教学内容极限存在准则与两个重要极限课件

教案六教学内容：极限存在准则与两个重要极限；无穷小的比较.教学要求：(1)了解两个极限存在准则。(2)会用两个重要极限求一般简单未定式的极限，对于未定式求极限不必做过多的练习。(3)掌握无穷小的比较的有关概念（特别是高阶无穷小与等价无穷小）。教案六教学内容：极限存在准则与两个重要极限；无穷小的比较.1第六节

极限存在准则与

两个重要极限第六节

极限存在准则与

两个重要极限2一.夹逼准则

证:

由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故定理1.一.夹逼准则证:由条件(2),当时,当时,令则当3例1.证明证:利用夹逼准则.且由例1.证明证:利用夹逼准则.且由4定理2.且(利用定理1及数列的夹逼准则可证)定理2.且(利用定理1及数列的夹逼准则可证)5圆扇形AOB的面积重要极限1.证:当即亦即时，显然有△AOB

的面积＜＜△AOD的面积故有圆扇形AOB的面积重要极限1.证:当即亦即时，显然6例2.

求解:例3.求解:令则因此原式例2.求解:例3.求解:令则因此原式7例4.

求解:原式=例5.已知圆内接正n边形面积为证明:证:说明:计算中注意利用例4.求解:原式=例5.已知圆内接正n边形8二.单调有界收敛准则

(证明略)二.单调有界收敛准则(证明略)9例6.设证明数列极限存在.证:利用二项式公式,有例6.设证明数列极限存在.证:利用二项式公式,10大大正又比较可知大大正又比较可知11根据单调有界收敛准则可知数列记此极限为e,e为无理数,其值为即有极限.又根据单调有界收敛准则可知数列记此极限为e,e为无理数12重要极限2.证:当时,设则重要极限2.证:当时,设则13当则从而有故说明:此极限也可写为时,令当则从而有故说明:此极限也可写为时,令14例6.

求解:令则说明

：若利用则原式例6.求解:令则说明：若利用则原式15例7.求解:原式=例7.求解:原式=16*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)

数列极限存在的充要条件是:存在正整数N,使当时,证:“必要性”.设则时,有使当因此“充分性”证明从略.有*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)数列极限存在的充17的不同数列内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在(2)数列极限存在的夹逼准则法1找一个数列且使法2找两个趋于及使不存在.函数极限存在的夹逼准则的不同数列内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)18思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的19故极限存在，备用题

1.设,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则故极限存在，备用题1.设,且求解：设则由递推公式有∴数202.设证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消”法2.设证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“212.两个重要极限或注:代表相同的表达式2.两个重要极限或注:代表相同的表达式22第七节

无穷小的比较第七节

无23都是无穷小,但可见无穷小趋于0的速度是多样的.引例都是无穷小,但可见无穷小趋于0的速度是多样的.引例24定义.若则称

是比

高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称

是比

低阶的无穷小;则称

是

的同阶无穷小;则称

是关于

的k阶无穷小;则称

是

的等价无穷小,记作定义.若则称是比高阶的无穷小,若若若若或设是自25例如

,当～时～～又如

，故时是关于x的二阶无穷小,～且例如,当～时～～又如，故时是关于x的二阶无穷小,～26例1.

证明:当时,～证:～例1.证明:当时,～证:～27～～定理1.证:即即例如,～～故～～定理1.证:即即例如,～～故28定理2.设且存在,则证:例如,定理2.设且存在,则证:例如,29设对同一变化过程,

,

为无穷小,说明:无穷小的性质,(1)和差取大规则:由等价可得简化某些极限运算的下述规则.若

=o(

),(2)和差代替规则:例如,例如,设对同一变化过程,,为无穷小,说明:无穷小的30(3)因式代替规则:界,则例如,

例1.求解:原式(3)因式代替规则:界,则例如,例1.求解:原式31例2.求解:例2.求解:32内容小结1.无穷小的比较设

,

对同一自变量的变化过程为无穷小,且

是

的高阶无穷小

是

的低阶无穷小

是

的同阶无穷小

是

的等价无穷小

是

的k阶无穷小内容