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文档简介
北京潞河中学分校2022年高三数学文测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知为虚数单位,且,则在复平面上对应的点坐标为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:D2.
函数的值域是(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:答案:C3.已知集合为实数,且,为实数,且,则M∩N中的元素的个数为(
)A.0
B.1
C.2
D.3
参考答案:B4.在平面直角坐标系中,点M(3,m)在角α的终边上,点N(2m,4)在角α+的终边上,则m=(
) A.﹣6或1 B.﹣1或6 C.6 D.1参考答案:D考点:任意角的三角函数的定义.专题:计算题;三角函数的求值.分析:直接利用任意角的三角函数的定义,列出关系式,然后求解即可.解答: 解:由题意,tanα=,tan(α+)==∴=,∴m=﹣6或1,当m=﹣6时,点M在第四象限的前半部分,而点N在第二象限,故选:D.点评:本题考查三角函数的定义的应用,两角和与差的三角函数,考查计算能力.5.若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形,且其体积为,则该几何体的俯视图可以是参考答案:C略6.数列的首项为,为等差数列且,若,,则(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B7.函数y=cos2(x﹣)是()A.最小正周期是π的偶函数B.最小正周期是π的奇函数C.最小正周期是2π的偶函数D.最小正周期是2π的奇函数参考答案:A略8.函数的定义域是A. B. C. D.参考答案:【答案解析】D
要使函数有意义则故选D。【思路点拨】先表示有意义的式子,再解出结果。9.直角△ABC中,∠C=90°,D在BC上,CD=2DB,tan∠BAD=,则sin∠BAC=()A. B. C. D.或参考答案:D【考点】正弦定理.【专题】计算题;转化思想;数形结合法;解三角形.【分析】设DE=k,BD=x,CD=2x,BC=3x,先在Rt△ADE中,由tan∠BAD=,得出AE=5k,AD=k,在Rt△BDE中,由勾股定理求出BE,于是AB=AE+BE=5k+,然后根据AC的长度不变得出AD2﹣CD2=AB2﹣BC2,即26k2﹣4x2=(5k+)2﹣9x2,解方程求出x=k,或x=k,然后在Rt△ABC中利用正弦函数的定义即可求解.【解答】解:设DE=k,BD=x,CD=2x,BC=3x.∵在Rt△ADE中,∠AED=90°,tan∠BAD==,∴AE=5DE=5k,∴AD==k.∵在Rt△BDE中,∠BED=90°,∴BE==,∴AB=AE+BE=5k+.∵∠C=90°,∴AD2﹣CD2=AB2﹣BC2,即26k2﹣4x2=(5k+)2﹣9x2,解得k2=x2,或x2,即x=k,或x=k,经检验,x=k,或x=k是原方程的解,∴BC=3k,或k,AB=AE+BE=5k+=6k,或,∴sin∠BAC==,或.【点评】本题考查了解直角三角形,勾股定理,锐角三角函数的定义,设DE=k,BD=CD=x,利用勾股定理列出方程26k2﹣4x2=(5k+)2﹣9x2是解题的关键,本题也考查了解无理方程的能力,考查了转化思想和数形结合思想,计算量较大,属于难题.10.如图,在四面体A-BCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)的球心0,且与BC、DC分别交于E、F,如果截面MF将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC表面积分别为,则必有()A.S1与S1的大小不确定
B.C.
D.参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知命题p:?x∈R,cosx≤1,则p:参考答案:略12.中心在坐标原点,焦点在y轴上的椭圆,其一个焦点与短轴两端点的加线互相垂直,且此焦点与椭圆上的点之间的距离最小值为,则椭圆的标准方程为
。参考答案:13.直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上.若AB=BC=2,∠ABC=90°,AA1=2,则球O的表面积为____________.参考答案:1614.设,若恒成立,则k的最大值为________.参考答案:815.设等差数列的前项的和为,若,则
。参考答案:24略16.已知直线l⊥平面α,直线m包含于平面β,则下列四个命题:
①若α∥β,则l⊥m;
②若α⊥β,则l∥m;
③若l∥m,则α⊥β;
④若l⊥m,则α∥β.其中正确命题的序号是___________.参考答案:①③略17.从1,2,…,10中随机抽取三个各不相同的数字,其样本方差的概率=
.参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知a,b是正实数,且,证明:(1);(2).参考答案:(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)利用基本不等式证明即可.(2)利用综合法,通过重要不等式证明即可.【详解】是正实数,,,∴,当且仅当时,取∴∴∴当且仅当即时,取【点睛】本题考查不等式的证明,综合法的应用,基本不等式的应用,是基本知识的考查.19.已知,在中,是上一点,的外接圆交于,.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若平分,且,求的长.
参考答案:(Ⅰ)略(Ⅱ)1解析:(Ⅰ)连接,∵四边形是圆的内接四边形,∴,又,∴∽,∴,又,∴
………(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)∽,知,又,∴,∵,∴,而是的平分线∴,设,根据割线定理得即,解得,即
…………(10分).
略20.在△ABC中,角A,B,C的对角分别为a,b,c且cosC+cosB=3cosB.(1)求sinB;(2)若D为AC边的中点,且BD=1,求△ABD面积的最大值.参考答案:【考点】正弦定理.【分析】(1)由正弦定理,三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式化简已知可求cosB,进而利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值.(2)由已知可求||=|2|=2,两边平方,利用平面向量数量积的运算,基本不等式可求||||≤,由三角形的面积公式即可计算得解.【解答】解:(1)∵cosC+cosB=3cosB.∴由正弦定理可得:==3cosB,∴cosB=,sinB==.(2)由BD=1,可得:||=|2|=2,∴2+2+2=4,∴||2+||2+2||||cosB=4,可得:||2+||2=4﹣||||,∵||2+||2≥2||||,∴4﹣||||≥2||||,可得:||||≤,(当且仅当||=||时等号成立)∴S△ABD=||||sinB≤=.21.(本小题满分12分)在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组(每人参加且只参加一个兴趣小组)情况调查中,经统计得到如下2×2列联表:(单位:人)
篮球排球总计男同学16622女同学81220总计241842(Ⅰ)据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关?(Ⅱ)在统计结果中,如果不考虑性别因素,按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈.已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”.①求在甲被抽中的条件下,乙丙也都被抽中的概率;②设乙、丙两人中被抽中的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X).下面临界值表供参考:0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式:命题意图:考查分类变量的独立性检验,条件概率,随机变量的分布列、数学期望等,中等题.参考答案:(Ⅰ)由表中数据得K2的观测值k≈4.582>3.841.
……2分所以,据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关.……4分(Ⅱ)①由题可知在“排球小组”的18位同学中,要选取3位同学.方法一:令事件A为“甲被抽到”;事件B为“乙丙被抽到”,则P(A∩B),P(A).所以P(B|A).
……7分方法二:令事件C为“在甲被抽到的条件下,乙丙也被抽到”,则P(C).②由题知X的可能值为0,1,2.依题意P(X0);P(X1);P(X2).
从而X的分布列为X012P
……10分于是E(X)0×+1×+2×.
……12分22.已知,函数的最小值为1.(1)求证:;(2)若恒成立,求实数的最大值.参考答案:(Ⅰ)
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