2020-2021学年北师大版数学九年级上册：第一章 特殊平行四边形 综合测试

第一章综合测试

一、选择题（共10题；共30分）

1.下列四个命题中，错误的命题是（）

A.四条边都相等的四边形是菱形；

B.对角线互相垂直平分的四边形是正方形；

C.有三个角是直角的四边形是矩形；

D.一组对边平行且相等，对角线垂直且相等的四边形是正方形.

2.如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上的点，且•若NABC=80。，则NBAE的大小是（）

A.30°B.40°C.70°D.80°

3.四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时;其形状也会随之改变，如图,

改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC'D',若N£/AB=3O°，则菱形ABC'D'的面积与正

方形ABCD的面积之比是（）

A.1B7c•也D•妇

2V~2

4.如图，矩形纸片ABCD中，4?=6cm，8c=8cm，现将其沼作对折，使得点B落在边AD上的点B处,

折痕与边BC交于点E,则CE的长为（)

BiD

BEC

A，2cmB-3cmC4cmD・6cm

5.如图，在矩形ABCD中，AE平分/以£）交BC于点E,ED=5,EC=3＞则矩形的周长为（）

A.18B.20D.24

6.如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若踮=4，AF=6，则AC

的长为（）

A-475B-673C-2>/30D-20为

3

7.如图，在菱形ABCD中，4?=5，AC=6,过点D作力K_L明，交BA的延长线于点E,则线段DE的长

为（)

E.

D

A-12B-18C.4D-24

TTT

8.如图，矩形ABCD中，43=4,4）=2,E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB,则

PB的最小值是（）

A.2B.4C•应D-2V2

9.如图，正方形ABCD和正方形DEFC的边长分别是5和3,且点E、C分别在AD、CD边上，H为BF的中点,

连接HG,则HG的长为（）

A.4B-Visc-7nD-272

10.如图，在矩形ABCD中，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形FEGH,且点E落在AD上，连接BE,BG,交

CE于点H,连接FH,若FH平分DEFG,则下列结论:

®AE+CH^EH；

②4DEC=2ZABE；

③BH=HG；

④CH=2A8，其中正确的个数是（）

A.1个B.2个D.4个

二、填空题（共6题；共18分）

11.矩形两条对角线的夹角为60°,矩形的较短的一边为5,则矩形的对角线的长是

12.菱形两邻角的比为i：3,边长为2.则该菱形的面积为

13.如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF,ZEAF=45°'BE=3，

CF=4'则正方形的边长为..

14.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点0,£月_|_45于点H,连接OH,ZCAD=35°,则

ZHOB的度数为-

D

15.如图，将两条宽度为3的直尺重叠在一起，使乙4BC=6O。，则四边形ABCD的面积是.

16.如图，矩形ABCD中，钻=12,点E是AD上的一点，.=6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F,

连接EF交CD于点G.若G是CD的中点，则BC的长是

三、解答题（共7题；共52分）

17.如图，四边形ABCD是平行四边形，DE//BF'且分别交对角线AC于点E,F,连接BE,DF.

（1）求证：AE=CF；

（2）若BE=DE，求证：四边形EBFD为菱形.

18.如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点0作垂线EF,与边AD,BC分别交于点E,F,连接BE,DF.

（1）求证：四边形EBFD是菱形；

（2）若4）=8，45=4，求四边形EBFD的周长.

19.如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B,C重合），点B关于直线AP的对称点为E,

连接AE.连接DE并延长交射线AP于点F,连接BF.

（1）若N84尸=口，直接写出/的的大小（用含a的式子表示）；

（2）求证：BFLDF；

（3）连接CF,用等式表示线段AF,BF,CF之间的数量关系，并证明.

20.如图,矩形ABCD中,钻=8，AD=\O-

（1）E是CD上的点，将△A。“沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处.求DE的长;

（2）点P是线段CB延长线上的点，连接PA,若△尔是等腰三角形，求PB的长;

（3）M是AD上的动点，在DC上存在点N,使△MON沿折痕MN折叠，点D落在BC边上点T处，请直接写

出线段CT长度的最大值与最小值.

21.如图，在长方形0ABC中，0为平面直角坐标系的原点，点A,点C分别在*轴，y轴上，点B坐标为（4,

6）,点P从点0出发，以每秒2个单位长度的速度沿OfC-B方向运动，到点B停止.设点P运动的时间

为/（秒）.

（1）点A的坐标为；

（2）当"1秒时，点P的坐标；

（3）当点P在0C上运动，请直接写出点P的坐标（用含有“勺式子表示）；

（4）在移动过程中，当点P到＞轴的距离为1个单位长度时，求f的值.

22.现有与菱形有关的三幅图，如下:

(1)(感知)

如图①，AC是菱形ABCD的对角线，/3=60。，E、F分别是边BC、CD上的中点，连结AE、EF、AF.若AC=2，

则CE+Cf'的长为一--

（2）（探究）如图②，在菱形ABCD中，/8=60。星是边BC上的点，连结AE,作尸=60。，边AF交

边CD于点F,连结EF.若8c=2，求CE+C/7的长.

（3）（应用）在菱形ABCD中，4=60。*是边BC延长线上的点，连结AE,作尸=60。，边AF交边

CD延长线于点F,连结EF.若8c=2，£FJ_BC时，借助图③直接写出下的周长.

23.已知：在矩形ABCD中，AB=1O，BC=12,四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、

BC、DA±,AE=2-

(1)如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GRC的面积；

(2)如图②，当四边形EFGH为菱形，且阱时，求△GFC的面积(用a表示)；

(3)在(2)的条件下，△GFC的面积能否等于2?请说明理由.

第一章综合测试

答案解析

、

1.【答案】B

【解析】A.四条边都相等的四边形是菱形，所以A选项为真命题；

B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以B选项为假命题；

C.有三个角是直角的四边形是矩形，所以C选项为真命题；

D.一组对边平行且相等，对角线垂直且相等的四边形是正方形，所以D选项为真命题.

故答案为：B

2.【答案】C

【解析】菱形ABCD,ZABC-80°;

1，

ZABE=Z.CBD=-ZABC=40°

2

BA=BE，

ZBAE=ZBEA==70°,

2

故答案为：C.

3.【答案】B

【解析】解：根据题意可知菱形45czy的高等于AB的一半，

二•菱形43czy的面积为］,，正方形ABCD的面积为

-AB2

2

二菱形ABC'。'的面积与正方形ABCD的面积之比是j.

2

故答案为：B.

4.【答案】A

【解析】解：矩形ABCD,

NB=/BAB1=90”

矩形纸片ABCD中，现将其沼作对折，使得点B落在边AD上的点B处,

ZBA£=ZB1AE=45°(AD=BC=S'

.•.△ME是等腰直角三角形，

：.AB=BE=6'

CE=BC-BE，

.-.C£：=8-6=2.

故答案为：A.

5.【答案】C

【解析】四边形ABCD是矩形，

..“=90°，AB=CD-AD//BC'

ED=5'EC=3'

DC2=DE2-CE2=25-9'

..7X7=4，Afi=4；

AD〃BC，

・・.ZAEB:ZDAE；

AE平分NB4O，

:.ZBAE=ZDAE^

:.ZBAE=ZAEB，

:.BE=AB=4^

矩形的周长=2(4+3+4)=22，

故答案为：c.

6.【答案】C

【解析】解：如图，连接AE,设EF与AC交点为O,

所是AC的垂直平分线,

:.OA=OC9AE=CE，

四边形ABCD是矩形,

・.NB=90。，AD〃BC，

/OAF=/OCE，

在AHO尸和△CQE中，

Z.AOF=/COE，

<OA=OC

ZOAF=ZOCE

/\AOF^/\COE(ASAy

..AF=CE=6,

:.AE=CE=6^BC=BE+CE=4+6=10,

/.AB=\lAE2-BE2=736-16=275'

/.AC=AB2+BC2=^20+100=2730'

故答案为：c.

7.【答案】D

【解析】如图.

BC

四边形ABCD是菱形,AC=6，

AC±BDf1'BD=2OB，

OA=-AC；=3

2

AB=5^

OB=\lAB2-OA2=4f

:.BD=2OB=8,

S&ABCD=ABDE=ACBD'

-ACBD!X6X8

2224

DE==

AB5T

故答案为：D.

8.【答案】D

【解析】解：如图:

当点F与点C重合时，点P在6处,=研

当点F与点E重合时，点P在只处,

EP2^DP2,

.,.《£〃€•£■且枕=CE-

当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP，

由中位线定理可知：PP〃CE且PP=CF，

.•.点P的运动轨迹是线段《A，

当8尸,时，PB取得最小值，

矩形ABCD中，A5=4，AD=2>E为AB的中点，

:./\CBE'LADE、△BCq为等腰直角三角形，C4=2,

；.ZADE=NCDE=NCRB=45”"EC=90。，

ZD£6=90°，

NW45。，

Z^^B=90°'即

二哥＞的最小值为台［的长，

在等腰直角8cq中，CP^BC=2,

：.BP、=2叵，

PB的最小值是25/2,

故答案为：D.

9.【答案】C

【解析】解：延长GF交AB于点P,过点H作MN_LCD于点M,交AB于点N.

四边形ABCD为正方形,

:.AB//CD^BC1CD；

四边形DEFG为正方形;

・.FGJ_CD，

:.FG//HM//BC^

”为BF的中点；

[PN=BN=CM=GM=LcG=L(5-3)=1

...“N为三角形BFP的中位线；

1，

:.HN=-FP=\

2

在直角三角形GHM中，由勾股定理得

GH=ylGM2+HM2=Vl2+42=717,

故答案为：C.

10.【答案】c

【解析】解：如图，作BM_L£C于M.

B

CB=CE，

・•・/CBE=/CEB，

AD//BC^

,.ZAEB=NCBE，

\ZAEB=AMEB^

ZA=ZBME=90°，BE=BE，

.△BEA^AfiEM（A4S）*

\AE=EM^AB=BM

ABMH=/GCH=琳，ZBHM=NGHC，BM=AB=CG^

.4BMg/\GCH（AAS）9

.MH=CH，BH=HG，

.EH=EM+MH=AE+CH，故①③符合题意，

NA£B+NA8E=90。，

.2ZAEB+2ZABE=180。，

ZDEC+ZA£C=180°»ZA£C=2ZA£B*

.ZDEC+2ZAEB=180。，

./DEC=2NABE，故②符合题意，

FH平分NEFG，

;"EFH=45。，

4FEH=骄，

1.AB=EF=EH，

EH>HM=CH，

/.CH<AB，故④不符合题意，

故答案为：C.

二、

11.【答案】10

【解析】解：如图：四边形ABCD是矩形,

1,1*AC=BD

.\OA=-ACOB=-BD

22

:.OA=OB^

ZA03=60。，

...△AOB是等边三角形，

:.OA=OB=AB^5，

.•.AC=2tM=10,即矩形对角线的长为10・

故答案为：10.

12.【答案】20

【解析】解：如图：过点D作£)石_LAfi于点E.

菱形ABCD的两个邻角与Nfi的比是1：3，

:.ZA=450'而NDE4=90°，

.•.△APE为等腰直角三角形.

/.AD=42DE'

又AB=AD=2'

.-.DE=—AD=42'

2

二菱形ABCD的面积=A5.£)E=2x夜=2夜，

故答案为：2版.

13.【答案】6

【解析】如图，延长CB至点G,使3G=OF，并连接AG,

在△ABG和/中，fAB=AD9

</ABC=NO=90。

GB=DF

AABG^AADF(SAS)'

AG=AF^NGAB=ZDAF，

NE4尸=45。，

ZBAE-^-ZDAF=ZBAE+ZGAB=ZGAE=45°

：.ZEAF=ZGAE^

在△AEG和△A£F中，AG=AF9

<ZEAG=ZEAF

AE=AE

A4EG也尸(SAS)，

..GE=EF，

设正方形边长为x，则8G=0E=L4，GE=EF=X-1，CE=X-3,

在mZ\C所中，(X_3)2+42=Q_I)2,

解得，x=6，

.•.正方形的边长为6,

故答案为：6.

4f

/\/

6-~SEC

14.【答案】70°

【解析】解：在菱形ABCD中，NC4D=NC4B=35。，AC±BD'BO=DO

又DH±AB

ZAZ)//=90°-ZZ?AD=90o-2x35°=20°

ZBDH=90°-ZADH-ACAD=35°

又ACLBD'BO=DO

;.OH=OD

:.ZODH=ZDHO

.•.4/03=2x350=70°

故答案为：70。

15.【答案】$百

【解析】纸条的对边平行，即相〃8,AD//BC<

二.四边形ABCD是平行四边形，

两张纸条的宽度都是3,

S四边形ABCD=ABx3=8Cx3'

:.AB=BC'

.♦・平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形.

如图，过A作AE_L8C，垂足为E,

NABC=60。，

.­.ZE4E=90o-60o=30°»

.,.AB=2BE，

在八45£中，AB2^BE2+AE2'

即1，

AB-=-AB2+32

解得AB=2y[3,

S四边形ABC。=BC•AE=x3=.

故答案是：6行

16.【答案】10.5

【解析】解：在矩形ABCD中，AD=BC，AB=CD=\2>Z£>=ZZXT'=90°>

G为CD中点，...£)G=CG，

又NEGD=ZFGC，

:ZDG丝AFCG，

:.DE=CF，1

EG=GF=-EF

2

设8C=x，则。£=AD-AE=5C—A£=x—6,

DG=CG=-CD=-AB=6

22

BF=BC+CF=BC+DE=2x—6,

又鹿的垂直平分线交BC的延长线于点F,

11'

：.EG=GF=—EF=—BF=X-3

22

・••在R/AEDG中，（x_6y+62=（x―3广

解得：x=10.5-

则BC的长是10.5

故答案为：105

--、

17.【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形,

，AD=CB，AD//CB^

，NDAE=ZBCF，

DE//BF'

,-.ZDEF=ZBFE»

.•.△/WE和△CBF中，

ZDAE=ZBCF

"ZAED=NCFB

AD=CB

J\ADE^/\CBF(AAS),

:.AE=CF

(2)证明：由(1)知△ADE学ACBF-

则£>E=B/，

又DE//BF'

四边形EBFD是平行四边形，

BE=DE，

四边形EBFD为菱形

18.【答案】(1)证明：所为BD中垂线,

:.BO=DO>EB=ED'BF=DF，

矩形ABCD,

:.ED//BF'

.-.ZEDB=ZDBF>

4EOD=4FOB，

:.△EOgAFOB，

.♦.ED=BF，

1.EB=ED=BF=DF，

二.四边形EBFD是菱形.

（2）解：设££>=,4）=8，

AE=8—x,

菱形EBFD,

,・.EB=ED=x，

矩形ABCD,

.・.ZA=90。，

••在RfABAE中，

AE2+AB2^EB2'

即（8-X）2+42=f'

解得x=5,

CEBFD=4xED—20

即得ED,从而求出菱形的周长.

19.【答案】（1）解：由轴对称的性质得：/FAP—/RAP=a,AE=AB,

四边形ABCD是正方形，

:.ZBAD=90^AB=AD>

^DAE=90°-2aAD=AE^

ii;

/.ZADF=ZAED=-（180°-ZDAE）=-（90°+2a）=45。+a

（2）解：四边形ABCD是正方形，

.\ZBAD=90°^AB=AD^

点E与点B关于直线AP对称，

:.ZAEF=ZABF^AE=AB,

:.AE=AD^

:.ZADE=ZAED，

ZA£»+ZA£F=180°»

.••在四边形ABFD中，ZADE+ZABF=180°»

・・.NBED+NS4Z）=180。，

:.ZBFD=90°^

1.BF_LDF；

（3）解：线段AF,BF,CF之间的数量关系为A尸=03尸+5,理由如下:

过点B作5MJ_防交AF于点M,如图所示：

月氏------------HD

/

E

P

8

四边形ABCD是正方形,

；.AB=CB'ZABC=90°>

：.ZABM=ZCBF>

点E与点B关于直线AP对称，/BFD=90°，

:.ZMFB=ZMFE=45°>

/是等腰直角三角形，

:.BM=BF，FM=JiBF，

在AAMB和△CEB中AB=CB'

,ZABM=NCBF

BM=BF

/\AMB^ACFB（SAS）9

:.AM=CF^

AF=FM+AM^

:.AF=BF+CF-

20.【答案】...47=4）=10，FE=DE（折叠对称性）

在放八43尸中，BF=6,AF=\0

:.FC=4

所以在放ZkECF中，42+（8_£坦）2=£1尸2,

:.DE=5^

(2)解：当.=.时，ABLPF^:.PB=BF=6；

当PE=AF时，则PB+6=10，解得P3=4；

若AP=PF，在R/A4P5中，AP2^PB2+AB2'解得遁7-

20=一

3

综合可得必=6或4或7；

3

(3)解：当点N与C重合时,CT；)=MD=8；

,

当点M与A重合时，AT=AD=10，AB=8，C7]|i/Js=10-6=4

21.【答案】(1)(4,0)

(2)(0,2)

(3)当点P在OC上运动，

.\OP=tx2=2t，

・•.尸(02)•

(4)当点P到y轴的距离为1个单位长度时，此时P在CB上，

.•.P的运动路程=OC+CP=AB+1=6+1=7，

「2=7，

:.t=3.5,

【解析】解：(1)长方形OABC,B坐标为(4,6),

・•・A(4,0)，

故答案为：（4,0）.

（2）当.=i时，0p=ix2=2，

此时P在y轴上，

P（0,2），

故答案为：（0,2）.

22.【答案】（1）2

（2）探究:如图，连结AC.

四边形ABCD是菱形，

.AB=BC，AB//CD-

.ZB+ZfiC£>=180°

ZB=60°'

.△AgC是等边三角形，ZBCZ)=120°-

.Zfi4C=ZACB=60°，AB^AC

.ZACF=zTB-600•

ZE4F=60o>

:.ZBAC-ZCAE=ZEAF-ZCAE-

:.ZBAE=ZCAF-

.-.△ABE^AACF-

:.BE=CF-

: