2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高二（上）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高二（上）期末数学试

卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.

1.若一个球的直径为2,则此球的表面积为（）

A.2nB.16TTC.8nD.4n

2.“2%2+x=0”是“x=0”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.两圆/+9-6y=0和好+产-8x+12=0的位置关系为（）

A.相交B.外切C.内切D.相离

4.设A为圆/+炉-级=0上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1,则尸点的轨迹方程是（）

A.（x-I）2+y2=4B.y2=2x

C.（X-1）2+y2=2D.户-1X

5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

、1

11

正视图“掷用

的浅图

6.三条不重合的直线a,b,c及三个不重合的平面a,0,Y，下列命题正确的是（）

A.若a〃a,a//p,贝lja〃0

B.若aCB=a,a±y,0_1_丫，则”，丫

C.若aua,bua,ccp,c_La,cl.b,则a_L0

D.若ari0=a,cuy,c//a,c〃0,贝a〃丫

7.如图，在正方体ABC。-48Goi中，E为线段4G的中点，则异面直线。E与81c所

成角的大小为（）

8.抛物线V=2x上的点到直线x+^y+5=0距离的最小值是（）

A.3B.搭8C.74D.之4

543

22

9.已知椭圆片，^-1（a>b>0）的两个焦点分别为尸，尸2,若椭圆上存在点尸使得N

「bz

是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）

A.（0,券）B.除1）C.（0,-1）D.（-1,1）

10.如图，在菱形48co中，ZBAD=6Q°,线段AO,HD,BC的中点分别为E,F,K,

连接EF,FK.现将△ABD绕对角线8。旋转，令二面角A-8。-C的平面角为a,则在

旋转过程中有（）

A.NEFKWaB.NEFK>aC.NEDKWaD.ZEDK^a

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.

11.已知双曲线/-日=1,则该双曲线的渐近线方程为，焦点坐

43

标为.

12.若直线加：2x-4y-3=0与〃：3x+ay-12=0平行，则〃=，两直线间的距离

是.

13.圆/+）工+4工-2y+4=0上的点到直线y=x-1的最近距离为,最远

距离为

14.已知向量之=(2,-1,3),(-1,4,-2),与=(7,5,入)，若ZJ_3则

入=，若a，b,c共面，贝U入=•

15.已知圆N+V-6x-7=0与抛物线V=2px(p>0)的准线相切，则p=.

16.如图，三棱锥S-A8C中，若4c=2«,SA=SB=SC=AB=BC=4,E为棱SC的中

点，则直线AC与BE所成角的余弦值为.

17.已知一个圆经过直线/：2%+尹4=0与圆C：/+产2-4y=0的两个交点，并且有最小

面积，则此圆的方程为.

三、解答题：本大题共5小题，满分74分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤.

18.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为尸，点尸(1,2)在抛物线C上.

(1)求点F的坐标和抛物线C的准线方程；

(2)过点F的直线/与抛物线C交于A,8两个不同点，若A2的中点为M(3,-2),

求△048的面积.

19.如图，ABC。是正方形，直线尸。,底面ABC，PD=DC,E是PC的中点.

(1)证明：直线PA〃平面EO8；

(2)求直线尸8与平面A8C。所成角的正切值.

D

20.如图，在直三棱柱A8C-4BCI中，已知A4i=8C=AB=2,ABLBC.

(1)求四棱锥4-BCC\B\的体积；

(2)求二面角S-4C-G的大小.

21.设椭圆C：号以=1(a>6>0),Fi,B分别为左、右焦点，8为短轴的一个端点,

abz

且saBFi%=F，椭圆上的点到右焦点的距离的最小值为1,。为坐标原点.

(1)求椭圆c的方程；

(2)若点P是椭圆上一点，^APFjFj=l-求点P的坐标.

22.已知两定点F/-四,0),F2(V2-0),点p是曲线E上任意一点，且满足条件

|苗卜西1=2.

①求曲线E的轨迹方程；

②若直线>=齿-1与曲线E交于不同两点A,B两点，求女的范围.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.

1.若一个球的直径为2,则此球的表面积为（）

A.2iiB.16nC.8TTD.4n

解：•••球的直径为2,

二该球的半径为1,可得该球的表面积为5=4豆/?2=471义12=轨.

故选：D.

2.“2%2+*=0"是“x=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：由"+工二。，解得：x=0或x=-2,

故"x=0或x=-2"是“x=0”的必要不充分条件，

故“羽+、=0”是“x=0”的必要不充分条件，

故选:B.

3.两圆/+炉-6丁=0和N+V-8x+12=0的位置关系为（）

A.相交B.外切C.内切D.相离

解：圆f+V-6y=0的圆心（0,3）半径为3；f+y2-8x+12=0圆心（4,0）半径为2,

圆心距为存7=5,半径和为3+2=5,

两个圆的位置关系是外切.

故选：B.

4.设A为圆j^+y2-2x=0上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1,则P点的轨迹方程是（）

A.（x-1）2+y=4B.y2=2x

C.（x-1）2+y2=2D.y2=-2x

解：圆炉+尸-2X=O可化为G-l）2+y2=i,由题意可得圆心。（1,0）到P点的距离

为正,

所以点P在以（1,0）为圆心，如为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是（X-l）2+y2

=2

故选：c.

5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

解根据几何体的三视图转换为几何体为:该几何体为底面半径呜,高为2的圆柱崎

挖去一个半径为看的半球;

故:•兀•（5）2X2=X枭兀

4223

故选：A.

6.三条不重合的直线m6,c及三个不重合的平面a,0,Y，下列命题正确的是（）

A.若。〃a,a//{i,则a〃0

B.若aC0=a,a±y,0_1_丫，则〃_1_丫

C.若aua,bua,cu。，c_La,cLb,则。_1_0

D.若aC0=a,ccy,c//a,c〃0,则a〃y

解：①在正方体中可以判断，A命题不正确；

②设作，丫，a'是过a直线上一点。的直线，

Va±y,P±y,aAp=a,

a'ua,a'邙，

:.a'=aDp,

Vanp=a,而2个平面的交线只有一条，

与"重合，

故故答案8是正确的命题.

③当时，C命题不正确；

④当a,0,丫两两相交于同一条直线。时，

也存在aCB=a,cuy,c//a,c〃仇这种情况，故。命题不正确,

故选：B.

7.如图，在正方体A8CD-4BCQI中，E为线段4G的中点，则异面直线。E与SC所

成角的大小为（）

C.45°D.60°

解：分别以D4、DC、。人所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

设正方体棱长为2,可得。(0,0,0),£(1,1,2),B\(2,2,2),C(0,2,0),

ADE=(1,1,2),B[C=(-2,0,-2),

.――.而•席IX(-2)+[><0+2X(-2)_弧

..cos<DE'B1C>~|-^I|稚|-Vl2+l2+22'V(-2)2+02+(-2)2r

...异面直线DE与BC所成角的余弦值为堂

2

异面直线。E与囱C所成角的大小为：30°

故选：B.

8.抛物线V=2x上的点到直线x+x/^y+5=0距离的最小值是（）

A.3B.—8C.7—D.—4

543

2

解：因为点P在抛物线V=2x上，设口这vV则点P至U直线xgy+5=0的距离

12'yo;

2

2

ly-W3y0+5||y2+2V3yo+io|l（y0W3）+7|

d=~~71^=4=4

•.♦yoeR，.•.当y0=-6时，dmin=v.

uininA

故选：C.

22

9.已知椭圆七矢-1（a>b>0）的两个焦点分别为Q,尸2,若椭圆上存在点P使得N

是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）

A.（0,乎）B.（冬1）C.（0,5）D.（-1,1）

解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张

角NQPB渐渐增大，当且仅当尸点位于短轴端点Po处时，张角NQPF2达到最大值.由

此可得:

.•椭圆上存在点P使得/QP&是钝角,

♦.△尸0尸尸2中，ZFIPOF2>9O°,

•."△马。尸2中，/。尸0尸2>45°,

所以尸0。<。22,即b<c,

2222

\a-c<cf可得a<2(r,

,.e>返，

2

.,0<e<l,

♦.返<e<l.

2

故选：B.

10.如图，在菱形A8C£>中，ZBAD=60°,线段AO,BD,BC的中点分别为E,F,K,

连接E尸，FK.现将△ABO绕对角线8。旋转，令二面角A-BO-C的平面角为a,则在

旋转过程中有（）

A.ZEFK^aB.NEFK,aC.ZEDK^aD.ZEDK^a

解：法一（考虑特殊位置）考虑初始位置，a=180。，排除。；考虑重叠位置，a=0°,

排除AC,故选：B.

法二（二面角最大原理）如图，8=FK=n-NE，FE,a=NE'HM=TX-ZE'

HE,

在二面角A'-BO-A中，根据二面角最大角原理得，ZE1HE>ZE'FE,故aWO.

故选：B.

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.

11.已知双曲线式-日=1,则该双曲线的渐近线方程为y=土返x，焦点坐标为（土

432—

0）.

解：双曲线2—-工―=1,可得a=2,c=、Q，

43

则该双曲线的渐近线方程为：y=土冬.

焦点坐标为：（±有，0）.

故答案为：y=(±V7-0).

12.若直线〃?：2x-4y-3=0与止3x+ay-12=0平行，则〃=-6,两直线间的距离

是恒.

-2-

解：因为直线相：2%-4y3=0与〃：3x+ay-12=0平行，

所以日T，解得a=-6,

2-4

所以直线”?：2x-4y-3=0,直线〃：3x-6y-12=0,

取直线〃上一点P（4,0）,

|2X4-0-3|5J7

则点P到直线加的距离为力：（；产可十净

所以两直线间的距离是返.

2

故答案为：-6；Y5.

2

13.圆/+9+以-2），+4=0上的点到直线y=x-1的最近距离为_2料-1_，最远距离为

272+1-.

解：由题意可知，圆的方程为r+V+M-2y+4=0,即（x+2）2+（y-1）2=1,

圆心（-2,1）到直线y=x-1的距离d=1-2/1=2点,

72

，圆的点到直线的最近距离为最远的距离为2&+1.

故答案为：2&-1,2V2+1.

14.已知向量:=（2,-1,3）,E=（-1，4,-2）,W=（7,5,入），若WJ_3，则

A=-3,若a，b，c共面，则入=_.

解：由题意，可知：

①；_L302X7+（-1）X5+3人=0,解得人=-3.

②Z,b'3共面=存在两个实数"?、"，使得3=m1+"总

2m-n=7

即I-m+4n=5,根据上面两个式子，可得|.

、17

,3m-2n=An^~

.3317_65

..A—3X---ZX—————•

777

故答案为：-3,竿.

15.已知圆/+产-6犬-7=0与抛物线V=2px(p>0)的准线相切，则〃=2.

解：抛物线)2=2px(p>0)的准线为x=-圆/+y2-6x-7=0,即(x-3)2+/

=16,

表示以(3,0)为圆心，半径等于4的圆.

由题意得3+^=4,・・.p=2,

故答案为2.

16.如图，三棱锥S-ABC中，若AC=2«,SA=SB=SC=AB=BC=4fE为棱SC的中

点，则直线4c与BE所成角的余弦值为4.

一4-

解：取SA的中点F,连接ERBF,

为棱SC的中点，

J.EF//AC,

:.NBEF(或其补角)为异面直线AC与BE所成的角，

-：AC=2^2,SA=SB=AB=BC=SC=4,

:.BE=BF=2M，EF=M，

在等腰ABE尸中，cos/BEF=EF2+BE之-BF：=jJ

2EF-BE2XV3X2V34

故答案为：.

4

17.已知一个圆经过直线/：2x+y+4=0与圆C：r+力法-4y=0的两个交点，并且有最小

面积，则此圆的方程为N+y2+孕x-孕世冬=0.

解：可设圆的方程为x2+y2+2x-4y+入（2x+y+4）=0,

即/+）2+2（1+入）x+（A-4）y+4入=0,

此时圆心坐标为（-1-A,生白）,

显然当圆心在直线2x+y+4=0上时，圆的半径最小，从而面积最小，

4—入

2（-1-入）H---+4=0,

2

解得：入=新

5

则所求圆的方程为：炉+）2+组x-孕）,+芈=0.

555

故答案为：x2+y2+^-x--^-y+——=0.

555

三、解答题：本大题共5小题，满分74分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤.

18.已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为尸，点尸（1,2）在抛物线C上.

（1）求点尸的坐标和抛物线C的准线方程；

（2）过点F的直线/与抛物线C交于A,8两个不同点，若A2的中点为M（3,-2）,

求△048的面积.

解：（1）将点代入抛物线得p=2,

则抛物线的方程为：尸=曲，焦点坐标为（1,0）,准线方程为x=-1

（2）设点A（xi,yi）,B（X2,以），

'2

=4x

yii^yj-y2_44_1

[=4X2*「2%1+丫2-4-，

所以直线/的斜率为-1,

直线/的方程为>=-x+\,|AB|=xi+x2+p=6+2=8,

点O到直线I的距离

所以5伙妞*8乂乎=2亚.

19.如图，488是正方形，直线PO_L底面ABC。，PD=DC,E是PC的中点.

（1）证明：直线尸4〃平面即8；

（2）求直线PB与平面ABC。所成角的正切值.

【解答】证明：(1)连结AC,BD,交于点0,连结0E,

♦.•ABCD是正方形，，0是4c中点，

是PC的中点，.,.OE//PA,

BDE,OEu平面BDE,

,直线PA〃平面EDB.

解：(2)..•直线PZ〃底面ABC。，488是正方形，PD=DC,

：.NPBD是直线PB与平面ABCD所成角，

设PD=DC—a,则BD={22+&2=如a,

20.如图，在直三棱柱ABC-4B1G中，已知A4i=BC=AB=2,ABLBC.

(1)求四棱锥A1-BCCB的体积；

(2)求二面角％-AC-G的大小.

【解答】(本题满分12分)本题共2小题，第(1)小题，第(2)小题.

解：(1)因为A8_LBC,三棱柱ABC-48G是直三棱柱，所以ABJ_BCGB”从而45

是四棱锥AI-BCGBI的高.…

1O

四棱锥4-BCC\B\的体积为V=-^-X2X2X2=-1-

oO

(2)如图(图略)，建立空间直角坐标系.

则A(2,0,0),C(0,2,0),Ai(2,0,2),

Bi(0,0,2),Ci(0,2,2),-

设AC的中点为M,'：BM±AC,NMLCCi,

平面4cC,

即丽=(1，1，。)是平面ACC的一个法向量.

设平面AiBiC的一个法向量是二=(x,y,z),菽=(-2,2,-2),A[B[=(-2,

0,0)…

；・n・A[B]=-2x=0,n・AC=-2x+2y-2z=0'

令z=l,解得x=0,y=l：=(。，1»1)，…

设法向量W与度的夹角为B，二面角囱-AiC-G的大小为①显然。为锐角.

|n-BM|J71

*/cos0=|cosp|=-0=

InlIBMI_2•T-

二面角B\-A\C-Ci的大小为一^---

o

*y'

21.设椭圆C：号以=1（a>b>0）,Fi,B分别为左、右焦点，8为短轴的一个端点,

abz

且52^尸/2=«