八年级上册数学全册全套试卷(提升篇)(Word版含解析)2951

八年级上册数学全册全套试卷（提升篇）（Word版含解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．（1ABCBC,DABE）已知△是等腰三角形，其底边是点在线段上，是直线上一BC点，且∠若∠等于60°（如图①）.求证：EB=AD；DEC=∠DCE,A（21DABDAB）若将（）中的“点在线段上”改为“点在线段的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析（：1）作DF∥BC交AC于F，由平行线AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角DFC=120°，得出AD=DF，FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，的性质得出∠ADF=∠ABC，∠形，∠由已知条件得出∠即可得出结论；（2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论.试题解析：（1）证明：如图，作DF∥BC交AC于F，ADF则△为等边三角形∴AD=DF，又∵∠DEC=∠DCB，∠DEC+∠EDB=60°，∠DCB+∠DCF=60°，∴∠EDB=∠DCA，DE=CD，在和△DEB△CDF中，EBDDFC120，EDBDCF，DECD∴△DEB≌△CDF，∴BD=DF，∴BE=AD.(2).EB=AD成立；DFBCACF理由如下：作∥交的延长线于，如图所示：1AD=DF同（）得：，FDC=ECDFDC=DEC，，ED=CD∠，∠∠∠又∵∠DBE=∠DFC=60°∴△DBE≌△CFD（），AAS∴EB=DF∴EB=AD.，，点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.2．在ABC中，BAC90,ABAC，点为直线上一动点（DBC点不与点B,CD重合），以AD为腰作等腰直角DAF，使DAF90，连接CF．1（）观察猜想1BC上时，如图，当点D在线①BC与CF的位置关系为__________②CF、DC、BC之间的数量关系为___________（提示：可证DABFAC）段；2（）数学思考2如图，当点D在线段的延长线CB1上时，（）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；3（）拓展延伸如图，当点D在线段的延长线时，将DAF沿线段翻折，使点与点重DFE3BCA合，连接CE、CF，若4CDBC,AC22，请直接写出线段的长．（提示：做CEAHBC于，做EMBD于M）H＝＋；（）2C⊥CF成立；BC＝CF＋DC不成立，正确①BCCF②BCCFDC【答案】（1）⊥；DCCFBC332结论：＝＋，证明详见解析；（）【解析】【分析】1BAC∠＝∠DAF＝，90°推出△DAB≌△FAC（）；SAS（）①根据正方形的性质得，②由正CFBD，全等三角形的性质可得到方形的性质可推出△DAB≌△FAC，根据ADEFACFABD，根据余角的性质即可得到结论；（）根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝，90°推出△DAB≌△FAC，根据2全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论；过作AHBC于H，过E作EMBD于，证明M△ADH≌△DEM，推出3A（）EMDH3，CMEM3，即可解决问题．DMAH2，推出【详解】ADEF中（1）①正方形，ADAF∵∠BAC∠DAF90∴BADCAF在△DAB与△FAC中ADAFBADCAFABAC∴△DAB≌△FACSAS∴BACF∴∠ACB∠ACF90，即BCCF；②∵△DAB≌△FAC∴CFBD∵BCBDCD∴BCCFCDBCCFBCCFDCDCCFBC证明：∵△ABC和△ADF都是等腰直角三角形（2）⊥成立；＝＋不成立，正确结论：＝＋∴AB＝，＝，ACADAF∠＝∠DAF＝，90°BAC∴∠BAD＝∠CAFADAFFACBADCAFABAC在△DAB和△中∴△DAB≌△FAC（）SAS∴∠ABD＝∠ACF，＝DBCF∵∠BAC＝，＝，90°ABAC∴∠ACB＝∠ABC＝45°ABD＝180°－45°＝135°∴∠∴∠ACF＝∠ABD＝135°∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝135°45°90°－＝，CFBC∴⊥∵CD＝DB＋BC，DB＝CF∴DC＝CF＋BC（3）过A作AHBC于H，过E作EMBD于M，∵BAC90，ABAV22BC2AB4，AHBHCH1BC2∴21CDBC1∴4∴DHCHCD3∵四边形ADEF是正方形∴ADDE，∠ADE90∵BCCF，EMBD，ENCF∴四边形CMEN是矩形∴NECM，EMCN∵∠AHD∠ADC∠EMD90∠ADH∠EDM∠EDM∠DEM90∴∴∠ADH∠DEM在△ADH和△DEM中ADHDEMAHDDMEADDE∴△ADH≌△DEM∴EMDH3，DMAH2∴CMEM3CE∴EM2CM232【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键．ABAC，D、E是斜边上两动点，且3．（1BC）如图，在中，1Rt△ABC∠DAE=45°，将△绕点逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF.AABE（1）试说明：△AED≌△；AFD求∠的度数和DE的长；（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BD=3，BC=8BE=3,CE=9BCF时，（2）当BAC=∠DAE=90°，D是斜边BC所在直线上一点，，求DE2的长.【答案】（1）略（2）∠BCF=90°DE=5（3）34或130【解析】试题分析：1由ABE≌AFC，得到AEAF，BAECAF，EAD45,BAECAD45,CAFCAD45,即DAF45.EAD，AED≌AFD.DAF从而得到2由△AED≌AFD得到EDFD，再证明DCF90，利用勾股定理即可得出结论.3AHBH1BC4.过点A作AHBC于根据等腰三角形三线合一得，H,2DHBHBD1或DHBHBD7,求出AD的长，即可求得DE2.试题解析：1ABE≌AFC，AEAF，BAECAF，EAD45,BAC90,BAECAD45,CAFCAD45,即DAF45.AFAE{EAFDAE在AED和AFD中，ADAD，AED≌AFD.2AED≌AFD，EDFD，ABAC,BAC90.BACB45，ACF45，BCF90.设DEx.DFDEx,CD9x.FCBE3.FC2DC2DF2,329x2x.2x5.解得：故DE5.3过点A作AHBC于根据等腰三角形三线合,一得，HAHBH1BC4.2DHBHBD1或DHBHBD7,AD2AH2DH217或65.DE22AD234或130.点睛：D是斜边BC所在直线,注意分类讨论.上一点A904．如图（1），在ABC中，，ABAC，点BCD是斜边的中点，点E，AC上，且EDF90．F分别在线（1）求证：DEF为等腰ABC的面积为7，求四边形AEDF的面积；段AB，直角三角形；（2）若（3）如图（2），如果点上时，点E运动到AB的延长线F在射线上且保持CAEDF90，DEF还是等腰直角三角形吗．请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）3.5；（3）是，理由见解析．【解析】【分析】（1）由题意连接AD，并利用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF为等腰直角三角形；（2）由题意分析可得S=S∆ADF+S∆ADE=S∆BDE+S∆CDF，以此进行分析计算求出四边形四边形AEDFAEDF的面积即可；（3）根据题意连接AD，运用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF为等腰直角三角形.【详解】解：（1）证明：如图①，连接AD.∵∠BAC=90˚,AB=AC,点D是斜边BC的中点，∴AD⊥BC，AD=BD，∴∠1=∠B=45°，∵∠EDF=90°，∠2+∠3=90°，又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，，∠1=∠BAD=BD,∠2=∠4，在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF(ASA),∴DE=DF,又∵∠EDF=90°∴ΔDEF为等腰直角三角形（2）由（1）可知DE=DF∠C=∠6=45°，∵∠2+∠3=90°∠2+∠5=90°，∴∠3=∠5，，.，又，∴△ADE≌△CDF，∴S四边形AEDF=S∆ADF+S∆ADE=S∆BDE+S∆CDF,，∴S∆ABC=2S四边形AEDF∴S四边形AEDF=3.5.（3）是.如图②，连接AD.∵∠BAC=90°AB=ACDBC，，是斜边的中点，∴AD⊥BC,AD=BD，∴∠1=45°，∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°，∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，∴∠DAF=∠DBE，∵∠EDF=90°，∴∠3+∠4=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠2=∠4,△BDE△ADF∠DAF=∠DBE，AD=BD,∠2=∠4,在和中，∴△BDE≌△ADF(ASA),∴DE=DF,又∵∠EDF=90°，∴△DEF.为等腰直角三角形【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．PMNPMPNMN5．已知点是线段上一动点，分别以，为一边，在的同侧作△，APMBPNBMAN△，并连接，．（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；（Ⅱ）如图2，当△，△都是等边三角形BMANⅠ）中，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，（Ⅲ）在（条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°．APMBPN时，（请证明你的结论；若不成立，试说明理由．Ⅱ）的【解析】【分析】(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交AN于点C，得出MCN90,因此有BM⊥AN；(2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN；(3)取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数.【详解】解：（Ⅰ）结论：＝，⊥BMANBMAN．理由：如图1中，∵MP＝，∠＝∠＝，＝，APAPMBPN90°PBPNMBP∴△≌△（ANPSAS），∴MB＝AN．延长交于点C．MBANMBPANP∵△≌△，PANPMB∴∠＝∠，PAN+PNA90°∵∠∠＝，PMB+PNA90°∴∠∠＝，MCN180°PMBPNA90°∴∠＝﹣∠﹣∠＝，∴BM⊥AN．（Ⅱ）结论成立理由：如图2中，APMBPN∵△，△，都是等边三角形APMBPN60°∴∠＝∠＝MPBAPN120°∴∠＝∠＝，又∵PM＝，＝，PAPBPNMPBAPNSAS∴△≌△（）MBAN∴＝．（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．∵△APM，△PBN都是等边三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，∴2PC＝2PA＝2PM＝＝PBPN，∵∠APC＝60°，∴△APC为等边三角形，∴∠PAC＝∠PCA＝60°，又∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝．90°【点睛】本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝．DE点是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂G足为H．1（）求证：△DCE为等腰三角形；（）若∠CDE＝，22.5°DC＝，求GH的长；223（）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．23CE2GH.1）证明见解析；（2）；（）＝，理由见解析2【答案】（【解析】【分析】11（1）根据题意可得∠CBD＝∠ABC＝∠ACB，，由，可得BD=DE∠DBC＝∠E＝22121CDE＝∠ACB＝∠E，可证DCE，根据三角形的外角性质可得∠△为等腰三角2∠ACB形；（2）根据题意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC，BH=HE=2+1，即可求GH的值；（3）CE=2GH，根据等腰三角形的性可得BG=GC，BH=HE，可得＝GHGC﹣HC＝GC﹣1（﹣）＝﹣121CEHECEBCBE+CE＝，即CE=2GH22【详解】证明：（）1∵AB＝，AC∴∠ABC＝∠ACB，∵BD平分∠ABC，11∴∠CBD＝∠ABC＝∠ACB，22∵BD＝，DE1∴∠DBC＝∠E＝∠ACB，2∵∠ACB＝∠E+∠CDE，1∴∠CDE＝∠ACB＝∠E，2∴CD＝，CE∴△DCE是等腰三角形2（）∵∠CDE＝，＝＝，22.5°CDCE∴∠DCH＝，45°且DH⊥BC，∴∠HDC＝∠DCH＝45°2∴DH＝，CHDH+CHDC2∵＝＝，222DHCH1∴＝＝，∵∠ABC＝∠DCH＝45°∴△ABC是等腰直角三角形，又∵点G是BC中点AGBCAGGCBG∴⊥，＝＝，BDDEDHBC∵＝，⊥BHHE2+1∴＝＝BHBG+GHCG+GHCH+GH+GH2+1∵＝＝＝＝1+2GH2+1∴＝2∴＝GH2（3）CE＝2GH理由如下：∵＝，点G是BC的中点，ABCABGGC∴＝，∵＝，BDDEDH⊥BC，BHHE∴＝，1121CE∵＝GHGC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝﹣BCBE+CE＝，22CE2GH∴＝【点睛】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.DE=DA(7．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，如图1)．(1)求证：∠BAD=∠EDC；(2)若点E关于直线BC的对称点为M(如图2)，连接DM，AM．求证：DA=AM．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC=∠ACB=60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可.MDC=BAD（2）根据轴对称的性质，可得DM=DA，然后结合（1）可得∠∠，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可.【详解】解：(1)如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠∠，BAC=ACB=60°BAD=60°DAEEDC=60°E∴∠﹣∠，∠﹣∠，又∵DE=DA，E=DAE∴∠∠，∴∠∠BAD=EDC．(2)DM=DEEDC=MDC由轴对称可得，，∠∠，∵DE=DA∴DM=DA由(1)可得，∠∠，MDC=BAD，，BAD=EDC∴∠∠，BAD+ADB=180°B=120°∵△ABD中，∠∠﹣∠，∴∠∠MDC+ADB=120°，ADM=60°∴∠，∴△ADM是等边三角形，∴AD=AM【点睛】．.本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质8．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高，D是AM上的点，以CD为一边，在CD的下方作等边△CDE，连结BE．（1）填空：∠ACB=____；∠CAM=____；（2）求证：△AOC≌△BEC；（3）延长BE交射线AM于点F，请把图形补充完整，并求∠的度数；BFM（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，设直线BE与直线AM的交点为F．∠BFM的大小是否发生变化？若不变，请在备用图中面出图形，井直接写出∠的度数；若变BFM化，请写出变化规律．【答案】（1）60°，30°；（2）答案见解析；（3）60°；（4）∠BFM＝60°．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质即可进行解答；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性BCE=ACD△ADCSASBEC；∠∠，根据就可以得出≌△质就可以（3）补全图形，由△ADC≌△BEC得∠CAM=∠CBE=30°,由三角形内角和定理即可求得∠BFM的度数；（4）画出相应图形，可知当点D在线段AM的延长线上且在BC下方时，如图，可以得出△ACD≌△BCE，进而得到∠CBE=∠CAD=30°，据此得出结论．【详解】(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°；∴线段AM为BC边上的高，1∴∠CAM=2∠BAC=30°，故答案为60，30°；（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE.在△ADC和△BEC中，ACBCACDBCE，CDCE∴△ACD≌△BCE(SAS)；（3）补全图形如下：由（1）（2）得∠CAM=30°，△ADC≌△BEC，∴∠CBE=∠CAM=30°，∵∠BMF=90°，∴∠BFM=60°；（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，画出图形如下：∵△与都是等边三角形，ABC△DECAC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，∴∠在△ACD和△BCE中，ACBCACDBCE，CDCE∴△ACD≌△BCE(SAS)，CBE=∠CAD=30°，∴∠AMC=∠BMO，又∵∠AOB=∠ACB=60°.∴∠即动点D在射线AM上时,∠AOB为定值60°.【点睛】，的性质的运用，等式的性质的运用，全的判定及性质的运用解答时证明三角形全等是关键.解题时注意：全等三角形60°.相等，等边三角形的三个内角都相等，等边三角形的三个内角相等，且都等于本题考查了等边三角形的性质的运用直角三角形，等三角形的对应角9．如图，△ABC中，＝＝＝，现有两点M、N分别从点A．点B同时出发，ABBCAC12cm沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动AMN秒后，△是等边三角形？（2）点M、N在BC边上运动时，运动秒后得到以MN△AMN？为底边的等腰三角形（3）M、N同时运动几秒后，AMN△是直角三角形？请说明理由．1248【答案】（）；（）；（）点、运动秒或秒或秒或秒后，12123MN3109557AMN△为直角三角形．【解析】【分析】1AMANMNA（）当＝时，△是等边三角形．设运动时间为秒，构建方程即可解决问t题；2MNBCCMBN（）点、在边上运动时，满足＝时，可以得到以为底边的等腰三角形MNAMN△．构建方程即可解决问题；3MNt（）据题意设点、运动秒后，可得到直角三角形△，分四种情况讨论即可．AMN【详解】1AMANMNA（）当＝时，△是等边三角形，设运动时间为秒t2t123t则有：＝﹣12解得＝t512故点、运动秒后，△是等边三角形；MNAMN52MNBCCMBN（）点、在边上运动时，满足＝时，可以得到以为底边的等腰三角形MNAMN△2t12363t则有：﹣＝﹣48解得＝t548故运动秒后得到以为底边的等腰三角形△；MNAMN53MNt（）设点、运动秒后，可得到直角三角形△AMN①当在上，在上，∠ANM＝时，90°如图MACNAB∵∠A＝60°∴∠AMN＝30°∴AM＝2AN2t2123t则有＝（﹣）∴t＝；3当在上，在上，∠AMN＝时，90°如图②MACNAB∵∠A＝60°∴∠ANM＝30°∴2AM＝AN∴4t＝12﹣3t12∴t＝；7③当M、N都在BC上，∠ANM＝90°时，如图CN＝3t﹣24＝6解得t＝10；④当M、N都在BC上，∠AMN＝90°时，则N与B重合，M正好处于BC的中点，如图此时2t＝12+6解得t＝9；12综上所述，点M、N运动3秒或秒或10秒或9秒后，△AMN为直角三角形．7【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.10．已知ABC为等边三角形，E为射线AC上一点，D为射线CB上一点，ADDE.AC（1）如图1，当点E在的延长线上且CDCE时，AD是ABC的中线吗？请说明理由；（2）如图2，当点E在的延长线上时，写出AB,BD,AE之间的数量关系，请说明理AC由；（3）如图3，当点D在线段的延长线上，点E在线段上时，请直接写出CBACAB,BD,AE的数量关系.【答案】（1）AD是ABC的中线，理由详见解析；（2）ABBDAE，理由详见解析；（3）ABAEBD.【解析】【分析】（）利用△是等边三角形及CD=CE可得∠CDE=∠E=30°，利用，证明1ABCAD=DE∠CAD=∠E=30°，即可解决问题．（）在AB上取BH=BD，连接DH，证明AHD≌△得出DH=CE2DCEAE=AB+BD，得出，（）在AB上取AF=AE，连接DF，利用△≌△得3AFDEFD出角的出△是等腰BDF关系，得三角形，根据边的关系得出结论AB=BD+AE．【详解】（）解：如图1，结论：AD是△的中线1ABC．理由如下：ABC∵△是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°∵CD=CE，，∴∠CDE=∠E，∵∠ACD=∠CDE+∠E=60°，∴∠E=30°，∵DA=DE，∴∠DAC=∠E=30°，∵∠BAC=60°，∴∠DAB=∠CAD，∵AB=AC，∴BD=DC，ABC∴AD是△的中线．2（）结论：AB+BD=AE，理由如下：如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，BH=BDB=60°，∵，∠∴△BDH为等边三角形，∴∠BHD=60°BD=DHAH=DCAB-BH=BC-BD，，，，AD=DE∵，∴∠E=∠CAD，∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠E∴∠BAD=∠CDE，BHD=60°ACB=60°，∵∠，∠∴180°-∠BHD=180°-∠ACB,∴∠AHD=∠DCE，∴在△AHD和△DCE，BADCDEAHDDCEADDE∴△AHD≌△DCE（AAS），∴DH=CE，，∴BD=CE∴AE=AC+CE=AB+BD（3）结论：AB=BD+AE，理由如下：如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，．∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°∴△AFE是等边三角形，∴∠FAE=∠FEA=∠AFE=60°，，∴EF∥BC，∴∠EDB=∠DEF，AD=DE∵，DEA=∠DAE，∴∠DEF=∠DAF，∴∠∵DF=DF，AF=EF，在△AFD和△EFD中，ADDEDFDF,AFEF∴△AFD≌△EFD（SSS）∴∠ADF=∠EDF，∠DAF=∠DEF，FDB=∠EDF+∠EDB，∠∴∠∠∠DFB=DAF+ADF，∵∠EDB=∠DEF，FDB=∠DFB，∴∠DB=BF∴，∵AB=AF+FB，∴AB=BD+AE．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段．三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．（阅读材料）xy2xy1．因式分解：22112．解：将“xy”看成整体，令xyA，则原式A2AAxy1再将“A”还原，原式2．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.（问题解决）15xy4xy（1）因式分解：（2）因式分解：2；abab44；n1n2n3n1的值一定是某个整数的平n（3）证明：若为正整数，则代数式2方．ab22；（3）见解析.．（2）1xy14x4y【答案】（1）【解析】【分析】（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用十字相乘法因式分解即可；（2）把a+b看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解；n+3n+12，进一步整理为（），根据为正n3n2n3n13（）将原式转化为n222n+3n+1整数得到也为正整数，从而说明原式是整数的平方．2【详解】15xy4xy1(xy)14(xy)(1xy)(14x4y)；1（）2abab44(ab)24(ab)4(ab2)2；2（）n3n2n3n13（）原式222n3n2n3n1222．n3n12n∵为正整数，∴n23n1为正整数．n1n2n3n1的值一定是某个整数的平方．∴代数2【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．m12．阅读材料：若﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0解：∵m2∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．探究下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；根据你的观察，（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．6、7、8、9、10；（3）8.【答案】(1)9；（2）△ABC的最大边c的值可能是【解析】试题分析：（1）直接利用配方法得出关于x，y的值即可求出答案；（2）直接利用配方法得出关于a，b的值即可求出答案；（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．﹣2xy+2y试题解析：（1）x2+6y+9=0，∵2∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，∴x﹣y=0，y+3=0，∴x=﹣3，y=﹣3，∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，9．即xy的值是（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，∴a﹣5=0，b﹣6=0，∴a=5，b=6，∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，∴6≤c＜11，∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．（3）∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，∴a﹣4=0，c﹣8=0，∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，∴a+b+c=4﹣4+8=8，即a+b+c的值是8．13．先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足abc）=ac．如374，因为它的百位上数字a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（abc3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；abcabc（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．【答案】（1）详见解析；（2）99或297．【解析】【分析】（1）首先由题意可得a+c=b，将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数”能被99整除，所abc以将展开式中100a拆成99a+a，这样展开式中出现了a+c，将a+c用b替代，整理出最终结果即可；（2）首先设出两个欢喜数m、n，表示出F（m）、F（n）代入F（m）﹣F（n）=3中，将式子变形分析得出最终结果即可.【详解】（1）证明：∵abc为欢喜数，∴a+c=b．∵abc=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除，∴11b能被99整除，99a能被99整除，∴“欢喜数”能被99整除；abc（2）设m=abc，n=abc（且a＞a2），11122∵F（m）﹣F（n）=a1•c1﹣a2•c2=a1•（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3，a1、a2、b均为整数，∴a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．m﹣n=100（a1﹣a2）﹣（a1﹣a2）=99（a1﹣a2），∵∴m﹣n=99或m﹣n=297．∴若F（m）﹣F（n）=3，则m﹣n的值为99或297．【点睛】做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形.14．阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（）（）．2+12+148经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平具体解法如下：（2+1）（）（）（）2+12+12+1方差公式解决问题，248=（2+1）（2﹣1）（）（2+12+12+1）（）824=（22﹣1）（22+1）（）（）2+12+148=21（﹣）（24+1）（）2+184=（28﹣1）（28+1）=216﹣1请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：（1）（2+1）（22+1）（）（）（）2+12+1=_____．2+14816（2）（3+1）（32+1）（）（）（）3+13+1=_____．3+14816（3）化简：（m+n）（2）（4）（8）（m+nm+nm+nm+n16）．162483321【答案】232﹣1；2【解析】【分析】（1）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；（3）分m=n与m≠n两种情况，化简得到结果即可．【详解】（1）原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=232-1；13321；2（2）原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=2（3）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．1（m-当m≠n时，原式=mn16+n16）=m32n32；n）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（mmnm=n=2m•2m…2m16=32m31．当时，原式2【点睛】此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．15．（观察）1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，48×2=96，49×1=49．（发现）根据你的阅读回答问题：（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为；（2aba）设参与上述运算的第一个因数为，第二个因数为，用等式表示与的数量关系b．是（类比）观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．mn猜想的最大值为，并用你学过的知识加以证明．（1）625；（2）a+b=50900.；；证明见解析【答案】【解析】【分析】1625；发现：（）观察题目给出的等式即可发现两数相乘，积的最大值为（2ab）观察题目给出的等式即可发现与的数量关系是a＋b＝50；＋60m＝−（m−30）2＋900，利m＋n＝60mn＝−m类比：由于，将代入，得2n＝60−mmn用二次函数的性质即可得出m＝30时，的最大值为【详解】900．mn1625．解：发现：（）上述内容中，两数相乘，积的最大值为625；故答案为（2aba）设参与上述运算的第一个因数为，第二个因数为，用等式表示与的数量关系b是a+b=50．故答案为a+b=50；n=60﹣mmn，类比：由题意，可得m+n=60，将代入得mn=﹣m2+60m=﹣（m﹣30）2+900，∴m=30时，的最大值为mn900．900．故答案为【点睛】本题考查了因式分解的应用，配方法，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米.由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车送小刚上学.已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？【答案】王老师的步行速度是5km/h，则王老师骑自行车的速度是15km/h.【解析】【分析】20王老师接小刚上学走的路程÷骑车的速度-平时上班走的路程÷步行的速度=60小时．【详解】设王老师的步行速度是xkm/h，则王老师骑自行车是3xkm/h，330.50.520，解得：x5，x60由题意可得：3x经检验，x5是原方程的根，∴3x15答：王老师的步行速度是5km/h，则王老师骑自行车的速度是15km/h.【点睛】本题考查列分式方程解应用题.重点在于准确地找出相等关系，需注意①王老师骑自行车接小刚所走路程是（3+3+0.5）千米；②注意单位要统一.17．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．（2）若甲工程队每天可以改造a米道路，乙工程队每天可以改造b米道路，（其中种施工改造方案：ab）．现在有两11方案一：前S米的道路由甲工程队改造，后S米的道路由乙工程队改造；22方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少【解析】【分析】1x（）设乙工程队每天道路的长度为米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；2（）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论．【详解】x30则甲工程队每天道路的长度为米，1（）设乙工程队每天道路的长度为米，x360300根据题意，得：x30x，解得：x150，检验，当x150时，xx300，x150，∴原分式方程的解为：x30180，180150答：甲工程队每天道路的长度为米，乙工程队每天道路的长度为米；11ss22t(ab)s，2（）设方案一所用时间为：ab2ab2s11t方案二所用时间为，则ta1tbst，，22ab2222ab2(ab)2∴2abSabS2ab(ab)S，∵ab，a0，b0，∴ab20，abS2S0，即：tt，∴2abab12∴方案二所用的时间少．【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键．18．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a0，b0时，∵(ab)2a2abb0，∴ab2ab，当且仅当ab时取等．号请利用上述结论解决以下问题：11最大值为__________．(1)当x0时，x的最小值为_______；当x0时，的xxxx23x16(2)当x0时，求y的最小值．x(3)ABCDACBDOAOB如图，四边形的对角线，相交于点，△、△的面积分别为和COD49ABCD，求四边形面积的最小值．【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25【解析】【分析】1x0a+b≥2ab（）当＞时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；＜时，a=bx01由于＞，＞，则也可以按照公式（当且仅当时取等号）来计算；-x0-0a+b≥2aba=bxx23x16x的分子分别除以分母，展开，将含的项用题中所给公式求得最2（）将yx小值，再加上常数即可；3（）设，已知，，则由等高三角形可知：：：S=xS=4S=9SS=SCODAOBBOCAOB△COD△BOC△△△△SxSABCD，用含的式子表示出，四边形的面积用含的代数式表示出来，再按照xAOD△AOD△题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】1解：（）当＞时，1x2x21x0xx1当＜时，1xx0xxx11x2x2∵xx1x2∴x1x的最小值为1x0时，xx0时，的最-2；大值为2；当∴当xxx23x1616x3x（）由y2xx0∵＞，1616∴yx32x311xx16当x时，最小值为；11x3S=xS=4S=9（）设，已知，COD△BOCAOB△△SS=SSAOD△△△则由等高三角形可知：：：BOC△CODAOBx9=4S∴：：△AOD36=xS∴：AOD△36132x3625=4+9+x+ABCD∴四边形面积xxx=6ABCD25当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大．?“？”看不清楚：132x.19．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数x2（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；“我看到标准答案是：方程的增根是x2，原分式方程妈妈说：（2）小华的无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？【答案】（1）x0;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.【解析】【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，（2）方程有故先去分母，再将x=2代入即可解答.增根是去分母时产生的，【详解】x2（1）方程两边同时乘以得53x21解得x0x0是原分式方程的解.经检验，（2）？设为，mx2方程两边同时乘以得m3x21x2是原分式方程的由于增根，所以把x2代入上面的等式得m3221m1所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.【点睛】.本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用增根是分式方程化为整式方程后产生的使分0①②式方程的分整式方程；母为的根.增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．20．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天2数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．3（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．【答案】（1）甲队单独完成需60天，乙队单独完成这项工程需要90天；（2）工程预算的施工费用不够，需追加预算4万元.【解析】【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计【详解】方程求解；算费用，作出判断．（1）解:设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成需要23x填；403012xx3解得：x90经检验，x=90是原方程的根．22则x9060（天）33答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天．（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，11+y(6090)=1.则有解得y=36.需要施工费用：36×(8.4+5.6)=504(万元).504>500.∵∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元．五、八年级数学三角形解答题压轴题（难）21．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（）观察规形图，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，1“”并说明理由；2（）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：2把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点①如图，B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX等于多少度；②如图，3DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；③如图，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、、9，若∠BDC=133°，4G…G2∠BG1C=70°，求∠A的度数．【答案】（1）详见解析；（2）；①50°②85°；③63°．【解析】【分析】（1）连接AD并延长至点F，根据外角的性质即可得到∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①根据（1）得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，再根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的度数；②先根据（）得出∠ADB+∠AEB=90°，再利用DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，即可求出1∠DCE的度数；11③由②得∠BG1C=（∠ABD+∠ACD+∠A133-x+x=70），设∠A为x°，即可列得（），1010求出x的值即可.【详解】1（）如图（），1连接AD并延长至点F，根据外角的性质，可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；2（）①由（），1可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，∵∠A=40°，∠BXC=90°，ABX+∠ACX=90°-40°=50°；∴∠②由（1），可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，1∴（∠∠ADB+AEB）=90°÷2=45°，2∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴ADC1ADB，AEC1AEB，22DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE,∴∠1=2（∠ADB+∠AEB）+∠DAE,=45°+40°,=85°；1③由②得∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A，10∵∠BG1C=70°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD=133°-x°1∴（133-x）+x=70，10113.3-∴x+x=70，10解得x=63，即∠A的度数为63°.【点睛】此题考查三角形外角的性质定理，三角形的外角等于与它不相邻的内角的和，，根据此定理得到角度的规律，由此解决问题，此题中得到平分角的变化规律是解题的难点.22．如图①所示，在三角形纸片ABC中，C70，B65，将纸片的一角折叠，使点A落在ABC内的点处A.（1）若140，2________.1（2）如图①，若各个角度不确定，试猜想，2，A之间的数量关系，直接写出结论.②当点A落在四边形BCDE外部时（如图②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，A，1，2之间又存在什么关系？请说明．3（）应用：如图③：把一个三角形的三个角向内折叠之后，且三个顶点不重合，那么图中的123456________.和是【答案】(1)50°；(2)①见解析;②见解析;(3)360°.【解析】【分析】C70，B65，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性1（）根据题意，已知质求解；2（）①先根据折叠得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，由两个平角∠AEB和∠ADC得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；②利用两次外角定理得出结论；3（）由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去（∠B'GF+∠B'FG）以及（∠C'DE+∠C'ED）和（∠A'HL+∠A'LH），再利用三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：（1）∵C70，B65，∴∠A′=∠A=180°-（65°+70°）=45°，∴∠A′ED+∠A′DE=180°-∠A′=135°，∴∠2=360°-（∠C+∠B+∠1+∠A′ED+∠A′DE）°=360-310°=50°；（2）①122A,理由如下由折叠得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，∵∠AEB+∠ADC=360°，∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A′DE-∠AED-∠A′ED=360°-2∠ADE-2∠AED，∴∠1+∠2=2（180°-∠ADE-∠AED）=2∠A；②22A1，理由如下：∵2是ADF的一个外角∴2AAFD.△AEF∵是的一个外角AFD∴AFDA1又∵AA∴22A1（3）如图由题意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-（∠B'GF+∠B'FG）-（∠C'DE+∠C'ED）-（∠A'HL+∠A'LH）（∠B'+∠C'+∠A'）=720°-（180°-∠B'）-（180°-C'）-（180°-A'）=180°+又∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．【点睛】题主要考查了折叠变换、三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内180360角和为°；四边形内角和等于度．ABCA=x23．如图，在中，记∠度，回答下列问题：