第二章 等式与不等式 训练题-2023-2024学年高一数学人教B版（2023）必修第一册含答案

第第页第二章等式与不等式训练题——2023-2024学年高一数学人教B版（2023）必修第一册(含答案）第二章等式与不等式

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.不论a，b为何实数，的值()

A.总是正数B.总是负数

C.可以是零D.可以是正数也可以是负数

2.不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图.请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知，则该方程的整数解有()

A.1组B.2组C.3组D.4组

3.设，，则()

A.B.C.D.

4.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是()

A.B.C.D.

5.设，则“”是“”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知集合，，则()

A.B.C.D.

7.已知正数a，b满足，则有()

A.最小值B.最小值C.最大值D.最大值

8.在使成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做的上确界，若，，且，则的上确界为()

A.-3B.-4C.D.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）

9.已知关于x的方程，则下列结论中正确的是()

A.方程有一个正根和一个负根的充要条件是

B.方程有两个正根的充要条件是或

C.方程无实数根的一个必要条件是

D.当时，方程的两个实数根之和为0

10.下列说法正确的是()

A.若，则一定有

B.若，且，则的最小值为0

C.若，则的最小值为4

D.若关于x的不等式的解集是，则

11.已知，，且，则()

A.有最大值B.有最小值

C.ab有最大值D.ab有最小值

12.受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奧运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分別为，，.甲有一半的时间以速度米/秒奔跑，另一半的时间以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑.其中，.下列结论一定成立的是()

A.B.C.D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若，则当取最大值时x的值为___________.

14.已知关于x的方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是___________.

15.不等式的解集是__________.

16.已知，，且，则的最小值为_________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知关于x的不等式.

（1）若，求该不等式的解集；

（2）若，求该不等式的解集.

18.（12分）已知不等式的解集为或.

（1）求实数a，b的值；

（2）解关于x的不等式（其中c为实数）.

19.（12分）某服装厂为扩大生产增加收益，新引进了一套某种服装的生产设备，用该设备生产制作服装每月的成本t(单位：元)由两部分构成：①固定成本(与生产服装的数量无关)元；②生产所需材料成本为(单位：元)，x为每月生产服装的件数.

(1)用该设备生产服装，每月产量x为何值时，平均每件服装的成本最低，每件的最低成本为多少

(2)若每月生产x件服装，每件售价为(单位：元)，假设每件服装都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该设备每月的利润不低于4万元

20.（12分）已知，.

(1)求证：.

(2)若，求ab的最小值.

21.（12分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的关系为.

（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大最大车流量为多少(保留分数形式)

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内

22.（12分）设矩形的周长为，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，如图所示，设，.

（1）求y与x之间的关系式；

（2）求的最大面积及相应x的值.

答案以及解析

1.答案：A

解析：因为，所以的值总是正数.

2.答案：D

解析：设此方程的解为有序数对.因为，所以，当或时，等式不成立，所以，，即，.当时，，即；当时，，即或；当时，，即.综上所述，共有四组解，，，.故选D.

3.答案：D

解析：因为，所以.由不等式的性质可得，即，故A错误.因为，所以，，所以，即.由不等式的性质可得，，则，故B错误..因为，所以，，所以.又因为，所以，即，故C错误.由可得，故D正确.选D.

4.答案：B

解析：因为命题“，”是真命题，所以，恒成立，所以，所以命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是，故选B.

5.答案：B

解析：由可得；由可得.故由推不出，而由能推出，故“”是“”的必要不充分条件.故选B.

6.答案：D

解析：由解得，所以.因为，所以.故选D.

7.答案：C

解析：正数a，b满足，，当且仅当时取等号，即有最大值，故选C.

8.答案：D

解析：根据题意，由，得.因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立，因此，所以根据定义知，的上确界为，故选D.

9.答案：BC

解析：设方程有两个根，.对于A，，所以该方程不可能有一个正根和一个负根，所以A错误；对于B，方程有两个正根的充要条件是解得或，所以B正确；对于C，方程无实数根，则，解得，又，所以C正确；对于D，当时，方程无实数根，所以D错误.

10.答案：ABC

解析：对于A，由可得，

则.

又，所以，即.故A正确.

对于B，若，且，则，

可得，

易知当时，取得最小值0.故B正确.

对于C，，

当且仅当时等号成立，

即，解得或.

因为，所以，即的最小值为4.故C正确.

对于D，易得2和3是方程的两个根，则，解得，则.

故D错误.故选ABC.

11.答案：BD

解析：由可得.令，，则，当且仅当时取等号.由，解得，故，当且仅当时取等号.故选BD.

12.答案：AC

解析：由题意知，，，.由基本不等式得，即，即，因此，当且仅当时等号全部成立，故A正确，B错误；又由，易知，故C正确；，，取，，此时，故D不一定成立.选AC.

13.答案：0

解析：，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号.

14.答案：

解析：由题意可分为以下几种情况：①当时，，解得，不满足题意，舍去.

②当时，若，，若此方程有两个正实数根，则，解得；若，，若此方程有两个负实数根，则，解得.综上，实数a的取值范围是.

15.答案：或或

解析：解：原不等式可化为.

16.答案：4

解析：，，.，，当且仅当时取等号，即，或，时，等号成立.

17、（1）答案：该不等式的解集为

解析：当时，，

即，解得，

故该不等式的解集为.

（2）答案：当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为

解析：.

①当时，，不等式的解集为；

②当时，，不等式的解集为；

③当时，，不等式的解集为.

综上，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

18、（1）答案：，

解析：因为不等式的解集为或，

所以1和b是关于x的方程的解，所以，解得.

由根与系数的关系知，解得，所以，.

（2）答案：当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或

解析：由（1）知，不等式为，即.

当时，不等式化为，解得.

当时，解不等式得.

当时，若，即时，解不等式得或；

若，即时，解不等式得；若，即2时，解不等式得或.

综上所述，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或.

19.答案：(1)用该设备每月生产2000件服装时，可使得平均每件所需的成本最少，每件最少成本为300元

(2)该设备每月至少生产800件产品，才能确保该设备每月利润不低于4万元

解析：(1)设平均每件所需的成本费用为y元，

则有

，

当且仅当，即时，等号成立，此时y的最小值是300.

因此用该设备每月生产2000件服装时，可使得平均每件所需的成本最少，每件最少成本为300元.

(2)设月利润为P(元)，

则有，

整理得，

解得(舍去)或.

因此该设备每月至少生产800件产品，才能确保该设备每月利润不低于4万元.

20.答案：(1)证明见解析

(2)ab取最小值1

解析：(1)证明：，

.

(2)，，，即，

，，

当且仅当时取等号，此时ab取最小值1.

21、（1）答案：当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时

解析：依题意知，，

当且仅当，即时，等号成立，

所以y的最大值为.

因此当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时.

（2）答案：汽车的平均速