江苏省苏州市苏州地区学校2024届数学九年级第一学期期末经典模拟试题含解析

江苏省苏州市苏州地区学校2024届数学九年级第一学期期末经典模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（每题4分，共48分）1．若2a＝3b，则下列比列式正确的是（）A． B． C． D．2．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是()A．nmile B．60nmile C．120nmile D．nmile3．如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD．现有下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°，其中正确的结论有()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个4．如果点与点关于原点对称，则（）A．8 B．2 C． D．5．如图，中，，顶点，分别在反比例函数（）与（）的图象上.则下列等式成立的是（）A． B． C． D．6．如图，线段OA=2，且OA与x轴的夹角为45°，将点A绕坐标原点O逆时针旋转105°后得到点，则的坐标为（）A． B． C． D．7．如图，已知扇形BOD，DE⊥OB于点E，若ED=OE=2，则阴影部分面积为()A． B． C． D．8．下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．9．（2017广东省卷）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，已知点的坐标为，则点的坐标为（）A． B． C． D．10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（）A．2 B．2.5 C．3 D．411．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝210 B．x（x﹣1）＝210C．2x（x﹣1）＝210 D．x（x﹣1）＝21012．如图是我们学过的反比例函数图象，它的表达式可能是（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图所示，等边△ABC中D点为AB边上一动点，E为直线AC上一点，将△ADE沿着DE折叠，点A落在直线BC上，对应点为F，若AB＝4，BF：FC＝1：3，则线段AE的长度为_____．14．如图，等腰直角的顶点在正方形的对角线上，所在的直线交于点，交于点，连接，.下列结论中，正确的有_________（填序号）.①；②是的一个三等分点；③；④；⑤.15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P＝40°，则∠ADC＝____°．16．矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数___________.17．若关于x的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是________．18．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠BAD＝60°，则∠ACD＝_____°．三、解答题（共78分）19．（8分）2020年元且，某商场为促销举办抽奖活动．规则如下：在一个不透明的纸盒里，装有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同．顾客每次摸出1个球，若摸到红球，则获得一份奖品；若摸到黑球，则没有奖品．（1）如果张大妈只有一次摸球机会，那么张大妈获得奖品的概率是．（2）如果张大妈有两次摸球机会（摸出后不放回），请用“树状图”或“列表”的方法，求张大妈获得两份奖品的概率．20．（8分）“江畔”礼品店在十一月份从厂家购进甲、乙两种不同礼品．购进甲种礼品共花费1500元，购进乙种礼品共花费1050元，购进甲种礼品数量是购进乙种礼品数量的2倍，且购进一件乙种礼品比购进一件甲种礼品多花20元．（1）求购进一件甲种礼品、一件乙种礼品各需多少元；（2）元旦前夕，礼品店决定再次购进甲、乙两种礼品共50个．恰逢该厂家对两种礼品的价格进行调整，一件甲种礼品价格比第一次购进时提高了30%，件乙种礼品价格比第次购进时降低了10元，如果此次购进甲、乙两种礼品的总费用不超过3100元，那么这家礼品店最多可购进多少件甲种礼品?21．（8分）综合与实践—探究正方形旋转中的数学问题问题情境:已知正方形中，点在边上，且.将正方形绕点顺时针旋转得到正方形（点，，，分别是点，，，的对应点）.同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答.特例分析:（1）“乐思”小组提出问题:如图1，当点落在正方形的对角线上时，设线段与交于点.求证:四边形是矩形；（2）“善学”小组提出问题:如图2，当线段经过点时，猜想线段与满足的数量关系，并说明理由；深入探究:（3）请从下面，两题中任选一题作答.我选择题.A．在图2中连接和，请直接写出的值.B．“好问”小组提出问题:如图3，在正方形绕点顺时针旋转的过程中，设直线交线段于点.连接，并过点作于点.请在图3中补全图形，并直接写出的值.22．（10分）某商店销售一种商品，每件成本8元，规定每件商品售价不低于成本，且不高于20元，经市场调查每天的销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元件）1011121314x销售量y（件）100908070（1）将上面的表格填充完整；（2）设该商品每天的总利润为w元，求w与x之间的函数表达式；（3）计算（2）中售价为多少元时，获得最大利润，最大利润是多少？23．（10分）如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．(1)求出抛物线的解析式；(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（10分）周末，小马和小聪想用所学的数学知识测量图书馆前小河的宽，测量时，他们选择河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE,使得点E与点C、A共线.已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.35m，BD=7m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽AB．25．（12分）如图，在中，平分交于点，于点，交于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，，，求的长．26．已知关于的一元二次方程．（1）若此方程有两个实数根，求的最小整数值；（2）若此方程的两个实数根为，，且满足，求的值．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据比例的性质即可得到结论．【题目详解】解：∵2a＝3b，∴故选：C．【题目点拨】此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知其变形.2、D【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．【题目详解】过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=1．在Rt△ACD中，cos∠ACD=，∴CD=AC•cos∠ACD=1×．在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=30，∴AB=AD+BD=30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故选D．【题目点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．3、A【题目详解】如图，连接CO，DO，∵MC与⊙O相切于点C，∴∠MCO=90°，在△MCO与△MDO中，，∴△MCO≌△MDO（SSS），∴∠MCO=∠MDO=90°，∠CMO=∠DMO，∴MD与⊙O相切，故①正确；在△ACM与△ADM中，，∴△ACM≌△ADM（SAS），∴AC=AD，∴MC＝MD＝AC=AD，∴四边形ACMD是菱形，故②正确；如图连接BC，∵AC=MC，∴∠CAB=∠CMO，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在△ACB与△MCO中，，∴△ACB≌△MCO（SAS），∴AB＝MO，故③正确；∵△ACB≌△MCO，∴BC=OC，∴BC=OC=OB，∴∠COB=60°，∵∠MCO=90°，∴∠CMO=30°，又∵四边形ACMD是菱形，∴∠CMD=60°，∴∠ADM＝120°，故④正确；故正确的有4个.故选A.4、C【分析】根据两个点关于原点对称时，它们横坐标对应的符号、纵坐标对应的符号分别相反，可直接得到m=3，n=-5进而得到答案．【题目详解】解：∵点A（3，n）与点B（-m，5）关于原点对称，

∴m=3，n=-5，

∴m+n=-2，

故选：C．【题目点拨】此题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．5、C【解题分析】【分析】过A作AF垂直x轴，过B点作BE垂直与x轴，垂足分别为F，E，得出，可得出，再根据反比例函数的性质得出两个三角形的面积，继而得出两个三角形的相似比，再逐项判断即可．【题目详解】解：过A作AF垂直x轴，过B点作BE垂直与x轴，垂足分别为F，E，由题意可得出，继而可得出顶点，分别在反比例函数（）与（）的图象上∴∴∴∴A.，此选项错误，B.，此选项错误；C.，此选项正确；D.，此选项错误；故选：C．【题目点拨】本题考查的知识点是反比例函数的性质以及解直角三角形，解此题的关键是利用反比例函数的性质求出两个三角形的相似比．6、C【分析】如图所示，过作⊥y轴于点B，作⊥x轴于点C，根据旋转的性质得出，，从而得出，利用锐角三角函数解出CO与OB即可解答．【题目详解】解：如图所示，过作⊥y轴于点B，作⊥x轴于点C，由旋转可知，，，∵AO与x轴的夹角为45°，∴∠AOB=45°，∴，∴，，∴，故选：C．【题目点拨】本题考查了旋转的性质以及解直角三角形，解题的关键是得出，并熟悉锐角三角函数的定义及应用．7、B【分析】由题意可得△ODE为等腰直角三角形，可得出扇形圆心角为45°，再根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【题目详解】解：∵DE⊥OB，OE=DE=2,

∴△ODE为等腰直角三角形，∴∠O=45°，OD=OE=2.∴S阴影部分=S扇形BOD-S△OED=

故答案为：B．【题目点拨】本题考查的是扇形面积计算、等腰直角三角形的性质，利用转化法求阴影部分的面积是解题的关键．8、D【解题分析】根据中心对称图形的概念判断即可．【题目详解】A、不是中心对称图形；B、不是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、是中心对称图形．故选D．【题目点拨】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．9、A【分析】过原点的直线与反比例函数图象的交点关于原点成中心对称，由此可得B的坐标．【题目详解】与相交于A，B两点∴A与B关于原点成中心对称∵∴故选择：A．【题目点拨】熟知反比例函数的对称性是解题的关键．10、B【解题分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4-x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【题目详解】如图：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，即：（4-x）2+22=x2，解得：x=2.5，故选B．【题目点拨】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．11、B【题目详解】设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是(x−1)本；则总共送出的图书为x(x−1)；又知实际互赠了210本图书，则x(x−1)=210.故选：B.12、B【分析】根据反比例函数图象可知，经过第一三象限，，从而得出答案．【题目详解】解：A、为二次函数表达式，故A选项错误；B、为反比例函数表达式，且，经过第一三象限，符合图象，故B选项正确；C、为反比例函数表达式，且，经过第二四象限，不符合图象，故C选项错误；D、为一次函数表达式，故D选项错误．故答案为B．【题目点拨】本题考查了反比例函数的图象的识别，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、或14【解题分析】点E在直线AC上，本题分两类讨论，翻折后点F在BC线段上或点F在CB延长线上，根据一线三角的相似关系求出线段长．【题目详解】解：按两种情况分析：①点F在线段BC上，如图所示，由折叠性质可知∠A＝∠DFE＝60°∵∠BFD+∠CFE＝120°，∠BFD+∠BDF＝120°∴∠BDF＝∠CFE∵∠B＝∠C∴△BDF∽△CFE，∴∵AB＝4，BF：FC＝1：3∴BF＝1，CF＝3设AE＝x，则EF＝AE＝x，CE＝4﹣x∴解得BD＝，DF＝∵BD+DF＝AD+BD＝4∴解得x＝，经检验当x＝时，4﹣x≠0∴x＝是原方程的解②当点F在线段CB的延长线上时，如图所示，同理可知△BDF∽△CFE∴∵AB＝4，BF：FC＝1：3，可得BF＝2，CF＝6设AE＝a，可知AE＝EF＝a，CE＝a﹣4∴解得BD＝，DF＝∵BD+DF＝BD+AD＝4∴解得a＝14经检验当a＝14时，a﹣4≠0∴a＝14是原方程的解，综上可得线段AE的长为或14故答案为或14【题目点拨】本题考查了翻折问题，根据点在不同的位置对问题进行分类，并通过一线三角形的相似关系建立方程是本题的关键．14、①②④【分析】根据△CBE≌△CDF即可判断①；由△CBE≌△CDF得出∠EBC=∠FDC=45°进而得出△DEF为直角三角形结合即可判断②；判断△BEN是否相似于△BCE即可判断③；根据△BNE∽△DME即可判断④；作EH⊥BC于点H得出△EHC∽△FDE结合tan∠HEC=tan∠DFE=2，设出线段比即可判断⑤.【题目详解】∵△CEF为等腰直角三角形∴CE=CF，∠ECF=90°又ABCD为正方形∴∠BCD=90°，BC=DC又∠BCD=∠BCE+∠ECD∠ECF=∠ECD+∠DCF∴∠DCF=∠BCE∴△CBE≌△CDF(SAS)∴BE=DF，故①正确；∴∠EBC=∠FDC=45°故∠EDF=∠EDC+∠FDC=90°又∴E是BD的一个三等分点，故②正确；∵∴即判定△BEN∽△BCE∵△ECF为等腰直角三角形，BD为正方形对角线∴∠CFE=45°=∠EDC∴∠CFE+∠MCF=∠EDC+∠DEM∴∠MCF=∠DEM然而题目并没有告诉M是EF的中点∴∠ECM≠∠MCF∴∠ECM≠∠DEM≠∠BNE∴不能判定△BEN∽△BCE∴不能得出进而不能得出，故③错误；由题意可知△BNE∽△DME又BE=2DE∴BN=2DM，故④正确；作EH⊥BC于点H∵∠MCF=∠DEM又∠HCE=∠DCF∴∠HCE=∠DEM又∠EHC=∠FDE=90°∴△EHC∽△FDE∴tan∠HEC=tan∠DFE=2可设EH=x，则CH=2xEC=∴sin∠BCE=，故⑤错误；故答案为①②④.【题目点拨】本题考查的是正方形综合，难度系数较大，涉及到了相似三角形的判定与性质，勾股定理、等腰直角三角形的性质以及方程的思想等，需要熟练掌握相关基础知识.15、115°【分析】根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．【题目详解】解：连接OC，如右图所示，

由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，

∴∠COB=50°，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC=65°，

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠D+∠ABC=180°，

∴∠D=115°，

故答案为：115°．【题目点拨】本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．16、3或1.2【分析】由△PBE∽△DBC，可得∠PBE=∠DBC，继而可确定点P在BD上，然后再根据△APD是等腰三角形，分DP=DA、AP=DP两种情况进行讨论即可得.【题目详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，BC=8，∴BD=10，∵△PBE∽△DBC，∴∠PBE=∠DBC，∴点P在BD上，如图1，当DP=DA=8时，BP=2，∵△PBE∽△DBC，∴PE：CD=PB：DB=2：10，∴PE：6=2：10，∴PE=1.2；如图2，当AP=DP时，此时P为BD中点，∵△PBE∽△DBC，∴PE：CD=PB：DB=1：2，∴PE：6=1：2，∴PE=3；综上，PE的长为1.2或3，故答案为1.2或3.【题目点拨】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质等，确定出点P在线段BD上是解题的关键.17、1【解题分析】设x1，x2是关于x的一元二次方程x2−x+k=0的两个根，∵关于x的一元二次方程x2−x+k=0的一个根是0，∴由韦达定理，得x1+x2=1，即x2=1，即方程的另一个根是1.故答案为1.18、1【解题分析】连接BD．根据圆周角定理可得.【题目详解】解：如图，连接BD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠DAB＝1°，∴∠ACD＝∠B＝1°，故答案为1．【题目点拨】考核知识点：圆周角定理.理解定义是关键.三、解答题（共78分）19、（1）；（2）．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的球是红球的结果数，然后根据概率公式求解．【题目详解】（1）从布袋中任意摸出1个球，摸出是红球的概率＝＝；故答案为：；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为2，所以张大妈获得两份奖品的概率＝＝．【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．20、（1）购进一件甲种礼品需要50元，一件乙种礼品需70元；（2）最多可购进20件甲种礼品．【分析】（1）设购进一件甲种礼品需x元，则一件乙种礼品需（x+20）元．根据题意得：,解方程可得；（2）设购进甲m件，则购进乙件．根据题意得：，解不等式可得.【题目详解】解：（1）设购进一件甲种礼品需x元，则一件乙种礼品需（x+20）元．根据题意得：解得：x=50经检验，x=50是原方程的解，且符合题意．=70元．答：购进一件甲种礼品需要50元，一件乙种礼品需70元．（2）设购进甲m件，则购进乙件．根据题意得：解得：答：最多可购进20件甲种礼品．【题目点拨】考核知识点：分式方程应用.根据销售价格关系列出方程和不等式是关键.21、（1）见解析；（2）；（3）A.，B..【分析】（1）根据旋转性质证得，从而证得绪论；（2）连接、，过点作，根据旋转性质结合三角形三线合一的性质证得，再证得四边形是矩形，从而求得结论；（3）A.设，根据旋转性质结合两边对应成比例且夹角相等证得，利用相似三角形对应边成比例再结合勾股定理即可求得答案；B.作交直线于点，根据旋转性质利用AAS证得，证得OP是线段的中垂线，根据旋转性质结合两边对应成比例且夹角相等证得，利用相似三角形对应高的比等于相似比再结合勾股定理即可求得答案；【题目详解】（1）由题意得：，，由旋转性质得：，∵四边形是矩形（2）连接、，过点作于N，由旋转得：，∵，，∵ON⊥D，∠=∠，∴四边形是矩形，∴，∴；（3）A.如图，连接，，，由旋转的性质得：∠BO=∠，BO=O，，∴，∴，，，设，则，B.如图，过点作AG∥交直线于点G，过点O作交直线于点，连接OP，∵AG∥，，四边形是正方形，由旋转可知：，，，，，，，，，，，，在和中，，，又∵，，，，，，，又∵，，，，，设，则，，在中，由勾股定理可得：，．【题目点拨】本题考查四边形综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、、勾股定理、矩形的性质、线段的垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．22、（1）见解析；（2）w＝﹣10x2+280x﹣1600；（3）售价为14元时，获得最大利润，最大利润是360元．【分析】（1）设y=kx+b，由待定系数法可列出方程组：，解得：则y=﹣10x+200，当x=14时，y=60.（2）由题意得，w与x之间的函数表达式为：w＝（x﹣8）（﹣10x+200）＝﹣10x2+280x﹣1600；（3）∵w＝﹣10x2+280x﹣1600＝﹣10（x﹣14）2+360，故售价为14元时，获得最大利润，最大利润是360元．【题目详解】解：（1）设销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系为y＝kx+b，∴，解得：，∴销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系为y＝﹣10x+200，当x＝14时，y＝60，故答案为：60，﹣10x+200；（2）由题意得，w与x之间的函数表达式为：w＝（x﹣8）（﹣10x+200）＝﹣10x2+280x﹣1600；（3）∵w＝﹣10x2+280x﹣1600＝﹣10（x﹣14）2+360，故售价为14元时，获得最大利润，最大利润是360元．【题目点拨】本题的考点是一次函数及二次函数的综合应用.方法是根据题意列出函数式，再根据二次函数的性质求解.23、(1)y＝－x2＋x－2;(2)点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).【解题分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似，分两种情况讨论计算即可.【题目详解】解：(1)∵该抛物线过点C(0，－2)，∴可设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－2