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文档简介
第一套.在AABC中,AB=AC,BD、CD平分NABC、NACB,点D在AABC,过D点作EF〃BC.请问EF与BE、CF有什么关系?.如以下图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF〃AC交DE的延长线于点F,连接CF.〔1〕求证:AD⊥CF.12]连接AF,试判断AACF的形状并说明理由..在四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC且∠BAD与∠BCD互补,求证:AD=CD..如以下图,点P是AABC的BC边的垂直平分线上一点,且∠A=2∠PBC,BP∖CP的延长线分别交AC、AB于点D、E,求证:BE=CD..如以下图,∠1=∠2,AB>AC,求证:BD>DC..如以下图,正方形ABCD中,M在CD上,N在DA延长线上"凶=八2点E在BD上,EN平分∠DNM,EF⊥MN于点F,问MN、AD、EF有什么数量关系?第二套.在AABC中,AB=AC,延长AB到点D使BD=AB,E为AB边的中点,求证:CD=2CE..AABC中,CDXAB于D,过D作DEXAC于点E,F为BC边的中点,过F作FG⊥DC于点G,求证:DG=EG..如以下图,设BP、CQ是AABC的角平分线,AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线.求证:KH〃BC..如以下图,在AABC中,AD⊥BC于D,BE为AC边的中线,且∠CBE=30°,求证:AD=BE.1.如以下图,AO是AABC中∠A的平分线,BD⊥AO的延长线于点D,E是BC的中点,求证:DE=:(AB-AC)..如以下图,在任意五边形ABCDE中,M、N、P、Q分别为AB、CD、BC、DE的中点,K、L分别为1MN、PQ的中点.求证:KL〃AE,且KL=!AE.第三套.如以下图,在AABC中,AB=AC,∠BAC=20°,D是AB上一点,∠BDC=30°,求证:AD=BC..如以下图,在RtAABC中,CM是斜边AB上的中线,MN⊥AB,∠ACB的平分线交MN于N,求证:CM=MN..如以下图,以正方形ABCD的边AD为边向外作等边三角形ADE,F为DE的中点,AF与BE交于M,1求证:DM=FD..一个直角三角形中,三条边皆为整数,一条直角边的长为1997,那么另一条直角边的长为多少?.如以下图,AABC三边的边长分别是BC=17,CA=18,AB=19.过AABC的点P向AABC的三条边分别作垂线PD、PE、PF〔D、E、F为垂足〕,且BD+CE+AF=27.求BD+BF的长..如以下图,在AABC中,AB=AC=5,点P是BC边上的任意一点,求证:PA+PB∙PC是定值.第四套.如以下图,在AABC中,AC=BC=5,NACB=80°,0为AABC一点,N0BA=10°,ZOAB=30°.求BO的长..如以下图,设点P为AABC一点,NPBA=10°,NPCB=30°,NBAP=20°,NCBP=40°,求证:AABC是等腰三角形.[提示:外心〔外接圆的圆心〕定理:三角形的三边的垂直平分线交于一点,该点叫做三角形的外心.].如以下图,请求证:在同一平面,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也平行..任意剪六个圆形纸片放在桌面上,使得没有一个纸片的中心落在另一纸片上或被另一纸片盖住,然后用一枚针去扎这一堆纸片.证明:不论针尖落在哪一点总不能一次把六个纸片全部扎中..请求证:假如梯形两底的和等于一腰,如此这腰同两底所夹的两角的平分线必过对腰的中点.答案第一套] I1.BE=CF=EF.提示:因为BD是角平分线,所以NEBD=NDBC=∙NABC;因为EF〃BC,所以NEDB=NDBC,所以NEBD=NEDB,所以EB=ED.同理,FC=DF.又因为AB=AC,所以NABC=NACB,11]]所以NEBD=NEDB=NFCD=NFDC=NABC=NACB,所以NDBC=NDCB=∙NABC='NACB.因为NDBC=NDCB,所以BD=DC.在^EBD和^FCD中,NEBD=NFCD,BD=DC,NEDB=NFDC,所以]△EBD2AFCD,所以DE=DF=EF,因此BE=CF='EF..等腰三角形.提示:〔1〕在等腰直角三角形ABC中,NCAB=NABC=45°,因为BF〃AC,所以NCBF=90°,所以NBDE=NDFB=45°,所以BF=BD,因此AACD2^CBF[SAS],可得NCDA=NBFC,所以AD⊥CF.12]因为AB垂直平分DF,所以AD=AF;又因为AD=CF,所以AACF为等腰三角形..提示:作DE垂直于BA、交BA的延长线于点E,作DF垂直于BC、交BC于点F.因为BD平分NABC,所以DE=DF;又因为NBAD与NBCD互补,所以NEAD=NDCB.所以AEAD2AFCD〔AAS〕,即AD=CD..提示:在BD上取一点F,使得PE=PF,连接CF.因为PG垂直平分BC,所以PB=PC;又因为PB=PC,NBPE=NCPF,PE=PF,可得APBE2APCFlSAS〕.所以BE=CF,NPBE=NPCF.因为NCDF=NA+NABD=2NPBC+NPBE=NPBc+NPCB+NPCf=NPBC+NBCF=NCFD,所以CD=CF,因此BE=CD..提示:在AB上截取AF=AC,连接DF.易证AADF2AADC,所以FD=CD,NADC=NADF.因为NADC=Nl+NB,NBFD=Nl+NADF,所以NBFD>NB,由此可得BD>DF,所以BD>DC.ɪMX.AD-EF=Tmn.提示:一7=AD—EF,过点E作EG,AD交AD于点G,EQLAB交AB于点Q,过点B作BP±MN.因为AB=CB,NNAb=NMCB,AN=CM,所以ANAB之AMCB,所以NNBA=NMBC,BN=BM.因为NMBC+NABM=90。,所以NNBA+NABM=90。,所以NNBM=90。,AMBN为等腰直角三角]形且BPLMN,BP=∑MN.因为ANPB为等腰直角三角形,所以NPNB=45。;因为EN平分NDNM,所以EG=EF,NAGE=NAQE=90°;因为NADB=NABD=45。,所以ADGE与ABQE都为等腰直角三角形,DG=EG=EF,NQEB=45°,所以G=AD—DG=AD-EF,又因为NGAQ=90°,四边瑙GEQ为矩形,所以QE〃AG且QE=AG=AD—EF,NGNE=NQEN,NQEN=NENF;因为NBNE=NENF+NPNB,NBEN=NQEN+NQEB,又因为NPNB=NQEB=45°,所以NBNE=NBEN,BN=BE,所以ABEQ2ANBP,EQ=BP=1]Tmn,ad-ef=Tmn.第二套.提示:延长CE到点F,使CF=2CE.在AAEC和ABEF中,CE=EF,NAEC=NBEF,AE=EB,所以△AEC2ABEF,可得BF=AC=AB=BD,NCAE=NFBE.因为NCBD=NCAB+NACB,NCBF=NCBA+NABF,NACB=NABC,所以NCBD=NCBF.在ACBF和ACBD中,BF=BD,NCBD=NCBF,CB=CB,所以△CBF2ACBD,可得CF=CD,因此CD=2CE..提示:作FQLBD于点Q,由DELAC可得NDEC=90°,⅛FG±CD,CD±BD,#BD∕7FG,ZBDC=NFGC=90°,因此QF〃CD,QF=DG,NB=NGFC.又因为F为BC边的中点,所以BF=FC,易证△BQF之AFGC,可得F=GC,如此QF=DG,DG=GC.在RtADEC中,G为DC中点,所以DG=EG..提示:延长AH交BC于N,延长AK交BC于M.因为BH平分NABC,可得NABH=NNBH.因为BH,AH,所以NAHB=NNHB,可证AABH也艰声及加,所以AH=HN.同理可得AK=KM,因此KH是AAMN的中位线,可得KH〃MN,眠H〃BC.1.提示:取DC的中点F,连接EF,如此EF为AADC的中位线,所以EF="∑AD且EF〃AD.因为1ADLBC,所以EFLBC;又因为NCBE=30。,所以EF="∑BE,因此AD=BE..提示:延长AC、BD交于点F,因为BDLAO,所以AABD2AAFD〔ASA〕,如此AABF为等腰三角]1]形且BD=DF.又因为E为BC中点,所以ED是ABCF的中位线,因此DE="∑CF="∑(AF-AC)=T(AB—AC〕.6.提示:连接BE,取其中点为R,再连接MR,连接PN、NQ、QR、RP.在AABE中,因为M、R分别]为AB、BE的中点,如此MR=∙AE.又因为N、P、R、Q分别为各边上的中点,所以四边形PNQR为平行四边形,可得平行四边形的两条对角线RN、PQ互相平分.又因为L为PQ中点,所以L为RN的中点.在11△MNR中,因为K、L分别为MN、RN的中点,所以KL〃MR,KL=5mR,因此KL〃AE且KL=~ΓaE.第三套1.提示:作AELCD,垂足为E,作AFLBC,垂足为F.因为AB=AC,故NBAF="∑NBAC=10°,又ZACD=ZBDC-ZDAC=30o-20°=10°,从而NBAF=NACD,所以RtAAFC2RtACEA,CF=AE,但11是CF="∑BC,AE=5AD,故BC=AD..提示:作CHLAB,垂足为H,因为ACLBC,所以NBCH=NA.因为CM是斜边AB上的中线,故CM=AM,NA=NACM,所以NBCH=NACM.又因为是NACB的平分线,故NA=NB,所以NA—NACM=NB-ZBCH,即NMCH=NH.因为MNLAB,CHLAB,所以MN〃CH,所以NH=NN,ZM=ZN,因此CM=MN.1.提示:因为NBAE=90°+60°=150°,且BA=AD=AE,所以NABE=NAEB="∑(180°—150°〕=15°.因为F是等边三角形ADE边DE的中点,所以AF垂直平分DE,NEAF=3(Γ,所以NDMF=NEMF=NEAM+NAEB=30°+15°=45°;所以NEMD=45。+45°=90°,故DM±BE,又因为]NDBM=NDBA—NEBA=30°,所以DM=工BD..1994004.提示:设斜边为y,另一条直角边为x,y—x=1997,1y—x〕×1y+x〕=1997]因为1997为质数所以只能拆成1和1997的平方,显然y+x>y—x,所以y-χ=l;又因为y—x=l,y+—(3988009—1)—1∩∩ι,1∩∩1x=1997=3988009,所以1— 2 ~39°-.18.提示:设BD=x,CE=y,AF=z,如此DC=17—x,AE=18—y,FB=19—z,连接PB、PC.在RtAPBD和RtAPFB中,有x+PD=(lə-zɔ+PF,同理有y+PE=(17-χ)+PD,z+PF=(19-y)+PE.将以上三式相加,得到x+y+z=(17—X〕+(18—y)+(19—z〕,即17x+18y+19z=487,又因为x+y+z=27,故X=Z-1.所以BD+BF=x+(19—z〕=(z-1〕+(19-z〕=18..提示:作ADLBC于点D.在RtAADP中,由勾股定理得PA+PB-PC=PA+(BD+DP)(DC-DP〕,又因为AB=AC,所以BD=CD,因此PA+PB・PC=PA—DP+BD=AD+BD=AB=25.所以不论点P在BC上何处,PA+PB∙PC都是定值.第四套.提示:作NCBO的角平分线BD交AO的延长线于点D,连接CD.因为NOBA=10°,BD为NCBO的角平分线,所以NDBO=NDBC=20°,所以NDAB=NDBO+NABO=30°=NDBA,因此AD=BD.在1△ACD和ABCD中,AD=BD,CD=CD,AC=BC,所以AACD2ABCD,所以NACD=NBCD=NACB=40°.因为NBOD=NOAB+NOBA=40°,所以NBOD=NBCD.在ABDC和ABDO中,NBOD=NBCD,NCBD=NOBD,BD=BD,所以ABDC2ABDO,所以BO=BC=5..提示:作AQ⊥BC,且AQ=AB,连接QP、QB、QC,易知∠BAQ=40°,于是∠BAP=∠QAP,所以△BAP也4QAP,BP=QP.又因为∠APB=150°=∠APQ,所以∠BPQ=60°,ABPQ为正三角形.因为BQ=PQ,∠PQB=60°=2∠PCB,所以Q为ABPC的外心,于是BQ=CQ,AQ垂直平分BC,所以AB=AC,AABC是等腰三角形..提示〔反证法〕:
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