线性代数 习题答案 重大第5章习题答案

习题5.1参考答案1.用克莱姆法则求解下列方程组：（1）解：由克拉默法则可知，其解为：（2）解：由克拉默法则可得其解为：（3）解：略。2.已知齐次线性方程组有非零解，求的值。解：又因为有非零解，则有所以可得：时方程组有非零解。3.已知齐次线性方程组有非零解，求的值。解：所以当时，线性方程组有非零解。4.线性方程组有唯一解的条件是什么？并求唯一解。解：又故当时方程组有唯一解。5.已知齐次线性方程组有非零解，其中为常数，求的值。解：所以或习题5.2参考答案1.求下列齐次线性方程组的基础解系和通解：（1）解：与原方程组同解的方程组为：故通解为：为任意常数（2）解：与原方程组同解的方程组为：故通解为：为任意常数。（4）解：与原方程组同解的方程组为：故通解为：为任意常数3.设有齐次线性方程组试求为何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。解：对方程组的系数矩阵作初等行变换，可得当时，故方程组有非零解，其同解方程组为：由此得出其基础解系为：其通解为：为任意常数。当时，可得，当时，故方程组也有非零解，其同解方程组为：可得其通解为：为任意常数。4.设矩阵(1)求方程组的一个基础解系。(2)求满足的所有矩阵解：（1）对系数矩阵实施初等行变换可得：则方程组的一个基础解系为：（2）对实施初等行变换可得：记则的通解为：为任意常数。的通解为：为任意常数。的通解为：为任意常数。于是，所求矩阵为：为任意常数。5.设矩阵是阶，它的个行向量是某个元齐次线性方程组的一组基础解系，是一个阶可逆矩阵，证明：的行向量组也构成该齐次线性方程组的一组基础解系。解：因为矩阵是阶，它的个行向量是某个元齐次线性方程组的一组基础解系，所以的行向量组线性无关，即又设该线性方程组为则因为可逆，所以又的矩阵，所以行向量组线性无关。设则即的各行均为的行向量组的线性组合，而的行向量组为线性方程组为的基础解系，所以的行向量组也满足前面已经证明故构成线性方程组的基础解系。6.设线性方程组与方程有公共解，求的值以及所有的公共解。解：因为两个方程组有公共解，联立两个方程组得到新的方程组：对其增广矩阵进行初等行变换，可得：因为方程组有解，故系数矩阵得秩应该等于增广矩阵得秩，所以得：即或者当时，其通解为：为任意常数。当时，其解为：习题5.3参考答案1.求下列非齐次线性方程组的通解：（1）解：与原方程组同解的方程组为：故通解为：为任意常数。（2）解：原方程组的同解方程组为：故通解为：为任意常数。（3）解：与原方程组同解的方程组为：故通解为：为任意常数。（4）解：与原方程组同解的方程组为：故通解为：为任意常数。2.已知是线性方程组的解，求方程组的通解。解：由系数矩阵中有一个二阶非零子式，故又是齐次线性方程组的两个线性无关解，而有即从而可得所以方程组的通解为：为任意常数。3.已知非齐次线性方程组有三个线性无关解。（1）证明方程组系数矩阵的秩等于（2）求的值以及方程组的通解。解：（1）设是该线性方程组的三个线性无关解，则是对应的齐次线性方程组的两个线性无关解，因而即又因为系数矩阵有一个二阶子式于是从而可得（2）因为故可得到此时增广矩阵为：可得方程组的通解为：为任意常数。4.设（1）求矩阵的行列式。（2）已知线性方程组有无穷多解，求的值以及的通解。解：（1）（2）已知线性方程组有无穷多解，故可得当时，因为故线性方程组无解，不合题意，舍去。当时，可得方程组的通解为：为任意常数。5.设非齐次线性方程组与同解，求的值。解：可求出方程组的一个特解为：由于两个方程组同解，故也满足第一个方程组，将其代入第一个方程组可得：验证，当时，两个方程组有相同的解，其通解为：为任意常数。6.已知求（1）取何值时，不能由线性表示。（2）取何值时，可由线性表示，并写出表达式。解：（1）设有常数使得则有方程组对方程组的增广矩阵实施初等行变换可得：所以当时，方程组无解，从而不能由线性表示。（2）当时，方程组有解，从而能由线性表示。若时，原方程组可变为可得方程组的通解为：从而为任意常数。若若时，可得方程组的解为：从而7.设一个四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，是的解，且求的通解。解：因为是的解，且所以是齐次线性方程组的解。又因为四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，故其对应的齐次线性方程组的秩也为三，其对应齐次线性方程组的基础解系为一个，所以可得的通解：为任意常数。8.设是非齐次线性方程组的一个解，是其对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）向量组线性无关。（2）向量组线性无关。解：（1）设有常数使得在上式两端同时左乘矩阵可得：又由已知条件可知是其对应的