2020-2021学年人教A版数学选修4-5学案：第二讲

第二讲证明不等式的基本方法

-比较法

考纲定位重难突破

重点：理解和掌握比较法证明不等式的依据.

1.理解和掌握比较法证明不等式的理论依据.

难点：1.掌握利用比较法证明不等式的一般步

2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.

骤.

3.通过学习比较法证明不等式，培养对转化思

2.通过学习比较法证明不等式，培养对转化思

想的理解和应用.

想的理解和应用.

01谓前自主梳理®------------------------------------------------------掌握基本知识，注重基础训练

授课提示：对应学生用书第16页

［自主梳理］

一、作差比较法

1.作差比较法的理论依据。一。>063,a-b<O<^a<b,。——=0。〃=6.

2.作差比较法解题的一般步骤：

（1）作差；（2）变形整理，（3）判定符号，（4）得出结论.

其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定差的符号,常用的手

段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等.

二、作商比较法

1.作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：

若£>1，贝I若$1则

（2）*0,若表1则a<b；若齐门则a>h.

2.作商比较法解题的一般步骤：（1）判定”，匕符号；（2）作商；（3）变形整理；（4）判定与

1的大小关系;（5）得出结论.

［双基自测］

1.当〃<6<0时，下列关系式中成立的是（）

A.y［ai<-\lbiB.lgfe2<lga2

吟id-(加

解析：法一：取特殊值“=-4,b=~\,则知选项A,C,D不正确，选项B正确，故

选B;

法二：'：a<b<Q,：.a2>b2.

而函数y=lgx(x>0)为增函数，.*.lgb2<\g,cr,B项正确.

答案：B

2.设则4+3〃和2b(a+b)的大小关系是()

A.a2+3b2>2h(a+h)

B.cr+3b-^2b(a+b)

C.a2+3b2<2h(a+h)

D.cr+3b2^2b(a+b)

解析：(。2+3/)—2伙a+与

=a2—2ab+tr=(a—b')1,

■:a丰b,/.(a—Z>)2>0,

：.a2+3b2>2b(a+b).

答案：A

3.比较大小：log11log।1.

23

log.—］,

铲用2311,11°g+Tl•

斛析：一=log,2-log,3=6J

>0g,弓

3Z

又一log1铲log交=1,

22

卜。/『>】•

/.logi^^logII.

23

答案：〉

02课堂合作探究e>----------------------------------------------------------洞悉学习方向，把脉核心问题

授课提示：对应学生用书第16页

［题型探究］探要点•究所然

探究一作差比较法

［例1］若a>b>c,求证：hc2+ca2+ab2<b2c+c2a+a2b.

［证明］be2+ca2+ab2-(b2c+c2a+db)

2

=(加2—C(j)+(c&2-比)+(加_428)

=d(b—a)+*—6)3+力+血6—a)

=(/>—4)(/—ac-bc+ab)

~g—a)(c—a)(c—b),

a>b>c,

:.b-aVO,c_a<0,c-b<0.

(b—a)(c—a)(c—b)<0.

be2+ca1+ab2<h2c+c2a+a2b.

「方法归纳」

I.作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用

考虑差能否化简或值是多少.

2.变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有

效的恒等变形的方法.

3.因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为

一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式

法判断符号.有时会遇到结果符号不能确定，这时要对差式进行分类讨论.

学以致用I©

1.设x>0,y>0,则七与三47的大小关系是_______.

”X十1工十〉十1

解析.—也__上

x+y+lx+\

f+xy+x+y—f―7厂x

a+y+i)a+i)

(%+>-+l)(x+l)>0-

x+yx

答案:x+y+^x+T

探究二作商比较法

a+b+c

［例2］已知a,b,c>0,求证：a"b%》(abc)3.

［证明］不妨设a2b2c,则〃一"b-c,a-cCR,且*p£都大于等于1,

2a-b-c2b-a-c2c-a-b

=a3b3c3

a+b+c

(abc)

a-ba-cb-ab-cc-ac-b

=a33，b3・b3-c3-c3

a-bih-ca-c

a+-+c

,'.aabb(f^(abc')3.

「方法归纳J

作商比较法证明不等式的一般步骤

(1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商.

(2)变形：化简商式到最简形式.

(3)判断：判断商与1的大小关系，也就是判断商大于1或小于1或等于1.

(4)得出结论.

学以致用le

2.已知。>0且

求证：|log,,(l—x)|>|logfl(l+x)|.

。&(一无)八

FFJ1111|1Og(1+l)(1-X)|

证明：|lo&((l+A-)r-

Vl+x>l,O<l-x<l,

/.log(i+x)(l—x)<0,

)

，|log(l+x)(l—x)|=-log(i+,¥)(l—X

11+x

=log(i+k)7==+

2

=1—log(i+jt)(l—X).

vo<l-x2<l,l+x>l,

**.log(i+.t)(l—^)<0,

・•・1—log(］+x)(l—f)>l,

|log〃(Lx)!］

|logfl(l+x)|

/.|logo(l—x)|>|log«(l+x)］.

探究三比较法的实际应用

［例3］甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度机行走，

另一半以速度〃行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度〃行走.如果，

问甲、乙二人谁先到达指定地点？

［解析］设从出发地点至指定地点的路程为s,甲、乙二人走完这段路程所用的时间分

别为人，⑵依题意有:

t\,t\

十g〃=S,

S,5__

而十五=’2，

2ss(m+〃)

•"京，々=FT-

._2ss(m+n)

,・"t2~~m+n2nm

s14/w7—(/w+")2］s(，〃-a)?

2wn(n?+w)2mn{m-\-n)'

其中s,m,〃都是正数，且，

.♦.fl—f2Vo.即t\<t2.

从而知甲比乙先到达指定地点.

「方法归纲」

应用不等式解决实际问题的方法

应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题

来解决.也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解.在实际应用不

等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判

断.

学以致用le

3.某人乘出租车从4地到B地，有两种方案；第一种方案：乘起步价为10元.每千

米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车.按出租车管理

条例，在起步价内.不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A地到B地选择哪

一种方案比较合适？

解析：设A地到8地距离为〃？千米.起步价内行驶的路程为a千米.

显然当初<a时，选起步价为8元的出租车比较便宜.

当机时，设"?=a+x(x>0),乘坐起步价为10元的出租车费用为尸(x)元.乘坐起步

价为8元的出租车费用为Q(x)元，则尸(x)=10+1.2x,

Q(x)=8+1.4x

•••P(x)-Q(x)=2—0.2x=0.2(10-x)

当x>10时，尸(x)<Q(x),此时选择起步价为10元的出租车较为合适.

当x<10时，P(x)>Q(x),此时选起步价为8元的出租车较为合适.

当x=10时，P(x)=Q(x),两种出租车任选，费用相同.

［思想方法］歪方法•会应用

比较法的变形技巧

［典例］己知府)=2^+1,p,q>0,p+q=\,对任意实数a,b,则〃a)+如S)与加a

+*)的大小关系是()

A.pj(a)+(if(b)>fipa+qb)

B.pj(a)+qf(h)<fipa+qb)

C.pf(.ci)+qf(b)^fipa+qb)

D.PM+如b)Wflpa+qb)

［解析］pj［a}+qfib')—fipa+qb)

=p(2a2+l)+^(2Z>2+l)—［2(po+qb)2+l］

=2p(l—p)a1+2q(1—q')b2—4pqab+p+q—l(*'),

,.,p+q=l,p,q>0.

，(*)式=2pqcr+2pqb2—4pqab

=2pq(a-b?,■:p,q>0,(a~b)2^0,

；.(*)式20,

pfia)+qf(b)2ys4+qb).

［答案］C

［规律探究］(1)比较法主要用于比较大小和证明不等式，一般来说整式、分式型常用作

差变形，无理式即含根号时先通过乘方去掉根号后再作差变形，指数式及对数式较复杂，但

符号确定的代数式常用作商变形.

(2)作差变形时，是选择配方法，还是因式分解法，要视表达式的结构而定，因式分解

时要以每个因式都有明确的正负号为目标，对不能直接判定符号的情况应采用分类讨论的方

法.

(3)作商变形时，指数式型的要正确运用指数运算法则及指数函数性质，对数式型的要

正确运用对数运算法则，换底公式及对数函数性质.

03课后巩固提升碘------------------------------------------------------检测学习效果，体相成功快乐

［随堂训练］对应学生用书第18页

1.下列关系中对任意“◎<()的实数都成立的是()

A.a2VbiB.lgh2<\ga2

哈1D.(加>(加

解析：•・•〃<*(),

/.—a>-b>0.

(—iz)2>(—fe)2>0.

即片>房>0.

又1g从一lga2=lg1=0.

/.Igb2<\g庶.

答案：B

2.已知。=届+：+］，。=片一。+1,那么P、。的大小关系是（）

A.P>QB.P<Q

C.P2QD.PWQ

解析：法一：§=(/—。+1)(〃2+。+1)

=(/+l)2—a2=a4+a2+121,

又..72+a+i>0恒成立，

'土一D71-(/-•4+1)52+4+1)-(/+/)

法一：PQ-a2+a+\~~«2+«+1)

•.Z2+“+i>o恒成立且4+序20,

；.P-Q<0,即Q>P.

答案：D

3.若一l<a<6<0,则］，/，a2,从中值最小的是

解析：依题意，知务,4?>从，

故只需比较应与序的大小.

因为力>0,1<0,

答案:马

4.若x<y<0,M=(x2+y2)(x—y),N=(1一VXr+y),则M,N的大小关系为

解析：M—N=(『+y2)a—y)—(x2—y2)(x+y)

=(工—>)［(/+y2)-(x+y尸］=­2xy(x-y).

Vx<><0,・•.孙>0,x—y<0,

—2xy(x—y)>0,

：.M-N>0,即M>N.

答案：M>N

-综合法与分析法

考纲定位重难突破

1.理解综合法、分析法证明不等式的原理和思重点：对用综合法、分析法证明不等式的原

维特点.理和思维特点的理解.

2.掌握综合法、分析法证明简单不等式的方法难点：1.对用综合法、分析法证明简单不等式

和步骤.的方法和步骤的掌握.

3.能综合运用综合法、分析法证明不等式.2.能综合运用综合法、分析法证明不等式.

01课前自主梳理<3）----------------------------------------------------------------掌握基本知识，注重基础训练

授课提示：对应学生用书第18页

［自主梳理］

一、综合法

一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证

而得出命题成立，这种证明方法叫作综合法,乂叫顺推证法或由因导果法.

二、分析法

证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需

条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要

证的命题成立，这种证明方法叫作分析法,这是一种执果索因的思考和证明方法.

［双基自测］

1.若则下列不等式中成立的是（）

A另B.

_,1.1cb〃+1

C.bf+->a+rD.一<「77

abaa+\

解析：：a<b<0,；.丹,故选项A,B错误，而选项C正确.选项D中，取％=—1,

则空•=（）,而”0,故选项D错误.

a+1a

答案:c

2.当x>l时，不等式x+占2a恒成立，则实数a的取值范围是（）

A.(一8,2]B.[2,+8)

C.[3,+8)D.(-8,3]

解析：要使犬+一与》〃恒成立，只需=x+—彳的最小值大于等于〃即可，而AH

X—1JX—1

=xT+±+122yJGT)•占+1=3.

的最小值为3,...“W3.

答案：D

3.下面对命题“函数式x)=x+：是奇函数”的证明不是综合法的是()

A.VxCR且xWO有人-x)=(-x)+±=-(x+：)=—/(x),则是奇函数

B.VxeR且xWO=0,.•.式功=_K_工),则於)

是奇函数

1

fl-\~X-x

C.Vx£R且xWO,..Twro,rx2=------7-=-h：.f(-x)=-^x),则|x)是奇

八Mx+-

函数

D.取x=-1,犬-1)=一l+±=一2,又直1)=1+；=2次-1)=一式1),则兀v)是奇函

数

解析：D选项中采用特殊值验证，而不是综合法，选D.

答案：D

4.若a>0,b>0,则下列两式的大小关系为lg(l+月目|[lg(l+a)+lg(l+b)].

111

解析：£[Ig(1+a)+lg(1+力]=]lg[(1+a)(1+b)]=lg[(1+a)(1+创2

又・・・ig(i+T?=ig(-2―)且"°，力>0・

/.6r+1>0,/?+1>0,

,-a+i+h+\a+h+2

・・・[(〃+1)(1+份]2<---------------=---

.,.lg(^l+^y^^lg[(l+a)(l+b)]2,

即lg(l+g^)》g[lg(l+“)+lg(l+6)].

答案：》

02课堂合作探究@------------------------------------------洞悉学习方向，把脉核心问题

授课提示：对应学生用书第19页

［题型探究］探耍点•究所然

探究一用综合法证明不等式

[151]11已知a,6GR+,且“+b=l,

[证明]法一：左边=(“+款+(匕+办

=，+/+4+6+点)

，工小工伍+32(a+6)2

—4+tr+Zr+宫+—/

=4+/+匕2+1+"+与+，+号+1

aa，b，b

=4+面+为+2+2e+9+侍+9

》4+咿

125

=4+2+24-4+2=—

•・G+AG+沪苧.

法二：'：a,匕GR+且“+b=l,

一a+b,\

‘1-2加斗^2^16.

•G+3+(计分=4+征+为+6+*)

=4+[(。+仔一2间+y

=4+(1-2")+4汨

\>4+

「方法归纳」

1.综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求

证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是

证明的关键.

2.综合法证明不等式中所依赖的已知不等式主要是重要不等式，其中常用的有如下几

个：(l)a2^O(aGR).(2)(。一b)220(a,R),其变形有：a2+b2^2ab,^ab.cr+b2^

;(a+6)2.(3)若“，8为正实数，^-^-^,\[ah.^^']~+^^2.(4)a2+b2+c2,^ab+hc+ca.

学以致用le

1.已知a,b,c是不全相等的正数，求证：h~宣\~c—」ci+c+%二4—b+巴ci~\节~b-」c>3.

证明:左边=(对)+(}+§)+©+§-3.

比>0,O0,

.b.c.a।

•9+声2,//2,-+->2,

•：a,b,c,为不全相等正数，

.•.上述三式中的等号不能同时成立.

，左边>6—3=3,

即原不等式获证.

探究二分析法证明不等式

I.乙小一(〃一匕)2a+b।-(a—h)2

[例2]已知a>h>0,求证：一京-<-^-y[ah<~~^7—.

OUZQU

[证明]要证原不等式成立，

公(a—b)2]—(a-b)2

只需证4a<"+人―4b'

即证件一$)4宗K

,：a>b>09

,<1<^成立.

ab

.♦•原不等式成立.

「方法归纳」

1.当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系或很难发现条件与结论

之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径.

2.像本例这样条件简单、结论较复杂的题目，往往采用分析法.另外，对于无理不等

式的证明，常采用分析法通过平方将其有理化，但在乘方的过程中，要注意其变形的等价性.

3.分析法证题的本质是从被证的不等式出发寻求使结论成立的充分条件，证明的关键

是推理的每一步都必须可逆.

2.a,b£R+,H2c>a+b.

求证：c-yfc2-ab<a<cc2-ab.

证明：要证：c—yj—ab<a<c+yj(r-abf

只需证一yja-abva-c<y[^—ab,

即证：\a—c\<^](r—ab,

两边平方得〃2—2〃c+，<，一〃〃，

也即证a1+ab<2ac,即a(a+b)<2ac.

R+,且a+h<2c,显然成立.

・,•原不等式成立.

探究三综合法与分析法的综合应用

[例3]设a>0,b>3且。+。=1,求证：5+1+[8+1W加.

[证明]要证：1+国〃+1W#只需证([〃+1+y]b+lpW6,

即证(a+。)+2+2\/ab+a+b+1W6.

由a+h=1得只需证\]ab+2W^,

即［正：

由b>0,a+b=l9

得即成立.

，原不等式成立.

「方法归纳」

综合法与分析法在证明不等式时的综合应用

(1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原

不等式易于证明.

(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”

法，如本例，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩

证统一关系.

学以致用I©

3.在某两个正数x,y之间，若插入一个数m使羽my成等差数列；若插入两个数

b,c,使x,b,c,y成等比数列,求证：(a+1)2^(/?+l)(c+1).

2a=x+yf

证明：由条件，得<〃=cx,

^=by,

b2c2

消去x,y,即得2a■+不，且有”>0,b>0,c>0.

要证(a+l)223+l)(c+l)

只需证a+［X(b+l)(c+l)

.Rs+D(c+D*+I”(c'+1)

〃02

只需证2a26+c,而2。=：+了，

fjrd

只需证5+万》/〉+g

即b^+c^^hc(h+c),〃+/一历》历，

(b-c)220,

•.•上式显然成立，

.♦.(a+l)22S+l)(c+l)得证.

［规范解答］练规范•汨满分

灵活运用分析、综合法证明不等式

［典例］(本题满分12分)已知〃,b,c£R+,且H+A+c〃=l.

求证：(1)〃+/?+

⑵出+状+金》小(W+或+M

［证明］(1)要证a+b+c,2小，由于a,b,c£R+,因此只需证(a+b+c)223,即证/

+b2+cr+2(ab+bc+ca)^3,根据条件，只需证cr+^+c1^1=ab+bc+ca.........3

分

/+〃庐+廿/+片、/5

而这是可以由ab+bc+ca^-5―+~5―+-5―-=/+〃+，(当且仅当a=b=c=3

时取等号)证得的.所以原不等式成立.6分

jca+h+c

(2)因为

言+acVabyjabc

在(1)中已证小，

所以原不等式只需证jt2/+的+加，

也就是只要证cn/互+Zr\lZ，+cM^Wa/?+/?c+ca.9分

।-I-----ab+ac1-ab+bc,-ac+bc

而a\］hc=ylah-ac^——,b\jacW——,c\jab^——,

八

所以cr\/^+W^+c/^Wab+8c+c。(当且仅当a=b=c=3时取等号)成立.所以原

不等式成立.

......................................................12分

［规律探究］(1)用分析法将待证不等式转化为证明/+序+。22必+反+点.

(2)用综合法证明转化得到的不等式.

(3)用分析法及(1)的结论将待证不等式转化为证明不等式6/应+R%+c\@WH+

bc+ac.

(4)结合基本不等式用综合法证明得到的不等式.

03谣后巩固提升@------------------------------------------检测学习效果，体验成功快乐

［随堂训练］对应学生用书第21页

1.要证/+/—1-”2匕2<0,只要证()

A.24-1一4/WO

,,,/+/

B.a2+h2-\~——《0

3+6)2

C4_]_4yW0

D.(a2-l)(fe2-l)^O

解析:•.•(层—1)("-1)=一次一从+1+a2+》0,

/.a2+b2—l—a2b2W0.

答案：D

2.已知a,b,c满足c<8<a且ac<0,那么下列选项中一定成立的是()

A.ab>acB.c(b—a)<0

C,h2<ah2D.(〃-c)>0

\ac<QM>0,

解析：=八

[c<alc<0.

又b>c,ab>ac,故A正确.

V/?—a<0,«0,Ac(b-a)>09

故B错误.

由"=o,可验证C不正确，

而ac<Ofa-c>0,

/.ac{a-c)<0,故D错误.

答案：A

3.若a>c泌>0,则宁+与上+石工的值的符号为.

(。一c)+(c—。)-C111,11

解析:—=(«-c)(--p+(c-/;)(---)

(〃-c)(6_c)+(c-b)(a-c)

heac

一c)(c-b)(b-a)

abc

Va>c>h>09

/.a-c>0,c-/?>0,b—a<0,abc>0,

.(a-c)(ci)(6—初g

abc

答案：负号

三反证法与放缩法

考纲定位重难突破

1.理解反证法在证明不等式中的作用，掌握用重点：1.理解反证法在证明不等式中的应用.

反证法证明不等式的方法.2.掌握反证法证明不等式的方法.

2.掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证难点：掌握放缩法证明不等式的原理，并会

明不等式.用其证明不等式.

•|D

liHRU自主梳理©------------------------------------------------------掌握基本知识，注重基础训练

授课提示：对应学生用书第21页

［自主梳理］

一、反证法

先假设要证的命题不成立,以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性

质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）丞

直的结论，以说明假设不正确,从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法.

二、放缩法

证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或维3简化不等式，从而达到证

明的目的.我们把这种方法称为放缩法.

［双基自测］

1.否定“自然数4,b,C中恰有一个偶数”时，正确的假设为（）

A.a,b,c都是奇数

B.a,b,c都是偶数

C.a,6,c中至少有两个偶数

D.a,h,c中至少有两个偶数或都是奇数

解析：恰有一个的否定是至少有两个或都是，故选D.

答案：D

2.用反证法证明”一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：

①NA+ZB+ZC=90°+90°+ZOI800,这与三角形内角和为180。矛盾，故假设错误.

②所以一个三角形不能有两个直角.

③假设△4BC中有两个直角，不妨设N4=90。，NB=90。.上述步骤的正确顺序为

解析：由反证法的证明过程知正确顺序为③①②.

答案：③①②

3.A=l+-^+~^H--1■+与W（〃6N+）的大小关系是

解析:4甘+右+力

答案:方+3+方+…+京

02懦堂合作探究®---------------------------------------------洞悉学习方向，把脉核心问题

授课提示：对应学生用书第22页

［题型探究］探丁点•究所」

探究一反证法的应用

［例1］已知於)=f+px+q,

求证：(1求1)+43)—2穴2)=2；

(2)伏1)［,火2)|,贝3)|中至少有一个不小于右

［证明］(1MD+A3)-2A2)

=(1+p+g)+(9+3p+q)—2(4+2p+q)=2.

(2)假设附)|,|八2)|,次3)|都小于去

则附)|+2万2)|+质3)|<2,

而贝1)|+2贝2)|+|/(3)|宓1)+八3)—软2)=2矛盾，

.•.阳)|,欧|,直3)|中至少有一个不小于;.

I■方法归纳」

利用反证法证明不等式的方法步骤

(1)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结

论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法.

(2)当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适于应用反证法，因

为此类问题的反面比较具体.

(3)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式：①与已知矛盾；②与假设矛

盾；③与显然成立的事实相矛盾.

学以致用le

11+x

1.已知QO,y>0,且x+y>2,求证：一曾与一广中至少有一个小于2.

xy

假设士》2且也》2.

证明:

xy

Vx>0,)>0,

/.1+y22x,

①

1+x22y,

②

①+②得2+(x+y)N2(x+y),

即x+yW2与x+y>2矛盾.

］+v1+JV

二假设不成立，故一T―^中至少有一个小于2.

xy

探究二利用放缩法证明不等式

［例2］设5„=VTx2+V2X3+-+^n(n+l).

求证：不等式吟D<s“驾空对所有的正整数"都成立.

［证明］VS,,>A/P+V?H—

n(n+1)

=1+2H----\-n=~~2.

门1+22+3.n+n+\

且s„<—^~

35+

-2/7

一22

一35+5+

--

<2222

.〃(〃+1)5+1)

:.-2—<S,,<

2

「方法归纳」

I.用放缩法证明不等式的过程中，往往采用添项“添舍”放缩、分项放缩、函数的单

调性放缩、重要不等式收缩等，放缩时要注意适度，否则不能同向传递.

2.利用常用结论：

⑴广岛>出+浙=2•一#)，

127___

#=标丙拜FT=2(gg)/GN+,3);

(2出舟rVi.为舟rA露(程度大”

⑶会昌=7-1)h+1)=3(吉—南(程度小)・

学以致用le

2.对于任意"GN+,求证：1+/+/+/H-----l-A<^.

证明：•.」='1_^_1(心2),

nn-nn(n-1)n-1>

・，・1------bj

234/n~

<1+22+3X2+4X3+",+n(n-l)

11111

+-+---+-

-33-4-

+■•+〃

4九

［规范解答］练规.•得满分

放缩法在综合问题中的应用

［典例］(本小题满分13分)已知函数兀r)=xcosx—si