得△BPD∽△BFC，列比例式可得结论；（1）如图3，作辅助线，构建△AEF，根据AF∥BC，证明△AFE∽△CBE和△AFP∽△DBP，列比例式可得：＝＝1；（2）如图4，作辅助线，构建△EFC，根据CF∥AP证明△BCF∽△BDP和△ECF∽△EAP，可得结论．【解答】解：如图2，过点C作CF∥AD，∴∠F＝∠APF，∠FCE＝∠EAP，∵BE为AC边的中线，∴AE＝CE，∴△AEP≌△CEF（AAS），∴AP＝FC，∵PD∥FC，∴△BPD∽△BFC，∴＝，∴＝，故答案为：；（1）如图3，过A作AF∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴，∵，∴，设AF＝3x，BC＝2x，∵，∴BD＝3x，∴AF＝BD＝8x，∵AF∥BD，∴△AFP∽△DBP，∴＝＝1；（2）如图4，过C作CF∥AP交PB于F，∴△BCF∽△BDP，∴，设CF＝2x，PD＝3x，∵CF∥AP，∴△ECF∽△EAP，∴，∴AP＝8x，AD＝4x，∴．故答案为：．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，三角形相似的性质和判定，本题运用了类比的思想，作平行线，构建三角形，证明相似可解决问题．24．（12分）如图①，在正方形ABCD中，AB＝4．点P从点D出发，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当点P不与点D、B重合时，连结PP'、P′Q、PQ．设点P的运动时间为t秒．​（1）当PQ∥AB时，求t的值；（2）当点P′与点Q重合时，求t的值；（3）当P′Q＝1时，t的值为或；（4）如图②，点E为PQ中点，连接P′E，则t的值为1或3.2．【分析】（1）根据如果PQ∥AB时，由正方形的性质可得AP∥BQ，此时只需满足AP＝BQ，则四边形PABQ是平行四边形，所以结合已知条件得到4﹣2t＝t，即可解决；（2）P′与Q重合时，只能在BC边上，根据正方形的性质，此时满足P点行程与Q点行程之和等于8由图知：AD+CP′＝2t，BQ＝t，则AD+CP′+BQ＝8，建立方程即可解决；（3）P′Q＝1，分两种情况：一是P′在CD边上，满足0＜t＜2时，根据Rt△CP′Q中由勾股定理，建立方程即可解决，但此时不存在；再就是P′在BC边上时，而此时又分两种情况：①P′在Q上方时，此时满足2＜t＜，②P′在Q下方时，此时满足＜t＜4，分别根据线段间的和差关系建立方程，即可解决．【解答】解：（1）由已知可得ts时，DP＝2t，∵AD＝4，∴AP＝AB﹣DP＝5﹣2t，∵在正方形ABCD中，∴AD∥CB，即AP∥BQ，当PQ∥AB时，∴四边形APQB是平行四边形，∴AP＝BQ，∴4﹣2t＝t，解得：t＝s，当PQ∥AB时，t＝