ch李雅普诺夫稳定性分析课件

2023/9/171第4章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性判据线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析2023/8/41第4章控制系统的李雅普诺夫稳定性定义2023/9/172控制系统的稳定性，通常有两种定义方式：1、外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界输入有界输出稳定(BIBO)。2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义的内部稳定性。状态稳定。外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性。2023/8/42控制系统的稳定性，通常有两种定义方式：稳定2023/9/173

第一法（间接法,定量方法）2）现代控制理论：李雅普诺夫稳定性：

第二法（直接法，定性方法。）劳斯—胡尔维茨稳定性判据1）古典控制理论：乃奎斯特稳定性判据线性连续定常系统研究系统稳定性的方法：线性、非线性；定常、时变系统等1892年,俄国数学家Lyapunov，博士论文《运动稳定性的一般问题》。根据系统矩阵的特征根在根平面的分布情况判断稳定性利用经验和技巧来构造李氏函数,根据李氏函数的特性判断稳定性（分析能量函数的变化趋势）分析特征方程的根在根平面的分布状况2023/8/432023/9/174第1节

李雅普诺夫稳定性定义平衡状态李雅普诺夫稳定性定义（4种）

稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定、不稳定2023/8/44第1节李雅普诺夫稳定性定义平衡状态2023/9/175一、平衡状态平衡状态：对所有时间t，如果满足，称xe为系统的平衡状态或平衡点。f一般为时变非线性函数。如果不显含t，则为定常非线性函数。李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言。说明：1、对于线性定常系统：

A为非奇异阵时，xe=0是其唯一的平衡状态。

A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态，视系统方程而定。3、对任意已知的非零平衡状态，总可经过一定的坐标变换，把它移到坐标原点（即零状态）。为了方便，今后只讨论在坐标原点处的稳定性。稳定性：系统在平衡状态受到扰动后，系统自由运动的性质，与外部输入无关。2023/8/45一、平衡状态平衡状态：对所有时间t，如果满2023/9/1764、李雅普诺夫稳定性针对某个平衡状态而言，不同的平衡状态点可能表现出不同的稳定性。所以，稳定性必须针对所有平衡状态分别加以讨论。[例]某非线性系统方程为：

试确定其平衡状态。[解]：由，可得方程组：解得3个平衡状态为：2023/8/464、李雅普诺夫稳定性针对某个平衡状态而言，

（1）非负性：当当且仅当

（2）齐次性：为任意实数。（3）三角不等式：对于中的任意两个向量都有（3）三角不等式：对于中统一记为p范数满足：统一记为p范数满足：2023/9/179二、李雅普诺夫意义下的稳定（4种：系统自由响应是否有界）1、稳定与一致稳定：

（系统的自由响应幅值有界）设为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域或任意正实数，都可以找到另一个正实数或球域，当初始状态满足时，对由此出发的X的运动轨迹有，则平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。如果与初始时刻无关，则称平衡状态是一致稳定的。2023/8/49二、李雅普诺夫意义下的稳定（4种：系统自由2023/9/1710说明1：表示初始偏差都在以为半径，以平衡状态Xe为中心的球域里。其中表示状态偏差都在以为半径，以平衡状态Xe为中心的球域里。说明2：李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是平衡状态邻域的局部稳定性，即小范围稳定性。说明3：系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线，只要不超过，就是李雅普诺夫稳定的，而古典则认为不稳定。二范数2023/8/410说明1：2023/9/1711如果与初始时刻无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。设xe为系统的孤立平衡状态，如果它是李雅普诺夫意义下稳定的，且当t趋向于无穷大时，有：即收敛于平衡状态xe，则称平衡状态xe为渐近稳定的。2、渐近稳定和一致渐近稳定：（自由响应有界并回到平衡状态）说明：稳定和渐近稳定不同。稳定只要求状态轨迹永远不会跑出球域，在球域内如何变化不作规定。渐近稳定不仅要求状态的运动轨迹不跑出球域，最终要收效或无限趋近平衡状态xe。古典的稳定性，就是李雅普诺夫意义下的渐近稳定。2023/8/411如果与初始时刻无关，则称平2023/9/17123、大范围渐近稳定

不管初始偏差有多大（即从状态空间中所有初始状态出发的轨迹），都有渐近稳定特性。即：对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。渐近稳定比稳定更重要，但它是一个局部概念，平衡状态局部稳定并不意味着整个系统能正常工作。确定其渐近稳定的最大区域很重要。或者说，如果系统的平衡状态渐近稳定的吸引域为整个状态空间，则称系统的平衡状态为大范围渐近稳定的。2023/8/4123、大范围渐近稳定必要性：整个状态空间中大范围渐近稳定xe=0xe=0渐近稳定大范围渐近稳定xe=0xe=0渐近稳定线性系统：如果它是渐近稳定的，必是大范围渐近稳定的.非线性系统：可能只在小范围稳定，状态轨迹收敛到xe

或其附近。非线性系统稳定性与初始偏差的大小有关!线性系统稳定性与初始偏差的大小无关!线性系统：如果它是渐近稳定的，必是大范围渐近稳定的.非线性系2023/9/17154、不稳定：（系统的自由响应是无界的）如果对于某一实数，不论取得多么小，由内出发的轨迹，只要有一个轨迹超出，则称平衡状态xe是不稳定的。说明：虽然不稳定的轨迹超出了，但并不一定趋向于无穷远处，有可能趋向于外的某个极限环。2023/8/4154、不稳定：（系统的自由响应是无界的）说2023/9/1716经典控制理论(线性系统）不稳定Re(s)>0不稳定（临界情况）Re(s)=0稳定Re(s)<0李雅普诺夫意义不稳定稳定（极限环，不超出某个球域即可）渐近稳定经典控制理论中的稳定性与李雅普诺夫意义下稳定性的关系：在经典控制理论中，只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统；在李雅普诺夫意义下是稳定的，但却不是渐近稳定的系统，古典控制则认为是不稳定的。S：系统(传函)极点.或系统矩阵的特征值。[本节小结]：2023/8/416经典控制理论不稳定Re(s)>0不稳定2023/9/1717第2节

李亚普诺夫稳定性第一法（间接法判稳）外部稳定性定义及判据内部稳定性定义及判据内部状态稳定性和BIBO外部稳定性的关系2023/8/417第2节李亚普诺夫稳定性第一法（间接法2023/9/1718一、外部稳定性定义及判据（BIBO稳定）定义：如果线性系统在有界的输入量或干扰量作用下，引起的输出量的幅值是有界的，即有界输入引起的零状态响应是有界的，则称系统是有界输入－有界输出（Bouned-Input-Bounded-Output）稳定的。否则，如果系统在有界输入作用下，产生无界输出，则系统是不稳定的。说明：2、尽管在定义时提到了输入和扰动作用，但对线性定常系统来说，系统稳定与否完全取决于系统本身的结构和参数，稳定性是系统本身的一种特性，而与输入作用无关。2023/8/418一、外部稳定性定义及判据（BIBO稳定）2023/9/1719线性定常连续系统的传递函数是，当且仅当其极点都在s的左半平面时，系统才是输入输出稳定的。否则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。BIBO稳定性判据（传递函数）：[例]设系统方程为：

试确定其外部稳定性。稳定区不稳定区临界稳定S平面图解表示：2023/8/419线性定常连续系统的传递函数是2023/9/1720[解]

系统的传递函数为：极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。系统是有界输入有界输出稳定的。二、内部稳定性定义及判据（状态稳定性）李氏第一法判稳思路：间接法：对于线性定常系统，通过系统矩阵A的特征值来判断2023/8/420[解]极点位于s左半平面，s=2的极点2023/9/1721线性系统的内部稳定性判据：线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的根（包含可能相约的极点）全部位于s平面的左半部。[例]设系统方程为：

判断其内部稳定性。（与前面外部稳定性例子系统相同）[解]

求系统的特征方程：系统不是渐近稳定的。2023/8/421线性系统的内部稳定性判据：线性定常连续系2023/9/17221、由于零极点对消结果，导致内部稳定和外部稳定的不等价性。三、内部状态稳定性和BIBO外部稳定性的关系3、如果系统是渐近稳定的，则一定是输入输出稳定的。（不管极点是否消去，A的特征值一定包含所有极点）2、如果系统是输入输出稳定的，则不一定是渐近稳定的。（有零、极点对消，消去的极点可能不在s的左半平面）4、如果系统是输入输出稳定的，且是能控、能观测的，则一定是渐近稳定的。5、内部稳定性要比外部稳定性严格。只用传递函数极点性质判定系统的稳定性不一定能真正反映系统稳定的性能。一个外部稳定的系统，完全可能由于内部状态的不稳定性导致系统中某些元件饱和甚至损坏，而使系统无法正常工作。2023/8/4221、由于零极点对消结果，导致内部稳定和外2023/9/1723第3节

李雅普诺夫稳定性第二法（直接法判稳）二次型及其正定性李雅普诺夫稳定性第二法思路李雅普诺夫稳定性第二法定理（3个）

2023/8/423第3节李雅普诺夫稳定性第二法（直接法2023/9/1724[二次型及其正定性]如果，则称P为实对称矩阵。1、二次型函数V(x)：1）正定性：当且仅当x=0时，才有；对任意非零X，恒有，则为正定。2）负定性：当仅当X=0时，才有；对任意非零x,恒有，则为负定。2023/8/424[二次型及其正定性]如果2023/9/17253）半正定和半负定如果对任意，恒有,则V(X)为半正定。如果对任意，恒有,则V(X)为半负定。5）不定性V(X)可为正值也可为负值，则V(x)为不定。4）(半)正定和(半)负定间的关系

V(x)为正定，则－V(x)为负定；

V(x)为半正定，则－V(x)为半负定；2、二次型函数V(x)正(负)定性判定：赛尔维斯特准则Sylvester’scriterion2023/8/4253）半正定和半负定5）不定性4）(半)正2023/9/17261）二次型为正定，或实对称矩阵P为正定的充要条件是P的所有主子行列式均为正，即：则P为正定，即V(x)正定。

如果2）二次型为负定，或实对称阵P为负定的充要条件是P的主子行列式满足；（i为偶数）i=1，2，3，…,n。2023/8/4261）二次型设有标量函数V(x)，V(x)

正定V(x)

半正定V(x)

负定V(x)

半负定V(x)

是不定的设有标量函数V(x)，V(x)正定V(x)半正定V(x)2023/9/1728[例]

试证明下列二次型是正定的。因为矩阵P的所有主子行列式均为正值，所以是正定的。[解]：1）二次型可写为2）利用赛尔维斯特准则，可得2023/8/428[例]因为矩阵P的所有主子行列式均为正值2023/9/1729

李雅普诺夫第二法思路：直接法，用能量观点分析稳定性如果系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即。那么随着系统的运动，其贮存的能量将随时间增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。[例]弹簧－质量－阻尼系统。质量为单位质量。系统的运动用微分方程描述如下：选取状态变量：即：2023/8/429李雅普诺夫第二法思路：直接法，用能量观2023/9/1730则系统的状态方程为：则在任意时刻，系统的总能量E为：质量块动能＋弹簧位能可知：能量随时间的变化率为：所以，能量随时间的变化率为负数，即能量是衰减的。2023/8/430则系统的状态方程为：则在任意时刻，系统的说明：1）实际系统很难找到一个统一的能量函数。2）虚构一个广义能量函数，称为李雅普诺夫函数，根据它和它的一阶导数的正负来判断系统稳定性。3）第二法判稳的过程，只要找到一个正定的标量函数，而是负定的，这个系统就是稳定的。而就是李雅普诺夫函数。2023/9/1731一、李雅普诺夫第二法稳定性定理（3个）说明：2023/8/431一、李雅普诺夫第二法稳定性定理（32023/9/1732定理1：设系统的状态方程为为其平衡状态，如果有一阶偏导连续的标量函数存在，并且满足以下条件：1）是正定的。2）是负定的。则原点处的平衡状态是渐近稳定的。是系统的一个李雅普诺夫函数。如果随着，有，则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。说明：定理1是充分条件，判稳过程是寻找李雅普诺夫函数V(x)，如果没找到，不能判断系统不稳定。2023/8/432定理1：设系统的状态方程为2023/9/1733[例]某非线性系统方程为：

是其唯一的平衡状态，试确定平衡状态的稳定性。2）当，即，得则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。由定理1可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。同时，V(x)是系统的一个李雅普诺夫函数。

[解]：

1）选取正定标量函数选，则正定

负定2023/8/433[例]某非线性系统方程为：

几何解释：由确定的图形

V(x)表示状态x到原点的距离，则表示状态x沿系统轨线曲线趋向于原点的速度。几何解释：2023/9/1735定理2：设系统的状态方程为为其唯一的平衡状态，如果有连续一阶偏导数的标量函数存在，并且满足以下条件：1）是正定的。2）是半负定的。3）对任意初态，在，除了外，不恒等于零。则系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着，有，则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。问题：是负定的难于满足，能不能用半负定代替？2023/8/435定理2：设系统的状态方程为2023/9/1736说明：恒等于零意味着运动轨迹是某个特定的曲面。不恒等于零意味着仅在某个特定时刻，在某个点上和某个特定的曲面相切，然后状态会继续向原点移动。注：如果满足条件1和2，不满足条件3，则系统在平衡点处是李雅普诺夫意义下稳定的。因为是某个特定曲面,则状态不会回到平衡状态。[例]设系统方程为：

试确定其平衡状态的稳定性。[解]：1）平衡状态令，得是系统唯一的平衡状态。2023/8/436说明：恒等于零意味着运动轨迹是某个特定2023/9/1737所以，V(x)是系统的一个李雅普诺夫函数。由定理2可知，系统在原点平衡状态处是渐近稳定的。同时有，当状态非零时不恒为零。（分析）2）选李雅普诺夫函数3）当，即，得则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。不唯一，满足定理一2023/8/437所以，V(x)是系统的一个李雅普诺夫函数例分析系统的稳定性解系统的平衡状态为，选取是半负定的。例分析系统的稳定性因此，根据定理2，系统是大范围渐近稳定的。针对以上例子，对由于故该函数是系统的一个李雅普诺夫函数。表明：可以有多个李雅普诺夫函数。因此，根据定理2，系统是大范围渐近稳定的。2023/9/1740定理3：设系统状态方程为：为其平衡状态。如果存在一个标量函数，它具有连续的一阶偏函数，且满足下列条件：在原点的某一邻域内是正定的，在同样的邻域内是正定的，则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。2023/8/440定理3：设系统状态方程为：2023/9/1741[例]设系统方程为：

试确定其平衡状态的稳定性。[解]：1）平衡状态令，得是系统唯一的平衡状态。由定理3可知，系统在原点平衡状态处是不稳定的。2）选李雅普诺夫函数正定正定2023/8/441[例]设系统方程为：2023/9/1742二、李雅普诺夫函数说明：1）李雅普诺夫函数是正定标量函数，一阶导数为(半)负定；2）对于给定系统，如果存在李雅普诺夫函数，它不是唯一的。用第二法判稳时，找到一个李雅普诺夫函数就可以。3）李雅普诺夫函数最简形式是二次型，P正定实对称方阵。4）李雅普诺夫函数只表示平衡状态邻域内局部运动的稳定情况，丝毫不能提供域外运动的任何信息。5）构造李雅普诺夫函数需要很多技巧，使用起来很不方便。需要进一步构造李雅普诺夫函数的方法。2023/8/442二、李雅普诺夫函数说明：2023/9/1743[本节小结]：1、李雅普诺夫第二法判稳思路：寻找李雅普诺夫函数2、李雅普诺夫第二法稳定性定理1）稳定性定理1：是正定的，是负定的。2）稳定性定理2：是正定的，是半负定的。3）不稳定性定理3：是正定的，是正定的。4）这三个定理的条件仅是充分条件。2023/8/443[本节小结]：1、李雅普诺夫第二法判稳思2023/9/1744第4节

线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析2023/8/444第4节线性定常连续系统的李雅普诺夫稳2023/9/1745讨论：选择二次型函数为李雅普诺夫函数。目的：用李雅普诺夫第二法分析线性定常系统的稳定性负定正定由上一节讨论的定理1知道系统渐近稳定，故有以下定理：标量函数为系统的一个李雅普诺夫函数。判据1：线性连续定常系统：在平衡状态处渐近稳定的充要条件是：给定一个正定对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵P，使满足：李雅普诺夫方程2023/8/445讨论：选择二次型函数2023/9/17461）因为正定对称矩阵Q的形式可任意给定，且最终判断结果和Q的不同形式选择无关，所以通常取。2）该定理阐述的条件，是充分且必要的。说明：判据2：如果除了在时有外，

不恒等于零，则由上一节定理2可知，Q可取做

半正定。为计算简单，此时Q可取作如下矩阵：2023/8/4461）因为正定对称矩