第七次课平面

学习内容及学习重点学习内容：

平面内的投影面平行线

平面内的最大斜度线

学习重点：

平面内水平线的作图方法

平面内正平线的作图方法对V面、H面最大斜度线的作图方法第四节平面内的特殊直线一、平面内的投影面平行线a’b’c’abcOXd’d水平线(1)所作直线应既是水平线，同时又在已知平面内(2)过a’作a’d’//OX轴(3)求出d’的水平投影d(4)连接ad后，即得到平面ABC内的水平线AD§3—4平面内的特殊直线作图思路：一、平面内的投影面平行线正平线(1)所作直线应既是正平线，同时又在已知平面内(2)过a作ae//OX轴(3)求出e的正面投影e’(4)连接a’e’后，即得到平面ABC内的正平线AEa’b’c’abcOXee’§3—4平面内的特殊直线作图思路：二、平面内的最大斜度线平面内对H面的最大斜度线平面内的最大斜度线就是平面内垂直于各投影面的平行线的直线。

垂直于水平线的直线叫做对H面的最大斜度线。垂直于正平线的直线叫做对V面的最大斜度线。§3—4平面内的特殊直线在图示的平面内，因为直线AB⊥AC，且AC又是水平线，所以AB是对H面的最大斜度线。根据直角的投影特性可知ab⊥ac，也就是说，平面内对H面的最大斜度线的水平投影必垂直于该平面内的水平线的水平投影。（3）用直角三角形法求出BD对H面的倾角α。a’b’c’abcm’mdd’α（1）在已知平面内作水平线AM。（2）作bd⊥am；作出b’d’。BD即对H面的最大斜度线。§3—4平面内的特殊直线[例题1]：

求作已知平面ABC内对H面的最大斜度线，并求该线对H面的倾角。作图思路：（2）用直角三角形法求出MN对V面的倾角β。（1）由于直线AB与CD平行且均为正平线，所以不难作出AB及CD的垂线MN。直线MN即对V面的最大斜度线。a’b’abc’d’cdm’n’mnβ§3—4平面内的特殊直线[例题2]：

求作已知平面ABCD内对V面的最大斜度线，并求该线对V面的倾角。作图思路：（3）连接e’k’，即得到正平线EK。（1）在H面过k作正平线的水平投影平行于OX轴。a’b’c’d’abcdk’keff’e’（2）作辅助线CF，得平面内点E。§3—4平面内的特殊直线[例题3]：

在由两相交直线AB和CD组成的平面内，过交点K作一正平线。作图思路：求作△ABC和正垂面P的交线，并判别三角形ABC的可见性。§3—8综合性作图问题举例由于cd不平行于ab,即CD不平行于AB，所以AB不平行于△LMN。§3—8综合性作图问题举例直线和平面平行的判定规则是：§3—7直线和平面垂直、两平面垂直§3—5直线和平面平行、两平面平行对V面、H面最大斜度线的作图方法一、平面内的投影面平行线由于cd不平行于ab,即CD不平行于AB，所以AB不平行于△LMN。求作AB和铅垂面P的交点。若一平面内的相交两直线对应平行于另一平面内的相交两直线，则此两平面相互平行。由于cd不平行于ab,即CD不平行于AB，所以AB不平行于△LMN。（3）在平面△ADC内求出最大斜度线AE，进而求出倾角α。（1）在V面过c’作水平线的正面投影平行于OX轴。（2）作a’b’的延长线得到d’,进而求得cd。a’b’c’cabd’dee’mmα§3—4平面内的特殊直线[例题4]：

在由直线AB和点C组成的平面内，过A点作平面的最大斜度线，并求平面的坡度角α。作图思路：学习内容及学习重点学习内容：

直线和平面平行

两平面平行

学习重点：

掌握上述平行问题的判断方法掌握上述平行问题的图示、图解方法第五节直线和平面平行、两平面平行一、直线和平面平行直线和平面平行的判定规则是：一直线和一平面内的直线平行，则此直线就该平面平行。§3—5直线和平面平行、两平面平行[例题1]：试判断直线AB是否平行于△LMN。作辅助直线的正面投影c’d’∥a’b’。a’b’abl

’m’n’lnmc’d’cd求出水平投影cd。由于cd不平行于ab,即CD不平行于AB，所以AB不平行于△LMN。§3—5直线和平面平行、两平面平行作图思路：[例题2]：试经过点A作一条水平线平行于平面BCD。在平面BCD内作水平线MN。过点A作直线AE∥MN，即所求。a’ab’bc’cd’dm’n’mne’e§3—5直线和平面平行、两平面平行作图思路：当直线和投影面垂直面平行时，此垂直面有积聚性的迹线必和此直线的同面投影平行。并且，ab和PH之间的距离等于直线AB与铅垂面P之间的距离。距离PHa’b’abHPABabPH§3—5直线和平面平行、两平面平行特殊情况：二、两平面平行平面和平面平行的判定规则是：ABCDPQA1B1C1D1若一平面内的相交两直线对应平行于另一平面内的相交两直线，则此两平面相互平行。§3—5直线和平面平行、两平面平行[例题1]：试判断平面ABC和平面LMN是否相互平行。a’ab’bc’cl’m’n’lmnk’k思路：试图在平面ABC内作出相交两直线平行于平面LMN。当在平面ABC内过A点作一条辅助直线不平行于平面LMN时，即可判定两已知平面不平行。§3—5直线和平面平行、两平面平行[例题2]：试过点L作一个平面平行ABC。思路：试图过点L作两条直线LM和LN，其中使LM∥AB，LN∥BC。a’ab’bc’cl’lm’mn’n§3—5直线和平面平行、两平面平行当两平面都是同一投影面的垂直面时，可直接根据迹线来判断它们是否相互平行。并且，迹线的距离即等于两垂直面的空间距离。距离QHPHHQPHPQH§3—5直线和平面平行、两平面平行特殊情况：学习内容及学习重点学习内容：

直线和平面相交

两平面相交

可见性判断学习重点：

掌握线面相交求交点及可见性判断的方法

掌握两平面相交求交线及可见性判断的方法第六节直线和平面相交、两平面相交一、直线和特殊位置平面相交直线AB和平面P相交，有一个交点K。PHPHAKBakb水平投影k必是PH和ab的交点。有了水平投影k，就可以在直线的正面投影上定出k'。§3—6直线和平面相交、两平面相交交点画法分析：作图步骤：(1)用字母k标出ab和PH的交点；a’ab’bPHkk’(2)由k向上作铅垂联系线与a‘b’相交，得k'。§3—6直线和平面相交、两平面相交[例题1]：求作AB和铅垂面P的交点。作图步骤：(1)用字母k'标出c'd'和Qv的交点；(2)由k’向下作铅垂联系线与cd相交，得k。QVd’c’dck’k§3—6直线和平面相交、两平面相交[例题2]：求作CD和正垂面Q的交点。如图，求作直线EF和一般位置平面△ABC的交点，应分三步进行：（1）经过已知直线EF作一个辅助平面P；HPABCabcMNmnPHEefFk’k（2）求辅助平面P同已知平面△ABC的交线MN；（3）确定此交线MN同已知直线EF的交点。

为作图简化，过已知直线所作的辅助平面，通常选择特殊位置平面。§3—6直线和平面相交、两平面相交交点画法分析：二、直线和直线和一般位置平面相交二、直线和一般位置平面相交具体做法如下：a’ac’cb’be’f’fePHmnm’n’k’kHPABCabcMNmnPHEefFk’k§3—6直线和平面相交、两平面相交二、直线和直线和一般位置平面相交§3—6直线和平面相交、两平面相交求△ABC和铅垂面P的交线。§3—6直线和平面相交、两平面相交由立体几何可知：一条直线若和一个平面内的任意两条相交直线垂直，则这条直线就和这个平面互相垂直。经过已知点作直线垂直相交于已知直线。直线AB和平面P相交，有一个交点K。（2）求辅助平面P同已知平面△ABC的交线MN；§3—6直线和平面相交、两平面相交该平面也就是通过B点且垂直于BC的直线的轨迹。§3—7直线和平面垂直、两平面垂直第三步：用直线连接A和K，即得所求.平面垂线的侧面投影必垂直于这个平面内侧平线的侧面投影。思路：试图在平面ABC内作出相交两直线平行于平面LMN。由立体几何可知：一条直线若和一个平面内的任意两条相交直线垂直，则这条直线就和这个平面互相垂直。求△ABC和铅垂面P的交线。三、一般位置平面和特殊位置平面相交三、一般位置平面和特殊位置平面相交如图，一般位置平面和特殊位置平面相交，所得交线投影的画法，可归结为求作一般位置平面内的两条直线AB、CD和特殊位置平面的两个交点M、N的投影。可见，这个问题的解法是前一个问题的应用。HPABCabcMNmnPH§3—6直线和平面相交、两平面相交三、一般位置平面和特殊位置平面相交求△ABC和铅垂面P的交线。a’ac’cb’bPHmnm’n分别求出直线AB和CD与铅垂面P的交点M和N，再连接MN即所求。§3—6直线和平面相交、两平面相交具体做法如下：四、两个一般位置平面相交求作两个一般位置平面的交线时，必须加上两个辅助平面T1、T2，求出所给平面的两个公共点Ⅰ、Ⅱ，再用直线联接这两个公共点，即为所求的交线。辅助平面的选择，显然也是以特殊位置平面为好。§3—6直线和平面相交、两平面相交T1Va’b’c’d’abcd1T2Ve’f’k’l’efkl21’2’§3—6直线和平面相交、两平面相交[例题]：求作两个一般位置平面的交线。五、直线与平面相交的可见性判断在直线和平面的交点确定了以后，还会产生判别直线可见性的问题。交点是可见部分与不可见部分的分界点，不可见部分画成虚线。(1)读出直线和平面在空间的趋势(上行或下行)，从而确定直线的可见性；(2)利用直线和平面上的重影点的可见性，从而确定直线的可见性。§3—6直线和平面相交、两平面相交判别可见性的途径有下面两条：k’c’cd’dQVk直线与正垂面相交§3—6直线和平面相交、两平面相交k’a’ab’bkPH直线与铅垂面相交[例题1]：一般位置直线与特殊平面相交后的可见性判断。12a’ac’cb’be’f’fek’k1’2’1(2)3’4’343’(4’)利用重影点判断可见性§3—6直线和平面相交、两平面相交[例题2]：一般位置直线与一般位置平面相交后可见性判断。立体图投影图LANMKHBlmncCcc’k’b’a(b)l’m’n’mna’lk§3—6直线和平面相交、两平面相交[例题3]：投影面垂直线与一般位置平面相交后可见性判断。利用铅垂线水平投影的积聚性作可见性判断作法：(1)用m’和n’分别标出a’c’和b'c’与Pv的交点；a’ab’bc’cPVm’n’mn(2)用m’向下作铅垂联系线，在ac上得m点；(3)由m作直线平行于ab，在bc上得n点。判别△ABC的可见性：因空间线段MC和NC都在P面以下，所以它们的水平投影均不可见，应画成虚线。交线是可见部分和不可见部分的分界线。§3—6直线和平面相交、两平面相交[例题4]：已知△ABC的一边AB平行于正垂面P，BC为侧平行线。求作△ABC和正垂面P的交线，并判别三角形ABC的可见性。思路：过其中一个三角形的两条边分别作两个辅助平面，去求所给平面的两个公共点，以定交线。a’ab’bc’cd’de’ef’fPVm’mQVnn’121’2’1(2)3’4’343’(4’)(1)过AC作正垂面Pv，求出AC和△DEF的交点M；(2)过BC作正垂面Qv，求出DC和△DEF的交点N；(3)连接M和N，MN即为所求交线。(4)利用重影点的方法判别可见性。§3—6直线和平面相交、两平面相交[例题5]：求作△ABC和△DEF的交线，并判别它们的可见性。学习内容及学习重点学习内容：直线和平面垂直

两平面垂直

学习重点：

掌握直线和平面垂直的作图法掌握求点到平面距离的作图法

掌握两平面垂直的作图法第七节直线和平面垂直、两平面垂直一、直线和平面垂直由立体几何可知：一条直线若和一个平面内的任意两条相交直线垂直，则这条直线就和这个平面互相垂直。由左图推导可得出结论：平面垂线AB的水平投影必垂直于这个平面内水平线的水平投影。同理，平面垂线的正面投影必垂直于这个平面内正平线的正面投影；平面垂线的侧面投影必垂直于这个平面内侧平线的侧面投影。§3—7直线和平面垂直、两平面垂直§3—7直线和平面垂直、两平面垂直一、直线和特殊位置平面相交对V面、H面最大斜度线的作图方法判别可见性的途径有下面两条：一旦求出了垂足K，再用直角三角形法求出AK的实长，那么所求实长就是已知点A到△BCD的真实距离§3—7直线和平面垂直、两平面垂直由于cd不平行于ab,即CD不平行于AB，所以AB不平行于△LMN。一、平面内的投影面平行线当在平面ABC内过A点作一条辅助直线不平行于平面LMN时，即可判定两已知平面不平行。§3—6直线和平面相交、两平面相交平面内的投影面平行线§3—8综合性作图问题举例掌握上述平行问题的图示、图解方法(4)连接a’e’后，即得到平面ABC内的正平线AE可以先画出这个轨迹平面，再求出已知直线MN和和轨迹平面的交点K，直线AK就同时满足上述两个条件。§3—6直线和平面相交、两平面相交第二步：过已知点A的水平投影a作ae垂直于水平线BM的水平投影bm。a’ab’bc’cd’dm’mnn’ee’第一步：过所给△BCD的一个顶点B作一条水平线BM和一条正平线BN。§3—7直线和平面垂直、两平面垂直[问题1]：经过已知点作直线垂直于已知平面。最后ae和a’e’即为所求垂线AE的投影。·第三步：又过已知点A的正面投影a’和a’e’垂直于正平线BN的正面投影b’n’。aa’ab’bc’cd’dm’mnn’ee’刚才并没有求出AE在△BCD上的垂足，为求垂足K，需要利用辅助平面法求出AE和△BCD的交点。一旦求出了垂足K，再用直角三角形法求出AK的实长，那么所求实长就是已知点A到△BCD的真实距离§3—7直线和平面垂直、两平面垂直[问题1]：经过已知点作直线垂直于已知平面。aa’ab’bc’cd’dee’kk’距离第二步：确定A点到直线EF的距离第一步：过A点作平面垂直于直线EFa’ae’ef’fb’bc’ca’ae’ef’fb’bc’c1’12’2kk’距离§3—7直线和平面垂直、两平面垂直[问题2]：经过已知点作平面垂直于已知直线。第三步：用直线连接A和K，即得所求.第二步：求直线EF和平面P的交点K，此点即为垂足;第一步：过A点作平面P垂直于直线EF;§3—7直线和平面垂直、两平面垂直[问题3]：经过已知点作直线垂直相交于已知直线。第三步：用直线连接A和K，即得所求.根据上述两个问题可得出这个问题的解法(图形同前面两问题)：二、两平面垂直据此条件并运用平面垂线的投影特性，即可解决两平面垂直的作图问题。由立体几何可知，两平面垂直的条件是：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面就互相垂直。a’a1’12’23’4’34n’nm’m解题的第一步应过已知点A作一条直线垂直于已知平面；第二步应过这条垂线作平面。过点A作平面垂直于已知平面§3—7直线和平面垂直、两平面垂直学习内容及学习重点学习内容：综合性作图问题

学习重点：对本章所述知识点的