基础数学（第11章）

基础数学BasicMathematicsBasicMathematics主讲老师：全课导航第9章充要条件第10章三角计算第11章数列第12章平面向量第13章圆锥曲线BasicMathematicsBasicMathematics第11章数列项目导读我们总是想通过现下观察到的一些规律，来推测未来的一些事情．例如，餐馆经营进入稳定期后，每个月都能结余2万元，离过年还有4个月，根据这些条件，老板就可以算出过年的时候能存下多少钱了．从餐馆进入稳定期开始，每个月的存款之间有什么关系？存下来的钱数是如何计算的？让我们带着这些问题，开始本章的学习．1．理解数列、项、项数、有穷数列、无穷数列、常数列、通项公式的概念；掌握数列的一般形式，以及通项公式的表示方法．2．理解等差数列、等比数列等的概念，能够计算等差数列的等差中项，以及等比数列的等比中项．3．理解等差数列和等比数列的通项公式，并掌握其计算方法．4．掌握等差数列和等比数列的前n项和公式及其计算方法．要求数列的概念11.1等差数列11.2项目导航等比数列11.3数列的应用11.411.1数列的概念11.1.1数列及其相关概念11.1.2数列的通项公式11.1.1数列及其相关概念小明这次数学考试考了88分．妈妈答应小明，如果下次考试也能考88分，就奖励他10元钱；如果下次考的分数比这次高，而且每高一分，就再多奖励他5元钱．那么，小明下次考88分、89分……100分，分别会被奖励多少钱？生活中的数学知识精讲观察下列排成一列的数．全体自然数从小到大排成一列为．①的倒数排成一列为．②无穷多个3排成一列为．③2016～2022年某市接受中等教育的在校生人数（单位：万人）排成一列为．④知识精讲像这样，按照一定次序排成的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项．数列中每项的位置都和它的序号有关，即从左往右，各项按其位置依次称为这个数列的第1项（或首项）、第2项……第n项．因此，数列的一般形式可以写为，简记为．其中，序号分别称为对应各项的项数．例如，在数列①中，，，，，．项数有限的数列称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列．上面的例子中，数列②和④为有穷数列，数列①和③为无穷数列．你能举出一些有穷数列与无穷数列的例子吗？学以致用写出正偶数按从小到大顺序构成的数列，并指出第1项和第5项各是多少．例1解正偶数按从小到大顺序构成的数列为

．其中，．课堂练习11.1.2数列的通项公式小红和小强玩游戏，小红报出一个自然数，小强报出这个数两倍的数值，小红接着报出小强报出数两倍的数值，轮流进行下去．报错或没有在5s内报出正确的数都算输．如果游戏顺利进行下去，小红和小强报出的这些数有什么规律？它们可以用一个通式来表示吗？生活中的数学知识精讲例如，数列的通项公式为．数列的通项公式为．数列的通项公式为．类似于数列，各项都相等的数列称为常数列．已知数列的通项公式，可以求出这个数列中的任意一项，也可以求出已知项的项．公式就称为这个数列的通项公式．如果数列的第n项与项数n之间可以用一个公式来表达，那么这个（1）并不是每个数列都有通项公式．（2）在本章中，若数列的通项公式定义域为可省略。,则学以致用由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一的．例如

的前3项相同．和例2已知数列的前4项，写出它们的一个通项公式．解（1）观察数列的前4项与其项数的关系，即（2）观察数列的前4项与其项数的关系，即（1）（2）由此可知，该数列的通项公式为由此可知，该数列的通项公式为学以致用例3已知数列的通项公式为，求：（1）数列的前4项；（2）数列的第10项；（3）若54为该数列的一项，请计算它的项数．

解（1），，

，．因此，数列的前4项是

．（2）数列的第10项是．（3）设该数列的第n项为54，则，解得．因此，54为该数列的第22项．

学以致用例4

某水泥厂生产水泥，今年的产量为18万吨，由于技术改造，计划每年增产15%．请写出从今年开始5年内每年的产量构成的数列，并写出通项公式．

解

因此其通项公式为

课堂练习课堂练习学习内容主要包括数列的概念、数列的划分，数列的通项公式．课堂小结11.2等差数列11.2.1等差数列的概念11.2.2等差数列的通项公式11.2.3等差数列的前n项和公式11.2.1

等差数列的概念数学考试成绩出来了，小红、小明和小强在讨论考试成绩．小红说：“这次我考了94分．”小明说：“这次我考了87分．”小强说：“我们3个人的成绩正好是一个等差数列．”那么，小强的成绩可能是多少呢？生活中的数学知识精讲观察以下数列．正偶数从小到大排列，可构成数列．①某住宅楼从第1层开始，每层的楼板高度可构成数列．②买衣服时会发现，衣服的号码从小到大排列可构成数列．③从这些数列中，我们可以发现以下规律．数列①：从第2项起，每一项与其前一项的差都等于2；数列②：从第2项起，每一项与其前一项的差都等于3；数列③：从第2项起，每一项与其前一项的差都等于5．这3个数列有一个共同特点，就是从第2项起，每一项与其前一项的差都等于同一常数．由等差数列的定义可知知识精讲通常，如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，用字母d表示．如果3个数a，A，b成等差数列，那么，即

此时，A就称为a与b的等差中项．等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与其后一项的等差中项．学以致用例1求下列等差数列中的未知项．解（1）由等差中项的定义可得．（2）由等差中项的定义可得．（1）（2）课堂练习11.2.2

等差数列的通项公式生活中的数学小红、小明和小军找张老师询问这次数学考试的成绩，张老师说：“你们的成绩刚好都符合通项公式，n为自然数，并且小明分数最低，小军分数最高．”那么，小红、小明和小军的成绩分别可能是多少呢？在等差数列的通项公式中，有，，n，d这4个量．通常只要知道其中的3个，就可以求出第4个了．现在请大家想一想，当所求的量不同时，应分别采用什么样的计算方法呢？知识精讲设等差数列的首项为，公差为d，则

依此类推，最终可得出等差数列的通项公式为．学以致用例2求等差数列的第5项和第15项．解因为，所以该数列的通项公式因此，该数列的第5项为

该数列的第15项为学以致用例3等差数列的第几项是59？解因为，所以该数列的通项公式设该数列的第n项等于59，则，解得因此，该数列的第20项是59．在等差数列的通项公式中，字母n的系数即为等差数列的公差．例如，在例3中，通项公式为，n的系数3即为该等差数列的公差．学以致用例4在等差数列中，公差，求首项．解因为，所以设等差数列的通项公式为又因为，所以

．解得课堂练习11.2.3等差数列的前n项和公式生活中的数学著名数学家高斯在年幼时就展现出了惊人的天赋．在高斯10岁那年，他的小学老师出了一道题目，要求学生将1到100的所有整数加起来．当其他学生忙于把100个整数逐个相加时，高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：

高斯的算法实际上解决了求等差数列前100项和的问题．此数列的首项为1，第100项为100，公差为1，根据高斯的算法可知，其前100项的和为

知识精讲我们可以将高斯的算法推广到求一般等差数列的前n项和．等差数列的前n项和可用表示，即

对于公差为d的等差数列，其前n项和可表示为

（11-2）

（11-3）将式（11-2）和式（11-3）相加可得

知识精讲由此得到等差数列的前n项和公式为

．（11-5）将等差数列的通项公式代入式（11-4），可得．（11-5）因此，在已知等差数列的，n和d时，可利用式（11-5）直接计算．学以致用例5在等差数列中，，求前20项的和．因此，其前20项之和为解由已知条件可得，

解得

学以致用例6已知数列的前n项和公式为，求这个数列的通项公式，并判断其是否为等差数列．数列的通项公式与它的前n项和有以下关系：该数列的通项公式为当

时，

，也适合上式，所以又因为所以，是等差数列．解因为，则

所以学以致用例5在等差数列中，，求前20项的和．因此，其前20项之和为解由已知条件可得，

解得

课堂练习学习内容主要包括等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式．课堂小结11.3等比数列11.3.1等比数列的概念11.3.2等比数列的通项公式11.3.3等比数列的前n项和公式11.3.1

等比数列的概念家里要来客人，小明一家人正在为客人准备水果．小明切1个苹果，小明的妈妈切2个苹果，小明的爸爸切4个苹果，每个苹果都切了4瓣．那么，小明一家人各切了多少瓣苹果？这几个数字之间有什么关系？生活中的数学知识精讲细胞分裂时，如果1个细胞每次分裂为2个，则每次分裂后细胞的总个数依次为

观察上面的数列，可以发现，从第2项开始，数列中每一项与其前一项的比都等于2．通常，如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的比都等于同一常数，那么，这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比，用字母

表示．由等比数列的定义可知知识精讲如果3个数a，G，b成等比数列，则

即

此时，G就称为a与b的等比中项．等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与其后一项的等比中项．对于任意两个非零实数a，b，只有当a，b正负号相同时，它们之间才存在等比中项G，且．学以致用例1求下列等比数列中的未知项．解（1）由等比中项的定义可得，解得．（2）由等比数列的定义可得，则，．将代入中，可得

，解得．将代入中，可得．（1）（2）课堂练习11.3.2

等比数列的通项公式小红拿竹筐去果园摘苹果，每个竹筐最多可以装10个苹果，也就是说n个竹筐最多可以装10n个苹果．那么，如果小红有4个竹筐，最多可以摘多少个苹果？生活中的数学知识精讲与等差数列类似，下面我们通过观察等比数列各项之间的关系来探求其通项公式．设等比数列的首项为，公比为q，则．依此类推，最终可得出等比数列的通项公式为等比数列的通项公式中有4个量：，，n，q．通常只要知道其中的3个，就可以求出第4个了．现在请大家想一想，当所求的量不同时，应分别采用什么样的计算方法？学以致用例2一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项．解设这个等比数列的第1项为，公比为q，那么，（1），（2）两式相除，可得将代入式（1），可得于是因此，此等比数列的第1项和第2项分别是和8．

学以致用例3求等比数列的第4项和第5项．解由题意可知，，所以该数列的通项公式为

因此课堂练习11.3.3等比数列的前n项和公式生活中的数学小红、小欣、小明拿竹筐去果园摘苹果，每个竹筐最多可以装10个苹果．小红、小欣、小明各自拿的竹筐数分别为1，2，4．那么，他们最多可以摘多少个苹果？知识精讲等比数列的前n项和为（11-7）根据等比数列的通项公式，式（11-7）可写为（11-8）用公比q乘以式（11-8）两边，可得（11-9）将式（11-8）和式（11-9）的两边分别相减，得

当时，等比数列的前n项和公式为（11-10）下面我们来探求等比数列的前n项和公式．等比数列的前n项和公式知识精讲因为，所以式（11-10）还可写为（11-11）当时，等比数列各项都相等，其前n项和为（11-12）综上所述，等比数列的前n项和公式为（11-13）学以致用解（1）因为，所以当时，（2）因为，所以当时，

例4求下列等比数列前8项的和．（1）（2）学以致用例5已知等比数列的，求解因为，所以

解得

因此

课堂练习学习内容主要包括等比数列的概念，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式．课堂小结11.4数列的应用11.4.1等差数列的应用11.4.2等比数列的应用11.4.1等差数列的应用生活中的数学为记录小欣的成长，小欣的妈妈专门为她做了一个相册．小欣翻看这个相册时发现，在她每个周岁生日时妈妈都会给她准备一个插着蜡烛的生日蛋糕，而且该蜡烛的根数就是她的周岁数．小欣去年过的12周岁生日，现在还没到13周岁．除了通过每次生日拍下的照片数蜡烛，还有什么方法可以知道妈妈至今一共给小欣点了多少根生日蜡烛？知识精讲我们已经学习了等差数列的含义和性质，以及，，n，d，之间的关系，这些知识可以帮助我们轻松地解决一些实际问题，如计算打车费、解决贷款相关的问题等．下面介绍等差数列的一些应用．

学以致用例1某市出租车的起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计价10元，之后的计价标准为1.2元/km．某人在该市坐出租车前往某地，行程14km，那么此人需要支付多少车费？解由题意可知，当行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要多支付1.2元，因此，可以建立一个等差数列来计算车费．令表示行驶4km的车费，公差，那么，当出租车行驶14km时，，因此

即需要支付的车费为23.2元．学以致用例2某银行提供一笔58000元的无息贷款，来帮助当地发展一个项目，还款方式为一年后的第一个月还1000元，之后每个月都比前一个月多还200元，那么需要多少个月能还清全部贷款？解由题意可知，每月还款数是首项，公差的等差数列．设n个月可以还清全部贷款，则n个月的还款总额为，即

因为贷款是无息的，所以有解得因此，20个月可以还清这笔贷款．课堂练习1．为了参加冬季运动会的长跑，某同学给自己制订了7天的训练计划：第一天跑，之后每天比前一天多跑500m．请问，这位同学第7天应跑多少米？2．梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，求中间各级的宽度．3．屋顶的某一斜面为等腰梯形，最上排铺了21块瓦片，下面每一排比上一排多铺3块，共有20排．请问，该斜面共铺了多少块瓦片？4．某多边形的周长为158cm，各边的长成等差数列，最短一边的长为35cm，公差为3cm，求多边形的边数．11.4.2等比数列的应用生活中的数学小明将一张A4纸从中间撕开，留下一半，接着将另一半从中间撕开，再留下一半，将另一半从中间撕开．如此重复，又撕了5次．请问，此时不通过测量比较，如何知道最小纸片的面积是原来纸张面积的几分之一？知识精讲我们已经学习了等比数列的含义和性质，以及，，n，q，

之间的关系．这些知识可以帮助我们轻松地解决一些实际问题，如计算半衰期、解决复利计息法相关的问题等．下面介绍等比数列的一些应用．

学以致用例3某放射性物质不断衰变，每过一年，其剩余量就衰变为上一年的84%．这种物质经过多久会衰变为最初的一半？（精确到1年）解设这种物质最初的量是1，经过n年，剩余量是，由已知条件可知，这是一个首项，公比的等比数列，其通项公式为．设，故，解得．因此，这种物质经过大约4年