【高考数学试卷解析】2022全国乙卷理科数学解析版

2022全国乙卷理科数学解析版

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集。={123,4,5},集合M满足心知={1,3},则

A.2GMB.3eMCA^M0.5

【答案速递】A

【参考解析】

因为全集。={1,2,3,4,5},Q,M={1,3},

所以M={2,4,5},所以A选项正确.

2.已知z=l—2i,且z+成+1=0,其中a,。为实数，则

A.a=l,Z?=—2B.a=—\,b-2

C.a=1,8=2D.a=—1,。=—2

【答案速递】A

【考点考法】本题主要考查共轨复数和复数相等，属于基础题.

【思路引导】根据题干表示之，再出列出复数相等的等式，即可求解。力.

【参考解析】

由题设，z=l—2i,2=l+2i,代入有a+b+l+（2a-2）i=0,

故a=1,b=—2.

3.已知向量五，B满足同=1,W=Ji,归―2*3,则之Z=

A.—2B.—1C.1D.2

【答案速递】C

【思路引导】本题考查向量数量积运算.

【参考解析】

由题设，口一2,=3,平方得彳2_4方石+庐=9,

代入数据解得，ab=\.

4.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太

阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列

{hn}:b^\+—,^=1+—^―,仇=1+——二一，，依此类推，其中

5~%,■*-1--

%

4eN*仅=1,2,…）.则

A.瓦<bsB.by<4C.b6<h2D.Z>4<Z?7

【答案速递】D

【思路引导】本题考查社会生活中的数列的比较大小，考查运算推导能力，属于基础题.

利用递推关系进行大小的比较.

【参考解析1】（安徽沐志伟老师提供）

遇到这种不用慌，一般特殊来帮忙，先用常数列分析下大概情况

11a151Q

令a=l,则41*=1+—=2,a=1+一=二，4=1+—=二，&=1+—=—，

"a,24236234a5

3+上=2％=1+匚巴3]+，金，31+L至

8

打86仇137b621&34

所以仇〉仇，故A错；/>々，故B错；仇>与，故C错；

所以选D.

【参考解析2】

]

易知仇=1+'-,仇-=1+——<l+—=bl,所以4>打，故A错;

£Z|a}+Ra.

1

<1+

么=1+-----—，b后=1+~TI=4,

«.+----「名+------厂%+----「

---a,+一a?H—

-%2%+R+'«3

所以/>々，故B错;

,,11,1

A=1H-------，b.==1H--------：--->1H-------.

111

a\+―a\+,p+a\+一

a2a2+Ra2

所以%>打，故C错：

,,1,1

。后=]Hj〉]^j=瓦,

所以l>4<b7,故D对；

【猴哥说】其实本题的本质就是小学学的分母越大，分数值越小而已，只是加了新情景，迷

惑住了大部分高中生.

【反思与总结】其实本题的一般性质是：力奇后面的所有项，"偶〈'后面的所有项,

【延申与拓展1】你对斐波那契数列了解多少呢？

【延申与拓展2】看到了连分数，那你可曾听拉马努金呢？

5.设F为抛物线C:V=4x的焦点，点A在。上,点B（3,0），若|A月=\BF\,则从目=

A.2B.2V2C.3D.3V2

【答案速递】B

【思路引导】本题考查抛物线的定义、方程和性质，属基础题.

【参考解析】

易知抛物线C:/=4x的焦点为F（1,O），于是有|A月=怛目=2

注意到抛物线通径2P=4（重点，挖掘隐含条件），

通径为抛物线最短的焦点弦，分析知A/必为半焦点弦，于是有轴,

于是有［4q=亚谡=2后.（等腰直角三角形）

6.执行右边的程序框图，输出的〃=

A.3B.4C.5D.6

【答案速递】B

【思路引导】本题考查程序框图，属于基础题.

【参考解析】

第一次循环：0=l+lx2=3,a=3—1=2,72=1+1=2,—2=py—2=—>^―

a1J|22J4100

11

第二次循环：匕=3+2x2=7,a=7—2=5,〃=2+1=3,^-2=—-2=—>—

a25225100

第三次循环：Z;=7+2x5=17，a=17-5=12，〃=3+1=4，

7.在正方体A6CO—中，民尸分别为4氏3。的中点，则（）

A.平面用E/_L平面B.平面片EE_L平面4BO

c.平面用后尸〃平面44。D.平面片后尸〃平面4G。

【答案速递】A

【思路引导1】本题考查了面面垂直的判断，面面垂直的性质，属于中档题.

【参考解析1】

对于A选项：在正方体ABC。—中，因为分别为AB，8c的中点，

易知£R_LBO,EF±BB,,所以平面片EF，平面80，

所以A选项正确；

对于B选项：因为平面平面87»）。=5。，

由上述过程易知平面反EF_L平面A5。不成立；

对于C选项：直线AA与直线用E必相交，

故平面与所与平面％AC有公共点，从而C的错误；

对于D选项：连接AC,AB,,B,C,易知平面AB。〃平面AG。，

又因为平面ABC与平面B]EF有公共点B「

故平面AqC与平面B.EF不平行，所以D选项错误.

【思路引导2】证明防，平面8。。，即可判断A；如图，以点。为原点，建立空间直角

坐标系，设AB=2,分别求出平面印石口，\BD,4G。的法向量，根据法向量的位置

关系，即可判断BCD.

【参考解析2】

在正方体A88-ABCQ中，

ACJ_8。且，平面A8CD,

又EFu平面A8CQ,所以

因为E,F分别为AB,6c的中点,

所以E/||AC,所以

又Bon。。=。，

所以瓦'_L平面BOR,

又EFu平面B]EF,

所以平面与EFJ_平面BO。，故A正确；

如图，以点力为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2,

则4(2,2,2),E(2,l,0),网1,2,0),3(2,2,0),4(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),

C,(O,2,2),

则方=(—1,1,0),函=(0,1,2),丽=(2,2,0),西=(2,0,2),

M=(0,0,2),AC=(-2,2,0)，4q=(-2,2,0),

设平面用EF的法向量为云=(%,y,zj,

m-EF=-X]+x=0

则有＜，可取加=(2,2,-1),

m•Eg=x+2Z[=0

同理可得平面48。的法向量为),

平面AAC的法向量为以=(1,1,0),

平面AC。的法向量为a=(l,l,-l)，

则加=2—2+l=lw0，

所以平面用EE与平面43。不垂直，故B错误;

因为而与万2不平行，

所以平面用EE与平面AAC不平行，故C错误;

因为质与上不平行，

所以平面与平面AG。不平行，故D错误,

故选A.

8.己知等比数列｛%｝的前3项和为268,%一%=42,则4=（）

A.14B.12C.6D.3

【答案速递】D

【考点考法】本题主要考查等比数列前〃项和中的基本量计算，属于基础题.

【参考解析1】

由题意/+"+"3=168,即,I/qx,即I」/q:0\

出一%=42[a闻（1一0）=42[aa（l-qXl+g+q~）=42

解得q=q=96,所以4=3.

【参考解析2]（思路卡住时的方法或者检验计算正确与否的方法）

■+4=168

由题意1123，

a2-a5=42

配合BCD选项易猜出夕=g,代入上面的式子验证后满足，

所以4=g，q=96,所以％=3.

9.已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该

四棱锥的体积最大时，其高为（）

出V2

A.B.C.D.

322

【答案速递】C

【思路引导1】本题考查圆锥体积，最值计算.

【参考解析1】

根据经验易知当底面为正方形时，取得最值（其实不太严谨，但是考虑到是选择题，所

以这种相当于根据经验来蒙题）

J7

假设底面是边长为。的正方形，底面所在圆面的半径为r，则r^—a,

2

所以该四棱锥的高=—所以体积V=；a2设。2=«0</<2）,

1I/夕2

则V=3（2_],令V⑺=产一万，则丫，0）=2"上，

根据经验（大题就要补全细节了哦），选填题基本可以直接令V'（f）=O=>f=—,

所以h=、Q=包,故选C.

V23

【思路引导2】先证明当四棱锥顶点。到底面ABC。所在小圆距离一定时，底面A8CC

面积最大值为2r2,进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值,

从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.

【参考解析2】

设该四棱锥底面为四边形ABCD,四边形ABCD所在小圆半径为r,

设四边形ABC。对角线夹角为a,

则SABS=；•ACBOW2八2r=2,

（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点。到底面ABC。所在小圆距离一定时，底面A8CQ面积最大值为2r2

又/+/=1

则％ABCD=1•2产/=立J产,产.2[<V2Ip+T+zFT=迪

°-ABCD333K3J27

当且仅当r2=2h2SP/>=y时等号成立，

故选C

10.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、

乙、丙比赛获胜的概率分别为外02，。3,且P3>P2>P|>0•记该棋手连胜两盘的概率为

〃，则（）

A.p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，P最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，P最大

【答案速递】D

【思路引导】本题考查相互独立事件的概率乘法公式的计算，属于中档题.

根据题意计算出玲，P乙,七，然后作差比较大小.

【参考解析】

设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为％,在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为当，

在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为昂j,

由题意

格=P[〃2（l-P3）+P3（l-P2）]=P\P1+PlP3一2Plp2P3,

同理&=PlP2+p2P3-20p2P3，

同理降=P0+P2P3-2pH2P3，

所以/一%=P2（P3-Pi）>0n/>%,七-殳=四伉-。2）>。=%>与,

所以生最大.

11.双曲线C的两个焦点为片,工，以C的实轴为直径的圆记为D,过耳作。的切线与C

3

交于M,/V两点，且cos/EN&=二，则C的离心率为（）

旦3

,22

【答案速递】AC

【思路引导】本题考查双曲线的性质及直线与圆相切的性质，属于中档题.

【参考解析】情形1：

设A为切点，

设A为切点，过尸2，作垂足为8.

在AAOK中，|。耳=4，|A£|=b，|。制=5

由。为广石的中点，恒目=人，忸匐=2a,

由cosN£N4=q,则=|N玛卜:，可得|NF||=28+三,

由双曲线的定义可知：加图-加闾=20,

故2沙+—————=2。，得3a=2Z?,

22

巫.故选C

所以e=

情形2：

同上可得：|耳目=»,忸闾=勿,则加却=予，加用=言,

故WE|=|阿-|M=^_2b,

故W用一加用=》一=2a,得：a=2h,

J?

所以=也.故选A.

2

12.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,且.f(x)+g(2—x)=5,g(x)—/(x—4)=7.若

22

y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g⑵=4,则Z/(%)=()

*=i

A.—21B.—22C.—23D.—24

【答案速递】D

【思路引导】本题考查函数的对称性，周期性，属于中档偏难题.

【参考解析1】

因为/(x)+g(2-x)=5,①

g(x)-/(x-4)=7,②

而y=g(x)的图像关于直线X=2对称，所以有g(x)=g(4—x),③

在①中，用x—2替换x,得/(x-2)+g(4—x)=5,@

④减②得，/(x-2)+/(x-4)=-2,⑤

所以y=/(x)的周期T=2X|4—N=4.

①加②得，g(x)+g(2-x)=12,令x=l,则有g⑴=6,

(扩充：更一般的，其实还有y=g(x)关于点(1,6)对称).

在①中，令x=l,则有/(1)=-1,

在④中,令x=2,则有f(0)+g⑵=5n/(0)=1=/⑷,

在⑤中，令x=4,/(2)=-3,

因为g(九)=g(4-x),所以g(l)=g(3)=6,

在①中，令％=-1，/(-1)=-1=/(3),

所以f(l)+f⑵+f(3)+/⑷=-4,

22

所以£/(。=5'(-4)+川)+〃2)=-24.

k=l

【参考解析2】

若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，则g(2—x)=g(2+x),

因为/(x)+g(2—x)=5,①

所以/(—x)+g(2+x)=5,(2)

故/(—x)=/(x),所以/(x)为偶函数.

由g⑵=4,在①中，令x=0,则有/(O)+g⑵=5,得/(O)=L

由g(x)—/(x-4)=7,得g(2—x)=/(—x—2)+7,

代入/(x)+g(2—x)=5,得/(x)+/(—%-2)=—2,③

所以/(x)关于点(―1,—1)中心对称，所以=

由f(x)+/(-x—2)=-2,/(—x)=/(x),得/(x)+/(x-2)=_2,

所以/(x+2)+/(x)=-2,故〃x+2)=/(x—2),所以/(x)周期为4.

在③中，令x=0,则有/(0)+/(-2)=—2,得/⑵=—3,

又/(3)=/(-1)=/⑴=—1，­)=1,

故由/⑴=一1,/(2)=-3,/(3)=-1,/(4)=1

所以/(1)+/(2)+/(3)+/•⑷=-4,

22

所以2/伙)=5、(—4)+〃1)+八2)=-24.

k=\

13.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为

3

【答案速递】—

10

【思路引导】本题考查了古典概型及其计算，属于基础题.

[参考解析1】文科还是适合枚举法

（甲，乙,4）,（甲,乙，8）,（甲，乙，C）,（甲，A,8）,（甲,4,C）,（甲,B,C）,

（乙，A,B）,（乙，A,C）,（乙，B,C）,（A,B,C）,

3

共10种，其中3种满足，所以尸=3.

10

C】3

【参考解析2】设“甲、乙都入选”为事件A，则P（A）=言=历.

14.过四点（0,0）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中的三点的一个圆的方程为.

【答案速递】

（x-2）2+-3）2=[3或-2）2+（y—l）2=5

/4丫（7丫65.f8丫（169

I3jv3；9I5））25

【思路引导1】本题主要考查求圆的标准方程，属于基础题.

圆过其中三点共有四种情况，解题关键是三点中的两条中垂线的交点为圆心，圆心到任一点

的距离为半径，每种情况逐一求解即可.

【参考解析1】

设点A（0,0）,夙4,0）,C（-l,l）,D（4,2）.

（1）若圆过由AB中垂线易知圆心在直线x=2上，故可设圆心坐标为"（2"）,

则由|4川2=|。”「=/得4+〃=9+（/-1）2=/n.=3,/=]3,

所以圆的方程为（X—2）2+（y-3）2=13.；

（2）若圆过三点，同（1）的解法（自行补充过程哦），

易得圆的方程为（X-2丁+（＞-11=5；

（3）若圆过8,C,。三点，同（1）的解法（自行补充过程哦），

i+g)T

易得圆的方程为

（4）若圆过A,C,。三点，则线段AC的中垂线方程为y=x+l,

线段的中垂线方程为y=-2x+5,

x=

,、y=x+l65

联立厂=＞＜故圆心为

y=-2x+5~9

y二

所以圆的方程为X—2+

I3jIy-3；-=—9

【思路引导2】设圆的方程为Y+)，2+瓜+E)，+F=O,根据所选点的坐标，得到方程组,

解得即可；

【参考解析2】

依题意设圆的方程为/+y2+6+砂+尸=。，

F=。［尸=0

若过(0,0)，(4,0),(-1,1),则(16+4。+/=0,解得＜。=—4,

1+1-D+E+尸=0,=-6

所以圆的方程为炉+y2—4x—6y=0,即(x—2『+(y-3)2=13；

尸=0尸=0

若过（0,0）,（4,0）,（4,2）,则＜16+40+尸=0解得＜D=-4,

16+4+4。+2七+尸=0E=-2

所以圆的方程为X+丁一以一？^=0,即(x—2)2+(y-l)2=5；

F=0

尸=0

0」

若过(0,0)，(4,2),(-1,1),则＜\+l-D+E+F=0,解得

3

16+4+4。+2七+尸=0

L14

E=----

3

所以圆的方程为炉+丁_|*_与,=0,即(x—g)

1+1-Z)+E+F=O5

若过(Tl),(4,0),(4,2),贝上16+4。+b=0解得<D-,

16+4+4£>+2E+F=0

E=-2

.,1616(8|2z八2169

所以圆的方程为/+9一二彳一2y一二=0,即|+(—)=与

I5

、G

15.记函数/(x)=cos(cyx+°)(o>0,0<e<7r)的最小正周期为T,若/(7)=——，x=—

29

为/（X）的零点，则3的最小值为

【答案速递】3

【思路引导】本题考查由余弦函数值求参.

【参考解析】

依题有了（T）=./■（（））=g,所以COSQ=g,

jr

因为0<0<"，故得夕=—.

6

因为X=g1T为了（X）的零点,

所以会+会尹而为=3+9碌eZ),

故0的最小值为3.

16.己知X=X］和尤=々分别是函数/。）=2"—ef（。>0且）的极小值点和极

大值点.若王</，则。的取值范围是.

【答案速递】

【考点考法】本题考查利用导数的极值求解参数，考查转化能力与运算求解能力，属于难题.

【思路引导】

/'（X）=2axIna-lex=2（a*Ina-ex）,

依题知优Ina=ex有两个实数根,

.tln«

即--=-f-有两个实数解，

xlnahTa

e..1

―-->e,Ir2racl,:.-<a<e,

Inae

又「XiVW，所以/(x)在(工2，+°°)上(，,aEO』)，

41.

故一<a<l.

e

【参考解析1】

f'(x)=2(axIna-ex),f[x)=2a*In2a—2e,f'[x)=2a'In3a,

①当0<a<l时，/m(x)=2a'ln%<0,

巾j当x―>—oo时，/”(x)―>+oo,x—^+oo时，/"(x)―>—2e<0,

所以f'\x)存在唯一零点x0,即/"(%)=0=>%=log„—f—,

ln~a

所以/'(X)在(-8,/)上单调递增，在(*0，y。)上单调递减，

因此要有两个零点，必须有/'(%)>0,

,ln-f-

即-―->log,—f—=—W卫=>1<In---=>ln2a<l=>-l<lntz<l,

ln«"In2a1n.1112a

因为0<a<l,所以

②当a>1时，

同上面的分析知，r(x)在(-oo,x。)上单调递减，在(公,”)上单调递增，

如有两个零点X=X|和X=X2，则百>々，不满足;

17.(12分)

记A48C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A—B)=sinBsin(C-A).

(1)证明：2a2=b2+c2；

25

(2)若a=5,cosA=3，求A43c的周长.

【考点考法】本题考查正余弦定理，属中档题目.

【思路引导】

(1)利用正弦定理角化边，再利用余弦定理角化边，化简得证；

(2)由余弦定理求出Q+人即可得出三角形的周长.

【参考解析】

(1)证明1：因为sinCsin(A-8)=sin8sin(C-A),

所以sinCsinAcos5—sinCsin5cosA=sin5sinCcosA—sinBsinAcosC,

再由正弦定理可得accosB-becosA=hecosA-ahcosC

旬珀a1+C1-b1..b1+C1-er.a2+b2-c2

所以根据余弦定理可知ac----------------2bc------------------ab---------------，

2ac2bclab

ya2+c2-b2/22\a2+b2-c2

即---------------口2+c~a)=----------------，

所以24=b2+c2;

证明2：

因为sinCsin(A-jB)=sinBsm(C-A),

所以sin(A+5)sin(A-B)=sin(C+A)sin(C一A),

所以

(sinAcosB+cosAsin3)(sinAcosZ?-cosAsinB)=(sinCeosA+cosCsin^XsinCeosA-cosCsinA)

即sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2Ceos2A-cos2Csin2A,

即sin2A(l-sin2B)-(l-sin2A)sin2B=sin2C(l-sin2A)-(l-sin2C)sin2A,

即sin2A-sin23=sin2C-sin2A,

故Zsin?A=sin2C+sin2B,

由正弦定理得2/=〃+/.

(延伸公式：三角平方差公式：sin(A+B)sin(7l-B)=sin2A-sin2B,真题追溯到2009

海南、宁夏理5文5)

_25

(2)因为。=5,cosA——,

由⑴得力2+/=50,

由余弦定理可得标=力2+c2一》CCOSA，

则50-竺儿=25,

31

所以反=二31，

2

故伍+。2=加+°2+2^=50+31=81,

所以/+c=9，

所以A48c的周长为a+b+c'=14.

18.(12分)

如图，四面体ABCD中，AD1CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为AC的中点.

(1)证明：平面BEDJ_平面48；

(2)设48=3。=2,44。8=6()°,点尸在3。上，当"尸。的面积最小时，求Cb与

平面ABO所成的角的正弦值.

【参考解析】

(1)因为AD=C£>,£为4。的中点，所以ACJ.DE；

在和△C5O中，因为AD=CD,ZADB=NCDB,DB=DB,

所以△A3。也△CBD,所以AB=CB,又因为E为AC的中点，所以AC_L3E；

又因为OE,BEu平面加⑦，DEcBE=E，所以ACL平面3EO，

因为ACu平面ACD,所以平面班平面AC。.

(2)

所以ACJ_EF,所以50忆=；4。£/，

当EE_L8D时，£尸最小，即△AFC的面积最小.

因为△ABD^ACBO,所以CB=AB=2，

又因为NACB=60°，所以AABC是等边三角形，

因为£为AC的中点，所以A£=£C=1,BE=6

因为AZ)，CD,所以。E=，AC=1,

2

在ADEB中,DE2+BE2=BD2-所以BELDE.

以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,

则4(1,0,0),网0,也0),。(0,0,1),所以布=(-1,0,1),丽=卜1,收0卜

设平面相£)的一个法向量为“=(x,y,z),

n-AD=-x+z=0；__/\

则《,取y=百，则〃=3,j3,3,

n-AB=-x+y/3y=0、7

又因为c(—1,0,0),厂，所以「=，

cI44J

4G

cos/n,CF)==——-

所以'/H|CF|7―〒

设CT与平面453所成的角的正弦值为eo4e4

所以sin6=|cos（凡CF，迪

~7-

所以CE与平面4®所成的角的正弦值为生叵.

7

【考点考法】本题考查面面垂直的判定，及线面角的求解，属于中档题.

19.（12分）

某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,

随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：n?）和材积量（单位：0?）,

得到如下数据：

样本号/12345678910总和

根部横截面积大0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材积量不0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并计算得Z¥=0.038,Z代=16158,ZNX=0.2474.

i=li=li=l

（1）估计该林区这种树木平均棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积

总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林

区这种树木的总材积量的估计值.

£（七-5）（》一刃

附：相关系数3=一/“㈢“，J1.896=1.377.

（%-君2t（%—刃2

V；=1/=1

【考点考法】本题考查了用样本估计总体，样本的相关系数，属于中档题.

【答案速递】⑴0.06m2；0.39m3;⑵0.97；（3）1209m3

【思路引导】

（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种

树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；

(3)依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的

总材积量的估计值.

【参考解析】

(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值元=竺=0.06

10

39

样本中10棵这种树木的材积量的平均值少=云=0.39

据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.060?,

平均一棵的材积量为0.39n?

1010

可(X-歹)10回

£(玉-于玄(＞「方匡_收忌2Toi

i=li=lVVi=,Ai=l7

_______0.2474-10x0.06x0.39______0,01340.0134

«0.97

7(0.038-10x0.062)(1.6158-10x0.392)V0.00018960.01377

则”0.97

(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为ym3，

又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,

可得孩||=写，解之得丫=1209m'

则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3

20.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0,-2)，d|,-l)两点.

(1)求E的方程；

(2)设过点「。,一2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于

点T,点H满足而亍=T/Z.证明：直线/VN过定点.

【考点考法】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于较难题.

(1)根据点在椭圆上，坐标满足椭圆方程，求出椭圆的标准方程；

(2)分类讨论过点P的直线斜率是否存在，再根据题干依次表示出T,N坐标，表示出直

线"N方程，判断直线过定点即可.

2尤2

【答案速递】(1)-v^-+—=1；(2)(0,-2)

43

【思路引导】

(1)将给定点代入设出的方程求解即可;

(2)设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.

【参考解析1】

=1,过A(0,-2),8卜,—1),

(1)设椭圆E的方程为祖小+犯2

4〃=1

则《9，解得机=一，n=—

—+〃=134

14

22

所以椭圆E的方程为：21+上=1.

43

32

(2)A(0,-2),^(-,-1),所以A3:y+2=]X,

22

①若过点P。,-2)的直线斜率不存在，直线％=1.代入q+?=1,

2

可得M(l,，N(l,_，代入AB方程y=§x—2,可得

9[2

T(V6+3,—1-).由MT=77/得到”(2血+5,.求得HN方程:

,=(2—-2,过点(0,-2).

②若过点P(L-2)的直线斜率存在，设丘一y-仗+2)=0,,y),N(w，%).

kx-y-(k+2)=0

联立《x2y2,得(3k2+4)x2—6攵(2+k)x+3k(k+4)=0,

—+—=1

34

6左(2+2)—8(2+%)

…=卡丁

可得〈

32(4+左)4(4+4%-2公)’

书二kT

必必3^+4

且门(*)

y=x3

联立彳2.可得T(T+3,y),"(3y+6-x，y).

y=-x-22

可求得此时HN:y-y2=-一■好)----(x-,

3>1+6一西一x2

将(0,-2),代入整理得理尤i+%2)-6(%+%)+%%+%27-3yly2T2=0,

将(*)代入，得24k+12左2+96+48Z-24k-48-48%+24公一36/—48=0,

显然成立，

综上，可得直线HN过定点(0,-2).

【点睛点评】求定点、定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

【参考解析2】

切.⑴浸桶回4用雄炉阴=|.

-MS,-，.6住,T）.

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，由优守，*3上口-2)

21.(12分)

已知函数/(x)=ln(l+x)+axeT.

(1)当a=lH寸，求曲线y=/(x)在点(OJ(O))处的切线方程；

(2)若“X)在区间(一1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求a的取值范围.

【参考解析1]

(1)当a=l时，f(x)=ln(l+x)+xe~x,所以/'(x)=—-——1-(1—x)e-x,

1+x

所以切线的斜率％=/'(O)=2,而/(0)=0

所以曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=2x.

(2)令g(x)=e1n(l+x)+ax(尤＞一1),则y=/(x)和y=g(x)的零点等价.

1

显然有g(0)=0,且g'(x)=e*ln(l+x)+

\+x

1。若。2―1,

先证明ln(x+l)+-^-21(x>—1),

x+1

111x

令p(x)=ln(x+l)+―j•,则p'(x)=----~M=/汴，

x+lx+l(x+l)(x+l)

所以p(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增，

所以p(x)>p(O)nln(x+l)+」一21,当且仅当x=0时取得等号，

x+1

因为当x>0时，g'(x)>e'-1>0,所