上海市部分学校2024届高三上学期开学暑假作业检测数学试题（ 含答案解析 ）

高三数学暑假作业检测一、填空题（本题满分54）本大题共12题1-6每4分，7-12每题5分，要在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．1.已知集合，.若，则_________.【答案】或【解析】【分析】根据集合的并集转化为子集关系，建立方程求解即可.【详解】，,或，解得或或当时，不满足集合中元素的互异性，舍去，故答案为：或2.设复数（其中i为虚数单位），则______.【答案】【解析】【分析】化简，根据复数模的运算即可求得结果.【详解】因为，所以.故答案为：.3.已知，则的最小值是________.【答案】5【解析】【分析】由配凑法结合基本不等式求解即可.【详解】，当且仅当，即舍去）时取等号，的最小值为，故答案为：.4.已知抛物线的焦点坐标为，则的值为___________.【答案】【解析】【分析】利用抛物线的标准方程得到焦点坐标，从而求得值.【详解】因为抛物线，所以抛物线焦点坐标为，又因为抛物线的焦点坐标为，所以，则.故答案为：.5.在的二项展开式中，的系数是________【答案】80【解析】【分析】写出展开式的通项公式，利用公式即可得答案.【详解】由题意得：，当时，∴的系数是80.故答案为：806.已知向量，，若，则mn的值为______.【答案】-2【解析】【分析】运用向量平行的坐标运算公式即可.【详解】∵，∴，解得：，，∴.故答案为：.7.在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点，则的值为______.【答案】##0.28.【解析】【分析】运用三角函数的定义、诱导公式及二倍角公式计算即可.【详解】由题意知，，所以.故答案为：.8.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为______.【答案】##【解析】【分析】依次求圆锥底面周长、底面半径、高，由体积公式即可求.【详解】由题意，圆锥底面周长为，故圆锥底面半径，圆锥高，故圆锥的体积为.故答案为：9.某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为______.【答案】10.8【解析】【分析】将数据从小到大排序后，运用百分位数的运算公式即可.【详解】数据从小到大排序为：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12个，所以，所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8.故答案为：10.810.函数的值域为___________.【答案】【解析】【分析】由三角恒等变换得，再整体代换求解值域即可.【详解】，因为，所以，所以，所以，所以函数的值域为.故答案为：11.从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种.（结果用数值表示）【答案】96【解析】【分析】若甲不参与测温，可先在其他４人中先选取一人进行测温工作，再从４人中选取３人参与其他工作.【详解】从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有种.故答案为：9612.在面积为2的平行四边形中中，，点P是AD所在直线上的一个动点，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】取的中点，连接，利用极化恒等式可得，结合基本不等式与四边形面积可得最小值.【详解】取的中点，连接，则，，，当且仅当且时取等号，故答案为：二、选择题（本题满分18分）本大题共有4题13-14每题4分15-16每题5分，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑.13.已知直线，直线，则“”是“”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可.【详解】若，则两直线方程分别为和，满足两直线平行，即充分性成立，若，当时，两直线分别为和，此时两直线不平行，不满足条件.当时，若两直线平行则，由得，即，所以或，当时，，不满足条件.则，即，则“”是“”的充要条件，故选：C14.某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（）人.A16 B.18 C.20 D.24【答案】A【解析】【分析】由已知可求得抽样比为，再求出高三的学生数，即可求出结果.【详解】设高一学生数为，则高二学生数为，高三学生数为.所以，该高中共有学生数为，解得.用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，抽样比为，所以，高三年级应该抽取人.故选：A.15.已知角的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】对于ABC，举反例排除即可；对于D，利用三角函数的基本关系式即可判断.【详解】对于A，令，则，所以，即，故A错误；对于B，令，则，即，故B错误；对于C，令，则，所以，即，故C错误；对于D，因为角的终边不在坐标轴上，所以，，，所以，即，则，所以一定成等比数列，故D正确.故选：D.16.对于某一集合A，若满足a、b、，任取a、b、都有“a、b、c为某一三角形的三边长”，则称集合A为“三角集”，下列集合中为三角集的是（）A.{x|x是的高的长度} B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用特殊三角形判断选项A，解分式不等式即可证明选项B；利用零点分段法解方程，求出选项C所对应集合，再利用特殊值排除选项C；根据对数的性质求出选项D的集合，再利用特殊值排除选项D.【详解】解：对于A：当等腰三角形的顶角无限小时，且底边上的高比较大，，，如下图所示：显然，故、、不满足三角形的三边，故选项A错误；对于B：由，即，解得，任取且，则，，又，所以，即选项B成立；对于C：因为，当时，，解得；当时，，解得；当时，即恒成立，所以；综上可得，即，令，，显然，不满足a，b，c为某一三角形的三边长，故选项C错误；对于D：因为，所以，解得，所以，令，，显然，不满足a，b，c为某一三角形的三边长，故选项D错误.故选：B三、解答题（本满分78分）本大题共有5题，解下列题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤17.若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项.（1）求和的调和中项；（2）已知调和数列，，，求的通项公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意得到、、成等差数列，从而得到方程，求出，得到答案；（2）根据题意得到是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，从而求出，得到的通项公式.【小问1详解】设和的调和中项为，依题意得：、、成等差数列，所以，解得：，故和的调和中项为；【小问2详解】依题意，是等差数列，设其公差为，则，所以，故.18.已知关于x的一元二次函数.（1）若的解集为或，求实数a、b的值；（2）若实数a、b满足，求关于的不等式的解集.【答案】（1），；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与系数的关系求解即可；（2）化简可得，再以0，1为分界点讨论a的范围，求解不等式即可【小问1详解】∵的解集为或，∴与1是方程的两个实数根，由韦达定理可知：，解得，.【小问2详解】∵，则不等式化为：，因式分解为：，().当时，化为，则解集为；当时，，解得，不等式的解集为；当时，，解得，不等式的解集为；当时，，解得或，不等式的解集为或.19.如图所示，四棱锥中，底面为菱形，且直线又棱为的中点，(Ⅰ)求证：直线；(Ⅱ)求直线与平面的正切值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】试题分析：（1）由线面垂直的判定定理证明，EA⊥AB，EA⊥PA，得EA⊥平面PAB；（2）∠AEP为直线AE与平面PCD所成角，所以．试题解析：解：（1）证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2，∴△AED是以∠AED为直角的Rt△，又∵AB∥CD,∴EA⊥AB，又PA⊥平面ABCD，∴EA⊥PA,∴EA⊥平面PAB；（2）如图所示，连结PE，过A点作AH⊥PE于H点.∵CD⊥EA,CD⊥PA，∴CD⊥平面PAE,又∵AH⊂平面PAE，∴AH⊥CD，又AH⊥PE,PE∩CD=E,PE⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,∴AH⊥平面PCD,∴∠AEP为直线AE与平面PCD所成角.在Rt△PAE中，∵PA=2，AE=,∴.【详解】20.已知椭圆：的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点A，（1）求椭圆的方程；（2）若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值；（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点，和点三点共线，求的值；【答案】（1）（2）（3）2【解析】【分析】（1）利用题给条件求得的值，即可求得椭圆的方程；（2）先求得点关于直线的对称点的坐标，并代入椭圆的方程，即可求得的值；（3）先利用设而不求的方法求得点，的坐标，再利用向量表示点，和点三点共线，进而求得的值【小问1详解】椭圆：的长轴长为，离心率为，则，，则，则则椭圆的方程为；【小问2详解】设椭圆上点关于直线的对称点则，解之得，则由在椭圆上，可得，整理得，解之得或当时与点M重合，舍去.则【小问3详解】设，则又，则，直线的方程为由，整理得则，则又，则，则，则令则，直线的方程为由，整理得则，则又，则，则，则则由点，和点三点共线，可得则整理得，则【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.已知函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，讨论的单调性；（3）若对任意，，恒有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值，无极大值；（2）参考解析；（3）【解析】【详解】试题分析：第一问，将代入中确定函数的解析式，对进行求导，判断的单调性，确定在时，函数有极小值，但无极大值，在解题过程中，注意函数的定义域；第二问，对求导，的根为和，所以要判断函数的单调性，需对和的大小进行3种情况的讨论；第三问，由第二问可知，当时，在为减函数，所以为最大值，为最小值，所以的最大值可以求出来，因为对任意的恒成立，所以，将的最大值代入后，，又是一个恒成