2020-2021学年江苏省吴江汾湖高级中学高二假期自主学习竞赛数学试卷

江苏省吴江汾湖高级中学2020-2021学年高二假期自主学习

竞赛数学试卷

试卷分值：150分考试用时：120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1、若x<0,则x+5）

A.有最小值，且最小值为2

B.有最大值，且最大值为2

C.有最小值，且最小值为一2

D.有最大值，且最大值为一2

1---Y

2、不等式京利的解集为（）

A.『一2,1JB.(-2,1』

C.（-8,-2）U（1,+oo）D.(-oo,-2]U(l,+oo)

3、下列命题中，不生题的是（）

A.GR,XQ—2XQ+2>0

B.设。>1,则*<优’是"log“b<l”的充要条件

C.若a<Z?<0,则一〉一

ab

D.命题“VXG[1,3],D-4X+3K0”的否定为'勺3¥-4%+3>0”

4、《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春

分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，冬至、立春、

春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（）

A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺

5、在流行病学中，基本传染数岛是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，

一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R。个人，为第一轮传染，这Ro个人中每人再传

染几个人，为第二轮传染，….…R）一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每

次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数％=3.8,平均感染周期为7天,

设某一轮新增加的感染人数为"，则当M>1000时需要的天数至少为（）参考数据:

1g38Hl.58

A.34B.35C.36D.37

6、已知2盯一y+l=0（x,y>0）,则的最小值为（）

A.4A/2B.8C.9D.872

7、己矢口等比数歹U｛4｝的〃项和S“=2"-a,则…+=（）

A.（2/2-I）2B.|（2n-l）C.邛―1D.1（4H-1）

8.己知人、尸2是椭圆的两个焦点，满足砺•砒'=（）的点M总在椭圆内部，则椭圆离

心率的取值范围是（）.

A.（0>—）B.C.D.（4^,1）

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知复数2=%+加（%,丁€2，则（）

A.z230B.z的虚部是yi

C.若z=l+2i，则x=l,y=2D.|z|-y]x2+y2

10.己知等差数列｛为｝的前〃项和为S“，%=18,%=12,则下列选项正确的是（）

A.d=—2B.q=22

C.。3+%=30D.当且仅当〃=11时，S“取得最大值

11.下列判断正确的是（）

A.抛物线与直线x+y—夜=0仅有一个公共点

B.双曲线尤2—y2=1与直线x+y-&=0仅有一个公共点

C.若方程—+工=1表示焦点在x轴上的椭圆，则大</<4

4-tt-\2

22

D.若方程「一+工=1表示焦点在y轴上的双曲线，则合4

12.椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过

椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点耳，B是它的焦点，长轴长为

2a,焦距为2c,静放在点月的小球（小球的半径不计），从点6沿直线出发，经椭圆壁

反弹后第一次回到点片时，小球经过的路程可以是（）

A.4aB.4cC.2（a+c）D.2（tz-c）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13、i是虚数单位，则的值为______________.

产I

11-11

14>若正数x,y满足f+6盯一1=0,则x+2y的最小值是

15、如图，画一个边长为2cm的正方形，再将这个正方形的各相邻边的中点相连得到第二

个正方形，依此类推，这样共画了8个正方形，则这8个正方形的面积和为

16、已知椭圆「：,与双曲线r：

112+.=15>°也>°）

22相同的焦点F]，E（F.只分别为左右焦点），若点P是C和C

靛x一9=I（a]>0,%>0）i-

在第一象限内的交点，E/q=|PE|，设心和C的离心率分别是eJ则e._e】的取值

范围是______

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

17、已知复数2=♦等。是虚数单位），meR.

（1）若2是纯虚数，求的值；

（H）若复数Z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围.

18、已知命题p：对任意4C(0,+8),不等式awx+&都成立，命题q：方程工+上-

xa-ma-m-

表示焦点在X轴上的双曲线.

(1)若命题P是真命题，求实数。的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

19、解关于x的不等式a/-2N2x—“x(aGR).

20、网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展

方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合

的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元

之间满足函数关系式x=3一后.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万

件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店

体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是多少万元？

21、已知正项数列｛斯｝的前〃项和为S”G=1,且(r+l)S”=屈+3a“+2QWR).

(1)求数列｛〃“｝的通项公式；

(2)若数列出“｝满足h\=\,hn+\—b„=an+\,求数歹U｛说Mj的前«项和T„.

22、已知过抛物线必=2「%伽＞0)的焦点，斜率为20的直线交抛物线于两点

B(x2,y2')＞其中4＜也,且|AB|=9.

(1)求该抛物线的方程；

(2)设0为坐标原点，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为C,证明：B、0、C三点共线.

——★参*考*答*案★——

试卷分值：150分考试用时：120分钟

二、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.D

2.B

3.B

4.B

5、D

6、C

7,D

8.B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.『答案』CD

10.『答案』AC

11.『答案』BD

12.『答案』ACD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13、1

/Ic

14、岁

16、四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证

字+8）

明过程或演算步骤.

17、解：（1）复数2=竺坨整一纯一整邮#遮3

・・・z是纯虚数,

・•.住一%="解得m=±

771的值为3

(H)・・,复数Z在复平面内对应的点(3-2m,-2m-3)位于第四象限,

{-^3<0'解得”>

m的取值范围是(一

18>解：命题p：对任意xe(0,+8),不等式Q三x+；都成立，了x+：22,二a三2.

命题〃方程三+-=］表示焦点在x轴上的双曲线.叱二二〈0,解得

m<a<m+2.

(1)命题夕是真命题，则实数。的取值范围是aS2.

(2)若p是g的必要不充分条件，则m+2s2,解得m30.

二实数〃?的取值范围是mwO.

19、解：原不等式可化为苏十(。-2)x—2N0.

①当a=0时，原不等式化为x+1或，解得让一1.

②当a>0时，原不等式化为(l孤+1巨0,

解得x?或烂一1.

③当a<0时，原不等式化为Q—?(x+l)WO.

22

当£>—1,即。V—2时，解得一1S吃；

2

当£=—1,即〃=一2时，解得x=-1满足题意；

当怖<一1,即一250时，解得斤一1.

综上所述，当。=0时，不等式的解集为出烂一1｝;

当。>0时，不等式的解集为卜|x1或区-1｝；

当一2<。<0时，不等式的解集为｛x沁一“；

当。=—2时，不等式的解集为｛-1｝;

当a<一2时，不等式的解集为卜|一1上三.

2

20、解：由题意知，=W—1(14<3),设该公司的月利润为y万元，则3；=

(^48+^x—32%—3—/=16.r—^—3=3=45.5—16(3-x)+y^^<45.5—

2^/16=37.5,

当且仅当x=g"时取等号，即最大月利润为37.5万元.

21、解:(1)因为6=1,且«+1)5“=旦+3斯+2,

所以(f+l)$=届+3ai+2,所以f=5.

所以6s〃=忌+3斯+2.①

当佗2时，有6sLi=屈-1+3斯-|+2,②

①一②得6斯=居+3斯一届-］—3a“-i，

所以(斯+。〃一］)(〃〃Cln-\3)-0j

因为斯>0,所以斯一斯-1=3,

又因为3=1,

所以