陕西省汉中中学高三第十次模拟考试数学（理科）试卷

2021年陕西省汉中中学高考数学十模试卷（理科）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|0≤x＜1}，，则A∩B＝（）A． B． C． D．{x|﹣1≤x＜1}2．设复数（i为虚数单位），则|z|的值为（）A．1 B． C． D．23．关于函数f（x）＝（lnx）2﹣2lnx，下列说法正确的是（）A．函数f（x）有2个零点 B．函数f（x）有4个零点 C．e是函数f（x）的一个零点 D．2e是函数f（x）的一个零点4．每当临近春节时，某酒店便会到处挂满五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀3个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，已知大灯共60个，小灯共205个．若在该酒店的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀3个小灯的概率为（）A． B． C． D．5．椭圆＝1（m＞0）的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m＝（）A．1 B． C． D．26．若非零向量，满足且，则与的夹角为（）A． B． C． D．7．已知，则的值为（）A．或 B．或 C．或 D．或8．关于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．在的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（）A．32 B．﹣32 C．33 D．﹣3310．在区间[﹣3，3]上随机取一个数x，使得≥0成立的概率为等差数列{an}的公差，且a2+a6＝﹣4，若an＞0，则n的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．1111．连接双曲线C1：﹣＝1及C2：﹣＝1的4个顶点的四边形面积为S1，连接4个焦点的四边形的面积为S2，则当取得最大值时，双曲线C1的离心率为（）A． B． C． D．12．已知a＜5且ae5＝5ea，b＜4且be4＝4eb，c＜3且ce3＝3ec，则（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知离散型随机变量，随机变量η＝2ξ+1，则η的数学期望E（η）＝．14．命题“∃x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题，则m的取值范围是．15．一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的倍．16．已知M是抛物线y2＝2x上一点，N是圆x2+（y﹣2）2＝1关于直线对x﹣y＝0称的曲线C上任意一点，则|MN|的最小值为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知D是△ABC边AC上的一点，△ABD面积是△BCD面积的3倍，∠ABD＝2∠CBD＝2θ．（1）若∠ABC＝，求的值；（2）若BC＝，AB＝3，求边AC的长．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PE＝3，求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．19．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展．下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份20142015201620172018销量（万台）810132524某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主624女性车主2总计30（1）求新能源乘用车的销量y关于年份x的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关；（2）请将上述2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；（3）若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例，从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人，记选到女性车主的人数为X，求X的数学期望与方差．参考公式：，，其中n＝a+b+c+d.，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关．附表：P（K2≥k0）k020．椭圆C：的离心率是，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，1）的动直线l与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有∠PQA＝∠PQB？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）＝ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设f（x）的两个不同的零点是x1，x2，求证x1•x2＜．22．过点P（﹣1，0）作倾斜角为α的直线l，且l与曲线C：（θ为参数）相交于M、N两点．（1）写出曲线C的普通方程与直线l的参数方程；（2）求|PM|•|PN|的最小值．23．已知函数f（x）＝|4x﹣3|﹣|x+3|．（1）求不等式f（x）＜0解集；（2）若关于x的不等式|2m﹣5|≥f（x+1）+5|x+4|有解，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|0≤x＜1}，，则A∩B＝（）A． B． C． D．{x|﹣1≤x＜1}解：集合A＝{x|0≤x＜1}，＝{x|﹣1≤x}，则A∩B＝{x|0}．故选：A．2．设复数（i为虚数单位），则|z|的值为（）A．1 B． C． D．2解：∵复数z＝，∴|z|＝||＝＝，故选：C．3．关于函数f（x）＝（lnx）2﹣2lnx，下列说法正确的是（）A．函数f（x）有2个零点 B．函数f（x）有4个零点 C．e是函数f（x）的一个零点 D．2e是函数f（x）的一个零点解：令f（x）＝（lnx）2﹣2lnx＝lnx（lnx﹣2）＝0，解得lnx＝0或lnx＝2，即x＝1或e2，所以函数f（x）有2个零点，选项A正确，B不正确；f（e）＝1﹣2＝﹣1≠0，所以e不是函数f（x）的一个零点，C不正确；f（2e）＝（ln2e）2﹣2ln2e≠0，所以2e不是函数f（x）的一个零点，D不正确．故选：A．4．每当临近春节时，某酒店便会到处挂满五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀3个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，已知大灯共60个，小灯共205个．若在该酒店的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀3个小灯的概率为（）A． B． C． D．解：大灯下缀3个小灯的大灯的x个，可得大灯下缀4个小灯的大灯有60﹣x个，由题意，得3x+4（60﹣x）＝205，解得x＝35，∴大灯下缀3个小灯的大灯有35个，大灯下缀4个小灯的大灯有60﹣35＝25个，在该酒店的灯球中，随机选取两个灯球，基本事件总数n＝＝1770，至少有一个灯球是大灯下缀3个小灯包含的基本事件个数m＝＝1470，则至少有一个灯球是大灯下缀3个小灯的概率为P＝＝＝．故选：C．5．椭圆＝1（m＞0）的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m＝（）A．1 B． C． D．2解：由题意可得c＝＝1，b＝m，又因为∠F1AF2＝，可得∠F1AO＝，可得tan∠F1AO＝＝，解得m＝．故选：C．6．若非零向量，满足且，则与的夹角为（）A． B． C． D．解：∵，，∴，∴，且，∴，且，∴．故选：B．7．已知，则的值为（）A．或 B．或 C．或 D．或解：因为，所以cosα＝±＝±，则＝或．故选：A．8．关于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁解：若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，可得x1＝3，x2＝﹣1，符合题意；若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，可得x1＝1，x2＝1，两根不异号，不合题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，可得x1＝3，x2＝1，两根不异号，不合题意；若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，两根和不为2，不合题意．综上可知，甲为假命题．故选：A．9．在的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（）A．32 B．﹣32 C．33 D．﹣33解：在的展开式中，令x＝1．可得它的各项系数的和为24＝16．由于表示4个因式（x+﹣1）的乘积，故4个因式都取﹣1，可得到常数项1，或有一个因式取x，另一个因式取，其余的因式取﹣1，可得常数项为••2＝24，或有2个因式取x，另外2个因式取，可得常数项为•22＝24，故展开式的常数项为1+24+24＝49．∴除常数项外，其余各项系数的和为16﹣49＝﹣33，故选：D．10．在区间[﹣3，3]上随机取一个数x，使得≥0成立的概率为等差数列{an}的公差，且a2+a6＝﹣4，若an＞0，则n的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11解：由题意，本题符合几何概型，区间[﹣3，3]长度为6，使得得≥0成立的x的范围为（1，3]的区间长度为2，故使得≥0成立的概率为＝，即差数列{an}的公差d＝，又a2+a6＝﹣4＝2a4，∴a4＝﹣2，an＝﹣2+（n﹣4）•＝，令an＞0，则有n＞10，故n的最小值为11，故选：D．11．连接双曲线C1：﹣＝1及C2：﹣＝1的4个顶点的四边形面积为S1，连接4个焦点的四边形的面积为S2，则当取得最大值时，双曲线C1的离心率为（）A． B． C． D．解：四个顶点形成的四边形的面积S1＝×2a×2b＝2ab，四个焦点连线形成的四边形的面积S2＝×2c×2c＝2c2，所以＝＝≤＝，当取得最大值时有a＝b，c＝a，离心率e＝＝．故选：D．12．已知a＜5且ae5＝5ea，b＜4且be4＝4eb，c＜3且ce3＝3ec，则（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c解：根据题意，设f（x）＝，a＜5且ae5＝5ea，变形可得＝，即f（a）＝f（5），b＜4且be4＝4eb，变形可得＝，即f（b）＝f（4），c＜3且ce3＝3ec，变形可得＝，即f（c）＝f（3），f（x）＝，其导数f′（x）＝，在区间（0，1）上，f′（x）＜0，则f（x）为减函数，在区间（1，+∞）上，f′（x）＞0，则f（x）为增函数，其草图如图：则有0＜a＜b＜c＜1，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知离散型随机变量，随机变量η＝2ξ+1，则η的数学期望E（η）＝．解：离散型随机变量，可得E（ξ）＝3×＝，随机变量η＝2ξ+1，则η的数学期望E（η）＝2×+1＝．故答案为：．14．命题“∃x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题，则m的取值范围是（﹣∞，﹣5]．解：∵命题“∃x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题，∴命题“∀x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4＜0”是真命题，∴在（1，2）上恒成立令x∈（1，2）∵∴f（x）＜f（1）＝5，∴﹣m≥5，∴m≤﹣5．故答案为：（﹣∞，﹣5]15．一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的2倍．解：∵一个圆柱和一个圆锥同底等高∴设底面半径为r，高为h，∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍，∴πrl＝2πr2，l＝2rh＝r∴圆柱的侧面积＝2πrh＝2πr2，其底面积＝πr2∴圆柱的侧面积是其底面积的2倍，故答案为：．16．已知M是抛物线y2＝2x上一点，N是圆x2+（y﹣2）2＝1关于直线对x﹣y＝0称的曲线C上任意一点，则|MN|的最小值为﹣1．解：设圆心为C，则|MN|＝|CM|﹣|CN|＝|CM|﹣1，C点坐标（2，0），由于M在y2＝2x上，设M的坐标为（x，y），∴|CM|＝＝，∵圆半径为1，所以|MN|最小值为：﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知D是△ABC边AC上的一点，△ABD面积是△BCD面积的3倍，∠ABD＝2∠CBD＝2θ．（1）若∠ABC＝，求的值；（2）若BC＝，AB＝3，求边AC的长．解：（1）因为∠ABC＝，∠ABD＝2∠CBD＝2θ．所以θ+2θ＝，即θ＝．又△ABD面积是△BCD面积的3倍，所以AB•BDsin＝3×BC•BDsin，所以＝＝．（2）由已知：AB•BDsin2θ＝3×BC•BDsinθ，即2ABcosθ＝3BC，∵BC＝，AB＝3，∴cosθ＝，则θ＝，即∠ABC＝3θ＝，所以AC2＝9+2﹣2×3××（﹣）＝17，故AC＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PE＝3，求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．【解答】（I）证明：由正方形ABCD可得：AC⊥BD．由PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC．又PO∩BD＝O，∴AC⊥平面PBD，AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）解：取AB的中点O，连接OM，OE．建立如图所示的空间直角坐标系．OP＝＝．O（0，0，0），B（2，2，0），E（0，2，0），D（﹣2，﹣2，0），P（0，0，），＝（2，4，0），＝（2，2，），设平面DPE的法向量为＝（x，y，z），则•＝•＝0，∴2x+4y＝0，2x+2y+z＝0，取＝（﹣2，，2）．同理可得平面PEB的法向量＝（0，，2）．cos＜，＞＝＝＝．由图可知：二面角D﹣PE﹣B的平面角为钝角．∴二面角D﹣PE﹣B的余弦值为﹣．19．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展．下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份20142015201620172018销量（万台）810132524某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主624女性车主2总计30（1）求新能源乘用车的销量y关于年份x的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关；（2）请将上述2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；（3）若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例，从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人，记选到女性车主的人数为X，求X的数学期望与方差．参考公式：，，其中n＝a+b+c+d.，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关．附表：P（K2≥k0）k0解：（1）＝（2014+2015+2016+2017+2018）＝2016，＝（8+10+13+25+24）＝16，∴＝（﹣2）×（﹣8）+（﹣1）×（﹣6）+1×9+2×8＝47，＝4+1+1+4＝10，＝64+36+9+81+64＝254，∴r＝＝≈0.94＞0.9，∴y与x线性相关．（2）依题意，完善表格如下：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主18624女性车主246总计201030K2＝＝，∴有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关．（3）依题意，该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为，则X～B（50，），∴E（X）＝50×＝20，D（X）＝＝12．20．椭圆C：的离心率是，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，1）的动直线l与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有∠PQA＝∠PQB？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可得＝2，＝，又a2＝b2+c2，解得b2＝4，a2＝8，所以椭圆C的方程为+＝1．（2）当直线l斜率存在时，设直线l方程：y＝kx+1，由，得（2k2+1）x2+4kx﹣6＝0，△＝16k2+24（2k2+1）＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，假设存在定点Q（0，t）符合题意，∵∠PQA＝∠PQB，∴kQA＝﹣kQB，∴kQA+kQB＝+＝＝＝＝2k+（1﹣t）＝＝0，∵上式对任意实数k恒等于零，∴4﹣t＝0，即t＝4，∴Q（0，4）．当直线l斜率不存在时，A，B两点分别为椭圆的上下顶点（0，﹣2），（0，2），显然此时∠PQA＝∠PQB．综上，存在定点Q（0，4）满足题意．21．已知函数f（x）＝ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设f（x）的两个不同的零点是x1，x2，求证x1•x2＜．解：（Ⅰ）f′（x）＝a﹣＝（x＞0），①当a≤0时，由于x＞0，故ax﹣1＜0，f'（x）＜0，所以，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），②当a＞0时，由f'（x）＝0，得x＝，在区间（0，）上，f'（x）＜0，在区间（，+∞）上，f'（x）＞0．所以，函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞），综上，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）．（Ⅱ）∵f（x）有2个不同的零点，∴f（x）min＝f（）＜0，解得：0＜a＜，∴，两式相减得a（x1﹣x2）+ln＝0，解