山东省青岛市市南区青岛大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（含解析）

山东省青岛大学附中2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1．（3分）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）据交通运输部发布消息，某年春节期间，全国共发送旅客29.06亿人次，将29.06亿这个数据用科学记数法可以表示为（）A．29.06×108 B．2.906×108 C．29.06×109 D．2.906×1093．（3分）下列运算正确的是（）A．3a2+5a2＝8a4 B．（﹣a3）4÷（﹣a4）3＝1 C．（﹣2a2）3﹣（﹣a4）（3a）2＝﹣17a6 D．（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b34．（3分）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥15．（3分）如图，将△ABC向下平移2个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，点A的对应点A′的坐标是（）A．（2，4） B．（1，4） C．（1，3+1） D．（﹣1，﹣2）6．（3分）如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，交AB于G，连接EF，AC＝6，则AB的长为（）A．10 B．9 C．8 D．67．（3分）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图（）A．3cm B．6cm C．cm D．cm8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，BD＝12，则EF的最小值为（）A．8 B．6 C．4.8 D．2.4二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．（3分）（1）计算：（﹣1）2023+（﹣）﹣1﹣×＝；（2）分解因式：3m2﹣6m+3＝．10．（3分）为响应“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，则x的值为．11．（3分）如图所示，若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝620°，则∠G+∠H＝．12．（3分）一次函数y＝﹣3x+b和y＝kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，4），则不等式（3+k）．13．（3分）如图，在四边形ABCD中∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，若∠BAD＝56°，则∠BED的度数为．14．（3分）对于正数x，规定，例如，则．三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.15．（4分）尺规作图：已知线段a，b，求作菱形ABCD，使菱形边长等于a结论：四、解答题：（本题满分74分，共有9道小题）16．（6分）计算：（1）化简：；（2）解不等式组：．17．（6分）近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）根据以上信息，整理分析数据如下：平均月收入/千元中位数/千元众数/千元方差/千元2“美团”①661.2“滴滴”6②4③（1）完成表格填空；（2）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．18．（8分）小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：类别次数购买A商品数量（件）购买B商品数量（件）消费金额（元）第一次45320第二次26300第三次57258解答下列问题：（1）第次购买有折扣；（2）求A、B两种商品的原价；（3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；（4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元19．（8分）“节能减排，绿色出行”，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车车行经营的A型自行车去年销售总额为60000元，那么今年的销售总量需要比去年增加20%．请解答以下问题：（1）A型自行车今年每辆售价为多少？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共80辆，且B型进货数量不超过A型车数量的3倍．A型车和B型车每辆的进价分别为400元和500元，B型车每辆的售价为700元20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数，与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx的图象交点为C（3，4）．（1）请直接写出k、b的值；k＝，b＝．（2）若D线段OC上的动点，过D作DE∥y轴交AC于点E．①设D点的横坐标为x，线段DE的长为y，则y与x的函数关系式为；②若△AOD为等腰三角形，请求出点D的坐标．（3）平面内是否存在一点P，使以O、A、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由．21．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，连接CH与DH．（1）求证：△BCE≌△HOE；（2）当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由．22．（8分）甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶甲同学到达山顶休息1h后再沿原路下山，他们离山脚的距离S（km）（h）变化的图象如图所示，根据图象中的有关信息回答下列问题：（1）甲同学上山过程中S甲与t的函数解析式为；点D的坐标为．（2）若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75km．①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；②相遇后甲、乙各自继续下山和上山，求当乙到达山顶时，甲与乙的距离是多少千米．23．（10分）【问题提出】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m）【问题探究】为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，最后得出一般性的结论探究一：如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择2个连续的自然数如图1，当m＝3，n＝2时；如图2，当m＝4，n＝2时，2；2，3；3，4这3种不同的选择方法；如图3，当m＝5，n＝2时种不同的选择方法；……由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有种不同的选择方法．探究二：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择3个（n≤100）个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空123…93949596979899100从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有种不同的选择方法；从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有种不同的选择方法；……从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有种不同的选择方法；……由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100），有种不同的选择方法．【问题解决】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m）种不同的选择方法．【实际应用】我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题．（1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上种不同的选择．（2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排3号到15号的电影票让他们选择，则一共有种不同的选择方法．【拓展延伸】如图4，将一个2×2的图案放置在8×6的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形种不同的放置方法．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，B分别在x轴与y轴上，已知OA＝6，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，运动时间为t秒．（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；（2）求△OPD的面积S关于t的函数解析式；（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在答案解析一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1．（3分）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的定义（绕一个点旋转180°能够与自身重合的图形）判断即可．【解答】解：选项A、C、D中的图形都能找到一个点，所以是中心对称图形．选项B中的图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合．故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．（3分）据交通运输部发布消息，某年春节期间，全国共发送旅客29.06亿人次，将29.06亿这个数据用科学记数法可以表示为（）A．29.06×108 B．2.906×108 C．29.06×109 D．2.906×109【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．【解答】解：29.06亿＝2906000000＝2.906×109，故选：D．【点评】本题考查科学记数法，熟练掌握其定义是解题的关键．3．（3分）下列运算正确的是（）A．3a2+5a2＝8a4 B．（﹣a3）4÷（﹣a4）3＝1 C．（﹣2a2）3﹣（﹣a4）（3a）2＝﹣17a6 D．（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3【分析】利用整式的混合运算法则计算并判断．【解答】解：3a2+4a2＝8a3，A选项错误；（﹣a3）4÷（﹣a2）3＝﹣1，B选项错误；（﹣5a2）3﹣（﹣a5）（3a）2＝﹣5a6+9a8＝a6，C选项错误；（a﹣b）（a2+ab+b4）＝a3﹣b3，D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．4．（3分）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥1【分析】根据解不等式，可得每个不等式的解集，再根据每个不等式的解集，可得不等式组的解集，根据不等式的解集，可得答案．【解答】解：∵不等式组的解集是x＞2，解不等式①得x＞8，解不等式②得x＞m+1，∵不等式组的解集是x＞2，∴m+5≤2，m≤1，故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5．（3分）如图，将△ABC向下平移2个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，点A的对应点A′的坐标是（）A．（2，4） B．（1，4） C．（1，3+1） D．（﹣1，﹣2）【分析】根据平移和旋转的性质，将△ABC向下平移2个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，即可得点A的对应点A′的坐标．【解答】解：如图，则△A'B'C'为所求，∴点A的对应点A′的坐标是（2，4），故选：A．【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．6．（3分）如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，交AB于G，连接EF，AC＝6，则AB的长为（）A．10 B．9 C．8 D．6【分析】首先证明△ACG是等腰三角形，则AG＝AC＝6，FG＝CF，则EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．【解答】解：∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，∴△ACG是等腰三角形，∴AG＝AC，∵AC＝6，∴AG＝AC＝6，FG＝CF，∵AE为△ABC的中线，∴EF是△BCG的中位线，∴BG＝7EF＝2，∴AB＝AG+BG＝8，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明FG＝CF是关键．7．（3分）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图（）A．3cm B．6cm C．cm D．cm【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．【解答】解：过点C作CD⊥AD，∴CD＝3cm，在直角三角形ADC中，∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6cm，又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB＝AC＝5cm，∴BC2＝AB2+AC5＝62+52＝72，∴BC＝6，故选：D．【点评】此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先求得直角边，再由勾股定理求出最大边．8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，BD＝12，则EF的最小值为（）A．8 B．6 C．4.8 D．2.4【分析】连接OP，作OH⊥AB于点H，由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝8，OB＝OD＝BD＝6，由勾股定理得AB＝＝10，由×10OH＝×8×6＝S△AOB，求得OH＝4.8，再证明四边形PEOF是矩形，则EF＝OP，因为OP≥OH，所以EF≥4.8，则EF的最小值为4.8，于是得到问题的答案．【解答】解：连接OP，作OH⊥AB于点H，∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，∴AC⊥BD，OA＝OC＝×16＝8BD＝，∴∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝10，∵AB•OH＝△AOB，∴×10OH＝，解得OH＝6.8，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°，∴四边形PEOF是矩形，∴EF＝OP，∴OP≥OH，∴EF≥4.5，∴EF的最小值为4.8，故选：C．【点评】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度、垂线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．（3分）（1）计算：（﹣1）2023+（﹣）﹣1﹣×＝﹣4﹣2；（2）分解因式：3m2﹣6m+3＝3（m﹣1）2．【分析】（1）原式利用乘方的意义，负整数指数幂法则，以及二次根式乘法法则计算即可得到结果；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣3﹣＝﹣1﹣7﹣2＝﹣7﹣2；（2）原式＝7（m2﹣2m+4）＝3（m﹣1）6．故答案为：（1）﹣4﹣2；（2）3（m﹣1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，实数的运算，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（3分）为响应“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，则x的值为﹣＝．【分析】原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，原计划植300棵树可用时小时，实际用了小时，根据关键语句“结果提前20分钟完成任务”可得方程﹣＝．【解答】解：原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，由题意得：﹣＝，故答案为：﹣＝．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出原计划植300棵树所用时间与实际所用时间．11．（3分）如图所示，若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝620°，则∠G+∠H＝100°．【分析】根据多边形内角和定理可得∠MAF+∠MFA＝100°，从而可得答案．【解答】解：连接AF，如图：∵六边形ABCDEF的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，∠MAB+∠B+∠C+∠D+∠E+∠MFE＝620°，∴∠MAF+∠MFA＝720°﹣620°＝100°，∴∠AMF＝180°﹣（∠MAF+∠MFA）＝80°，∴∠GMH＝∠AMF＝80°，∴∠G+∠H＝100°，故答案为：100°．【点评】本题考查多边形内角和，解题的关键是求出∠MAF+∠MFA＝100°．12．（3分）一次函数y＝﹣3x+b和y＝kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，4），则不等式（3+k）x≥3．【分析】由于不等式（3+k）x≥b﹣1就是不等式kx+1≥﹣3x+b，观察图象，直线y＝kx+1落在直线y＝﹣3x+b上方的部分对应的x的取值范围即为所求．【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+b和y＝kx+1的图象交点为P（8，4），∴当x≥3时，kx+3≥﹣3x+b，∴不等式（3+k）x≥b﹣8的解集为x≥3．故答案为x≥3．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．13．（3分）如图，在四边形ABCD中∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，若∠BAD＝56°，则∠BED的度数为112°．【分析】由直角三角形斜边中线的性质得到DE＝BE＝AE，推出∠DAE＝∠ADE，∠BAE＝∠ABE，得到∠ADE+∠ABE＝∠BAD＝56°，由三角形外角的性质得到∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠BEC＝∠BAE+∠ABE，即可推出∠BED＝∠BAD+∠ADE+∠ABE＝56°+56°＝112°．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴DE＝ACAC，∴DE＝BE＝AE，∴∠DAE＝∠ADE，∠BAE＝∠ABE，∴∠ADE+∠ABE＝∠DAE+∠BAE＝∠BAD＝56°，∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠BEC＝∠BAE+∠ABE，∴∠DEC+∠BEC＝∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABE，∴∠BED＝∠BAD+∠ADE+∠ABE＝56°+56°＝112°．故答案为：112°．【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由直角三角形斜边中线的性质得到DE＝BE＝AE，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质即可求解．14．（3分）对于正数x，规定，例如，则．【分析】计算出f（2），f（），f（3），f（）的值，总结出其规律，再求所求的式子的值即可．【解答】解：∵f（2）＝，f（，f（3）＝）＝，…，∴f（2）+f（）＝，f（3）+f（＝8，∴f（x）+f（）＝1，∴＝[f（2021）+f（）]+[f（2020）+f（）]+f（1）＝1×（2021﹣5）+f（1）＝2020+＝．故答案为：．【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.15．（4分）尺规作图：已知线段a，b，求作菱形ABCD，使菱形边长等于a结论：【分析】①作直线m，在m上截取线段AC＝b；②作线段AC的垂直平分线EF，交线段AC于点O；③以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交直线EF于点B，D；④分别连接AB，BC，CD，DA；则四边形ABCD就是所求作的菱形．【解答】解：如图，四边形ABCD即为所求．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的作法、菱形的判定．四、解答题：（本题满分74分，共有9道小题）16．（6分）计算：（1）化简：；（2）解不等式组：．【分析】（1）先计算括号，再计算乘除即可；（2）分别求出两个不等式的解集，寻找公共部分即可．【解答】解：（1）原式＝×＝﹣；（2），由①可得﹣5+2x＜3x+6，∴x＞﹣12，由②可得3x﹣2x+2≥6，∴x≥4，∴不等式组的解集为：x≥5．【点评】本题考查分式的混合运算，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是掌握分式的混合运算法则，属于中考常考题型．17．（6分）近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）根据以上信息，整理分析数据如下：平均月收入/千元中位数/千元众数/千元方差/千元2“美团”①6661.2“滴滴”6②4.54③7.6（1）完成表格填空；（2）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．【分析】（1）利用平均数、中位数、众数及方差的定义分别计算后即可确定正确的答案；（2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．【解答】解：（1）①美团平均月收入：1.4+4.8+0.5+1+2.3＝6千元；②滴滴中位数为4.2千元；③方差：[5×（4﹣4）2+8×1+2×7+36]＝7.6千元7；故答案为：6，4.5；（2）选美团，因为平均数一样、众数美团大于滴滴，更稳定．【点评】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是能够了解有关的计算公式，难度不大．18．（8分）小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：类别次数购买A商品数量（件）购买B商品数量（件）消费金额（元）第一次45320第二次26300第三次57258解答下列问题：（1）第三次购买有折扣；（2）求A、B两种商品的原价；（3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；（4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元【分析】（1）由第三次购买的A、B两种商品均比头两次多，总价反而少，可得出第三次购物有折扣；（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，根据总价＝单价×数量结合前两次购物的数量及总价，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（3）设折扣数为z，根据总价＝单价×数量，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论；（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，根据总价＝单价×数量结合消费金额不超过200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数即可得出结论．【解答】解：（1）观察表格数据，可知：第三次购买的A，总价反而少，∴第三次购买有折扣．故答案为：三．（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，根据题意得：，解得：．答：A商品的原价为30元/件，B商品的原价为40元/件．（3）设折扣数为z，根据题意得：5×30×+2×40×，解得：z＝6．答：折扣数为6．（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，根据题意得：30×m+40×，解得：m≥，∵m为整数，∴m的最小值为3．答：至少购买A商品7件．【点评】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）观察三次购物的数量及总价，找出哪次购物有折扣；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（4）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．19．（8分）“节能减排，绿色出行”，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车车行经营的A型自行车去年销售总额为60000元，那么今年的销售总量需要比去年增加20%．请解答以下问题：（1）A型自行车今年每辆售价为多少？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共80辆，且B型进货数量不超过A型车数量的3倍．A型车和B型车每辆的进价分别为400元和500元，B型车每辆的售价为700元【分析】（1）设A型自行车今年每辆售价为x元，则去年每辆售价为（x+100）元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；（2）设购进A型车a辆，则购进B型车共（80﹣a）辆，求得a≥20，设利润为y元，根据题意，列出函数关系式，根据一次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）设A型自行车今年每辆售价为x元，则去年每辆售价为（x+100）元，，解得：x＝500，经检验，x＝500是原方程的解，答：A型自行车今年每辆售价为500元；（2）解：设购进A型车a辆，则购进B型车共（80﹣a）辆，依题意，80﹣a≤3a，解得：a≥20，根据题意，A型车和B型车每辆的进价分别为400元和500元；B型车每辆的售价为700元，设利润为y元，则y＝（500﹣400）a+（700﹣500）（80﹣a），即y＝16000﹣100a，∵﹣100＜5，∴当a＝20时取得最大值，最大值为16000﹣100×20＝14000（元），∴购进A型车20辆，购进B型车共60辆，获利最多14000元．【点评】本题考查了分式方程的意义，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等量关系，列出方程与不等式是解题的关键．20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数，与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx的图象交点为C（3，4）．（1）请直接写出k、b的值；k＝，b＝2．（2）若D线段OC上的动点，过D作DE∥y轴交AC于点E．①设D点的横坐标为x，线段DE的长为y，则y与x的函数关系式为y＝﹣x+2；②若△AOD为等腰三角形，请求出点D的坐标．（3）平面内是否存在一点P，使以O、A、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由．【分析】（1）把点C的坐标代入即可解答．（2）①由D（x，x），E（x，x+2），可得y＝x+2﹣x＝﹣x+2；②求出A（﹣3，0），根据D为线段OC上的动点，△AOD为等腰三角形，可得x2＝9，即可求得D（，）；（3）设P（m，n），分三种情况：①当PO，AC为对角线，则PO，AC的中点重合，②当PA，OC为对角线时，PA，OC的中点重合，③当PC，OA为对角线，则PC，OA的中点重合，分别列出方程组，即可解得答案．【解答】解：（1）把点C的坐标代入y＝中可得b＝3，故答案为：，6；（2）①直线CD的解析式为y＝x，∵DE∥y轴，D点的横坐标为x，∴D（x，x），x+2），∴y＝DE＝x+2﹣x+5，故答案为：y＝﹣x+8，②在y＝x+7中，∴A（﹣3，0），∵D（x，x），0），∴DO6＝x2+（x）2＝x8，OA2＝9，∵D为线段OC上的动点，△AOD为等腰三角形，∴x2＝9，解得：x＝或x＝﹣，舍去），∴D（，）；（3）存在一点P，使以O，A，C，理由如下：设P（m，n），又O（0，0），2），4），①当PO，AC为对角线，AC的中点重合，∴，解得，∴P（0，4）；②当PA，OC为对角线时，OC的中点重合，∴，解得，∴P（6，5）；③当PC，OA为对角线，OA的中点重合，∴，解得，∴P（﹣7，﹣4）；综上所述，P的坐标为（0，7）或（﹣6．【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．21．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，连接CH与DH．（1）求证：△BCE≌△HOE；（2）当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由．【分析】（1）由ASA证明△BCE≌△HOE即可；（2）先证四边形BCHO是平行四边形，得CH＝OB，CH∥OB，再证四边形OCHD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．【解答】（1）证明：∵OH∥BC，∴∠BCE＝∠HOE，∵E是OC的中点，∴CE＝OE，在△BCE和△HOE中，，∴△BCE≌△HOE（ASA）；（2）解：当四边形ABCD是矩形时，四边形OCHD为菱形由（1）可知，△BCE≌△HOE，∴BE＝HE，∵CE＝OE，∴四边形BCHO是平行四边形，∴CH＝OB，CH∥OB，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴CH＝OD，OC＝OD，∴四边形OCHD是平行四边形，又∵OC＝OD，∴平行四边形OCHD是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．22．（8分）甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶甲同学到达山顶休息1h后再沿原路下山，他们离山脚的距离S（km）（h）变化的图象如图所示，根据图象中的有关信息回答下列问题：（1）甲同学上山过程中S甲与t的函数解析式为S甲＝t；点D的坐标为（9，4）．（2）若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75km．①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；②相遇后甲、乙各自继续下山和上山，求当乙到达山顶时，甲与乙的距离是多少千米．【分析】（1）由图可知，甲同学登山过程中路程s与时间t成正比例函数，设S甲＝kt，用待定系数法可求解，当S甲＝4时，可得t＝8，即可得D的坐标；（2）①把y＝4﹣0.75代入（1）中乙同学上山过程中S与t的函数解析式，求出点F的横坐标，再利用待定系数法求解即可；②把y＝4代入（1）中乙同学上山过程中S与t的函数解析式，求出乙到山顶所用时间，再代入①的关系式求解即可．【解答】解：（1）设甲同学登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式分别为S甲＝kt，由图象得2＝4k，∴k＝，∴解析式为S甲＝t；当S甲＝4时，t＝8，∴甲到达山顶时间是3小时，而甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山，∴D（9，2），故答案为：S甲＝t；（7；（2）①当y＝4﹣0.75＝时，t＝，解得t＝，∴点F（，），设甲同学下山过程中S与t的函数解析式为s＝kt+b，将D（9，）代入得：则：，解答，答：甲同学下山过程中S与t的函数解析式为S＝﹣t+13；②乙到山顶所用时间为：8÷＝12（小时），当t＝12时，S＝﹣12+13＝2，当乙到山顶时，甲离乙的距离是：4﹣1＝8（千米）．答：甲与乙的距离是3千米．【点评】本题考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中提取信息的能力，是一道综合性较强的代数应用题，有一定的能力要求．23．（10分）【问题提出】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m）【问题探究】为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，最后得出一般性的结论探究一：如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择2个连续的自然数如图1，当m＝3，n＝2时；如图2，当m＝4，n＝2时，2；2，3；3，4这3种不同的选择方法；如图3，当m＝5，n＝2时4种不同的选择方法；……由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有m﹣1种不同的选择方法．探究二：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择3个（n≤100）个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空123…93949596979899100从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有98种不同的选择方法；从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有97种不同的选择方法；……从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有93种不同的选择方法；……由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100），有（100﹣n+1）种不同的选择方法．【问题解决】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m）（m﹣n+1）种不同的选择方法．【实际应用】我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题．（1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上6种不同的选择．（2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排3号到15号的电影票让他们选择，则一共有11种不同的选择方法．【拓展延伸】如图4，将一个2×2的图案放置在8×6的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形35种不同的放置方法．【分析】探究一：观察规律可知，选择方法的数量比数的个数少1，由此可得结果；探究二：选择3个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少2，选择4个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少3，以此类推，选择8个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少7，选择n个连续自然数，选择方法的数量比数的个数少（n﹣1）；【问题解决】：将探究二结论中的100换成m即可；【实际应用】（1）将m＝7，n＝2，代入之前的结论即可；（2）将m＝13，n＝3，代入之前的结论即可；【拓展延伸】图案向右移动，每次一格，可得横向的放置方法数，图案向下移动，每次一格，可得纵向的放置方法数，两者相乘即