2020-2021学年北师大版八年级数学竞赛卷2（解析版）

2020—2021学年北师大版八年级数学竞赛卷2

单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）

1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是36。，则此等腰三角形的两个相等底角的

度数大小是（）

A.54°B.63°C.27°D.27°或63°

【答案】D

【解析】解：在三角形ABC中，设=BD1AC于C.

①若是锐角三角形，乙1=90。-36。=54。，

底角=（180°-54°）+2=63°；

②若三角形是钝角三角形，ZB/1C=36°+90°=126°,

此时底角=(180°-126°)+2=27°.

所以等腰三角形底角的度数是63。或27。.

故选：D.

分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可

求出它的底角的度数.

此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题的关键

是熟练掌握三角形内角和定理.

2.若关于x的不等式组［二父］；的所有整数解的和是6,则机的取值范围是（）

A.3<771<4B.3<m<4C.3<m<4D.3<m<4

【答案】B

【解析】解：不等式组整理得：fX-1,

解得：1S尤<m,

整数解的和是6,得到1+2+3=6,即整数解为1,2,3,

则m的范围是3<mW4,

故选:B.

不等式组整理后表示出解集，由解集中所有整数解和是6求出m的范围即可.

此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

3.如图是5个小正方形纸片拼成的图形，现将其中一个小正方形纸r~\

片平移，使它与原图中剩下的小正方形纸片有一条或两条边重合I~~[

后拼成一个轴对称图形，在拼出的所有不同位置的轴对称图形中，

全等的图形共有（）

A.0对B.1对C.2对D.3对

【答案】B

在拼出的所有不同位置的轴对称图形中，全等的图形共有1对，

故选：B.

将其中一个小正方形纸片平移，使它与原图中剩下的小正方形纸片有一条或两条边重合

后拼成一个轴对称图形，进而得出结论.

本题主要考查了利用平移设计图案，确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离,

连续作图即可设计出美丽的图案.通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩.

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4.正整数人氏c是等腰三角形的三边长，并且。+儿+6+。。=24,则这样的三角

形有(

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】解：a+be+b+ca=24可以化为(a+b)(c+1)=24,其中a,b,c都是正

整数，并且其中两个数相等，

令a+b=A,c+l=C5!UA,C为大于或等于2的正整数，

那么24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合2X12,3X8,4x6,6x4,

8x3,12x2,

①、4=2,C=12时，c=ll,a+b=2,无法得到满足等腰三角形的整数解；

②、4=3,C=8时，c=7,a+b=3,无法得到满足等腰三角形的整数解；

③、4=4,C=6时，c=5,a+b=4,无法得到满足等腰三角形的整数解；

④、4=6,C=4时，c=3,a+b=6,可以得到a=b=c=3,可以组成等腰三角

形；

⑤、4=8,C=3时，c=2,a+b=8,可得a=b=4,c=2,可以组成等腰三角

形，a=6=4是两个腰；

⑥、A=12,C=2时，可得a=b=6,c=1,可以组成等腰三角形，a=b=6是两

个腰.

二一共有3个这样的三角形.

故选：C.

先将a+bc+b+ca=24可以化为(a+b)(c+1)=24,然后根据24分解为大于等于2

的两个正整数的乘积有几种组合讨论是否符合题意即可得出答案.

本题考查数的整除性及等腰三角形的知识，难度一般，在解答本题时将原式化为因式相

乘的形式及将24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合是关键.

11,X-1

-x-1W—

:2有且只有4个整数解，且使关于x的方

(—d-3%>0

程'7+F=-2的解为正数，则符合条件的所有整数”的和为()

X—11—X

A.7B.10C.12D.1

【答案】A

—x—1<----

【解析】解：解不等式组"-2得，-3wx<g

-a-3x>06

X.2

•.•不等式组只有4个整数解,

0<-<1,

0<a<6,

解分式方程高+芸=—2得:

•••分式方程的解为正数，

1•.—>0,且»1,

22

解得：a<5且a+3,

综上可得，a的取值范围为0<a<5,且aK3,

则符合条件的所有整数a的和为：1+2+4=7.

故选：A.

解不等式组求得其解集，根据不等式组只有4个整数解得出。的取值范围，解分式方程

得出其=与巴，由方程的解为正数且分式有意义得出a的取值范围，综合两者所求最终

确定。的范围，据此可得答案.

本题考查了解一元一次不等式组、分式方程的解，有难度，注意分式方程中的解要满足

分母不为0的情况.

6.如图，平行四边形ABC。中，点E在边上，以BE为折痕,将△ABE向上翻折，

点A正好落在CQ上的点F,若AFCE的周长为29,ZkFCB的周长为51,则FC的

长为（）

【答案】C

【解析】解：根据题意得AFBE三A4BE,

EF=AE,BF=AB.

•••平行四边形ABC。,

二AD=BC,AB=DC.

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.•△FDE的周长为29,即DF+DE+E尸=29,

DF+DE+AE=29,即DF+AD=29.

•••△FC8的周长为51,即FC+BC+B尸=51,

■■FC+AD+DC=51,即2FC+4D+D尸=51.

2FC+29=51,

解得：FC=11.

故选：C.

仔细分析题意，AFBE为△4BE的翻折后的三角形，则APBE三AABE,利用全等三角

形各对应边相等、平行四边形的性质及线段间的等量关系可求解尸C的长.

本题考查了平行四边形的性质及图形的翻折问题；解决翻折问题的关键是找着相等的边,

利用整体思想求得答案.

7.某学校要召学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的

余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的

函数关系用取整函数y=［制（［幻表示不大于x的最大整数）可以表示为（）

=SB.y=［等］C.y=［聋D.y=［誓］

【答案】B

【解析】解：由题意可得，

当各班人数除以10的余数不大于6时，应舍去，

当各班人数除以10的余数大于等于7时，就增加一名代表，

故y与x的函数关系式是y=［誓］,

故选:B.

根据题意，可以得到各班人数除以1（）的余数与是否增选一名代表的关系，从而可以得

到y与x的函数关系式，本题得以解决.

本题考查不等式、函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式.

8.如图，△AOB中，々1OB=90。，40=4,BO=8,小。〃「

绕点。逆时针旋转到AdOB'处，此时线段4B'与BO的

交点E为80的中点，则线段B'E的长度为（）E-----X°

B'

A.3V5

B型

5

C.壁

5

D,.

5

【答案】B

【解析】解：•••/-AOB=90°,AO=4,BO=8,

■­•AB=7Aoz+BO?=V42+82=4西，

•••△AOB绕顶点O逆时针旋转到△4OB'处，

•••AO=A'O=4,A'B'=AB=4V5，

・・•点E为8。的中点，

OE=-BO=ix8=4,

22

OE=A'O=4,

过点。作OF1AB'于F,

SWOB，=Jx4V5-OF=1x4x8,

解得OF=吗

5

在Rt△EO尸中，EF-y/OE2-OF2-J42一（雪，-等，

•••OE=A'O,OFLA'B',

：.A'E=2EF=2x—=—,

55

B'E=A'B'-A'E=4V5--=—;

55

故选：B.

由勾股定理求出AB,由旋转的性质可得4。=4'0,AB'=4B,再求出OE,从而得到

OE=A'O,过点。作。FlA'B'于F,由三角形的面积求出OF,由勾股定理列式求出

EF,再由等腰三角形三线合一的性质可得AE=2EF,然后由B'E=4夕一AE代入数

据计算即可得解.

本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面

积等知识；熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键.

二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）

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A

9.如图，P为正三角形外一点，且不与A、B在同一直线上,

AP=2,BP=3,当此三角形的边长、位置都可改变时,

则线段PC的长的最大值是.

【答案】5

【解析】解：如图，以AP为边作等边△APD,连接PC,CD,

•••△ABC,△P/W是等边三角形，

AP=AD=PD=2,/.PAD=60°=Z.BAC,AB=AC,

Z.BAP=/.CAD,且4P=4D,AB=AC,

•••△ADC^t^APBAS)

CD=PB=3,

在△PCD中，PC<PD+CD=5,

.•.当点力在PC上时，PC有最大值为5.

如图，以A尸为边作等边△4PD,连接PC,CD,由“SAS”可证△4DC三AAPB,CD=

PB=3,由三角形三边关系可得当点。在PC上时，PC有最大值为5.

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形三边关系，添加恰当

辅助线是本题的关键.

10.如图，尸为边长为2的正三角形中任意一点，连接PA、

PB、PC.过P点分别作三边的垂线，垂足分别为D、E、

F,则PD+PE+PF=；阴影部分的面积为

【答案】V3;苧

【解析】解：([)••,正三角形的边长为2,

为2xsin600=V3»

***S&ABC=£x2xV3=y/3i

•:PD、PE、尸F分别为BC、AC.A3边上的高，

ill

•*'S*PBC=]BC,PDfShPAC=-AC-PE,S“PAB=&AB-PF

vAB=BC—AC,

・•・SRPBC+S"AC+S&PAB=[B。•PD+^4。•PE+(48•PF=3X2(PD+PE+PF)=

PD+PE+PF,

SAABC=SAPBC+SAPAC+S&PAB)

PD+PE+PF=V3;

(2)•.•点尸是三角形内任意一点，

・•・当点P是4ABC的中心时，阴影部分的面积等于△ABC面积的一半，

即阴影部分的面积为二S-BC=--

故答案为：V3,隹.

2

(1)求出等边三角形的高，再根据A/IBC的面积等于AP/IB、4PBC、ZiP/lC三个三角形

面积的和，列式并整理即可得到PD+PE+PF等于三角形的高；

(2)因为点P是三角形内任意一点，所以当点尸为三角形的中心时，阴影部分的面积等

于三角形面积的一半，求出A4BC的面积，即可得到阴影部分的面积.

本题主要利用等边上角形三边相等的性质和三角形的面积等于被分成的三个三角形的

面积的和求解；第二间体现了数学问题中由一般到特殊的解题思想.

11.若设+2|+设一3|2<1对任意实数》都成立，则a的取值范围为.

【答案】a<5

【解析】解：由于|x+2|+|久一3|表示数轴上的x的对应点到-2、3的对应点距离之利,

它们的最小值是5,

,•1|x+2|4-|x-3|>a对任意实数x都成立，

•••a<5,

故答案为a<5.

根据绝对值的意义求得|x+2|+|x-3|的最小值为5,从而得到a的取值范围.

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本题考查了绝对值的意义，绝对值不等式的解法，是基础题.

12.如图，A/IBC中，4B=4C=BC,P为三角形内一点，P4=2,入

PB=1,PC=V3，△4BC的面积是./\

【答案】咨

4

【解析】解：将AABP以A为旋转中心，逆时针旋转60。得到木、

vAP=AD,4PAD=60°,CD=PB=1,AD=PA=2,；

PAD是等边三角形，片飞

/.APD=60°,PD=PA=2,

vPC=V3，

PC2+CD2=PD2,

PCO是直角三角形，且“CD=90°,

•••sinHf

乙CPD=30°,

ZXPC=^APD+ZCPD=90°,

AC=y/PA24-PC2=V7-

S4ABe-ACsin600=-xV7xV7x—.

=L2AB224

故答案为：速.

4

首先将AABP以A为旋转中心，逆时针旋转60。得到△ACD,易得AAPC是等边三角形，

△PCC是直角三角形，继而求得N4PC=90。，由勾股定理，可求得AC的长，继而求得

答案.

此题考杳了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理.此

题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结

合思想的应用.

13.已知久2—%—1=0,则/_2x2+3=

【答案】2

【解析】解：•・•/-%-1=0,

A%2—%=1,

:.X3—2x2+3

=x(x2-x)-(x2-%)-%4-3

=xxl—1—x+3

=%—1—x+3

=2,

故答案为：2.

根据/-工-1=0,可以得到%的值，然后对所求式子变形即可解答本题.

本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值.

14.已知x,＞满足：一:一二=o，则;+9的值为_____.

xyxT_yy”

【答案】±V5

【解析】解：；H=。，

*yx~ry

.••等式的两边同乘(x+y)得：=0,

1*y

•••(f-2+就=1,

•••()2+§)2=3

••.(出)2=胱+(》2+2=5,

一+J西

yx

故答案为：士通

先将原式等式化为

本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型.

三、解答题(本大题共4小题,15题，16题7分，17,18题8分，共30分。解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.某公司开发的720件新产品，需加工后才能投放市场.现有甲、乙两个工厂都想加

工这批产品，己知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多

用20天，而乙工厂的工作效率是甲工厂的1.5倍；在加工过程中，公司需每天支付

80元劳务费请工程师到厂进行技术指导.

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(1)求甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？

(2)该公司要选择省时又省钱的工厂加工，如果甲工厂向公司报加工费用为每天600

元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，才可满足公司要求，有

望加工这批产品.

【答案】解：(1)设甲工厂每天加工x件，则乙工厂每天加工1.5x件，

依题意，得：--^=20,

x1.5x

解得：x=12,

经检验，久=12是原分式方程的解，且符合题意，

:.1.5x=18.

答：甲工厂每天加工12件，乙工厂每天加工18件.

(2)甲工厂的加工总费用为(600+80)x詈=40800(元).

设乙工厂向公司报加工费用每天y元，则乙工厂的价格总费用为(y+80)=40(y+

80)元，

依题意，得：40(y+80)<40800,

解得：x<940.

答：乙工厂向公司报加工费用每天最多为940元时，可满足公司要求，有望加工这批产

品.

【解析】(1)设甲工厂每天加工x件，则乙工厂每天加工1.5工件，根据工作时间=工作总

量+工作效率结合甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用

20天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

(2)根据加工总费用=每天所需费用x工作时间可求出甲工厂的加工总费用，设乙工厂向

公司报加工费用每天y元，则乙工厂的价格总费用为40(y+80)元，由乙工厂的加工总

费用低于甲工厂的加工总费用，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大

值即可得出结论.

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量

关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出分式方程.

16.如图，在AABC中，/.BAC=60%D是AB上一点，AC=BD,

P是CD中点.求证：AP=^BC.

【答案】证明：延长AP至点R使得P尸=4P,连结DF,CF,

•••「是。。中点，

/.CP=DP,

・・.四边形ACFD是平行四边形，

・••DF=AC=BD,DF//AC,

・•・乙FDB=^BAC=60°,

・・.△BDF是等边三角形，

BF=DF=AC,Z,ABF=60°,

:.乙ABF=Z.BAC,

在△48。和ABAF中，

AB=BA

•・•Z.BAC=Z.ABF,

AC=BF

：^ABC=L84/(SAS),

：.AF=BC,

：.AP=-AF=-BC.

22

【解析】作辅助线，构建全等三角形和平行四边形,先证明四边形ACFD是平行四边形，

得DF=4C=B。，DF//AC,再证明△BDF是等边三角形，证明△4BC三△B4F(S4S),

可得结论.

本题考查了平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和

性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

17.若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等，则称此三角形为“完美直

角三角形”，求“完美直角三角形”的三边长.

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【答案】解：设三边长为小b,C,其中C是斜边，

(a2+炉=c2(l)

则有)it..Qb,、

(a+b+c=y(3)

(2)代入(1)得a?+川=_a_b)2

即岑(ab-4a-4b+8)=0

因为Q/?H0所以Q/?-4a—4b+8=0

所以a=4+三(a力为正整数)

所以b-4=1,2,4,8,

所以b=5,6,8,12；

a=12,8,6,5；

c=13,10,10,13,

所以，三边长为6,8,10或5,12,13.

【解析】设三边长为〃、b.c,其中c是斜边，则存在勾股定理和周长等于面积这两个

等量关系，解方程组且根据a、b、c均为正整数可得a、b、c的值.

本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，本题中讨论人b

的值是解题的关键.

18.若一个两位正整数〃?