第01讲任意角和弧度制三角函数的概念（原卷版）

第四章《三角函数》第01讲任意角和弧度制、三角函数的概念1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))(3)相反角：射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．(2)公式角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式弧长l＝αr扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr23．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，α∈R，取它的终边上一点P(x，y)，设点P到原点O的距离|OP|=r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号图示：口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．一．角及其表示例1．（1）下列命题中正确命题的个数是（

）①第二象限角大于第一象限角，②三角形的内角是第一象限角或第二象限角③若，则与的终边相同④若，则是第二或第三象限的角.A．0 B．1 C．2 D．3（2）设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么（

）A．M＝N B．N⊆M C．M⊆N D．M∩N＝∅（3）终边在直线上，且在内的角的集合为__________.（4）已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α与120°角终边相同，则α=_____．【复习指导】：利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．（5）若是第一象限角，问，，是第几象限角？【复习指导】:确定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法(1)不等式法：先写出kα或eq\f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq\f(α,k)的终边所在位置．(2)几何法（针对eq\f(α,2)和）：如已知是第二象限角，求eq\f(α,2)所在象限。先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为eq\f(α,2)的终边所在的区域，故eq\f(α,2)为第一或第三象限角．若求，则每个象限分成3等份，同理标上一、二、三、四，故为第一、二或第四象限角。（6）如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.【复习指导】：表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：分别标出起始和终止边界对应的－180°～180°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．二．弧度制及其应用例2．（1）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是（

）A．1 B．4 C．1或4 D．2或4（2）《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为（

）A． B． C． D．（3）已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（

）A． B． C．1 D．2（4）已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.=1\*GB3①若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；=2\*GB3②已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角；=3\*GB3③若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【复习指导】：应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．三．三角函数的概念例3．（1）若，且，则是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角（2）若是第四象限角，则点在第（

）象限.A．第四象限 B．第三象限C．第三、四象限 D．第一、二象限（3）已知角的终边过点，且，则的值为（

）A． B． C． D．（4）已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是（

）A．(－2,3]B．(－2,3)C．[－2,3)D．[－2,3]（5）函数的值域是（）A． B． C． D．【复习指导】：(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．1．下列与角eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)2．若且，则终边在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第三象限 D．第三或第四象限3．若是第一象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角4．设是第一象限角，且，则是第（

）象限角A．一 B．二 C．三 D．四5．若α是第三象限角，则y＝＋的值为（

）A．0 B．2 C．－2 D．2或－26．若为第一象限角，则，，，中必定为正值的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个7．已知某扇形的面积为，若该扇形的半径，弧长满足，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A． B． C． D．或8．已知扇形的周长为，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长等于（

）A． B． C． D．9．已知锐角终边上一点A的坐标为，则角的弧度数为（

）A． B． C． D．10．已知角x的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角x的最小正值为()A．B．C．D．11．设，角的终边与圆的交点为，那么（

）A． B． C． D．12．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则（

）A． B． C． D．13．若，且，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角14．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边上一点，若，则（

）A．3 B． C． D．15．已知，则“”是“角为第一或第四象限角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要16．终边在轴的正半轴上的角的集合是（

）A． B．C． D．17．若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（

）A． B． C． D．18．点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限19．已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（

）A． B． C． D．20．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．21．若角满足，，则是（）A．第二象限角 B．第一象限角 C．第一或第三象限角 D．第一或第二象限角22．下列说法正确的是（

）A．第二象限角比第一象限角大B．角与角是终边相同角C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数为23．已知，，，则下列不等关系中必定不成立的是（

）A．， B．，C．， D．，24．若点在函数的图象上，则的值为（）A．0 B． C．1 D．25．我国著名数学家华罗庚先生曾倡导“0.618优选法”，0.618是被公认为最具有审美意义的比例数字，我们称为黄金分割．“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，华先生认为底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形．例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，在其中一个黄金中，黄金分割比为．试根据以上信息，计算（

）A． B． C． D．26．（多选）给出下列四个选项中，其中正确的选项有（

）A．若角的终边过点且，则B．若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角C．若在单调递减，则D．设角为锐角（单位为弧度），则27．（多选）已知，则函数的值可能为（

）A．3 B．3 C．1 D．128．若角α的终边与的终边相同，则在[0,2π]上，终边与的终边相同的角有________．29．已知θ为小于360°的正角，这个角的4倍角与这个角的终边关于x轴对称，那么θ＝_________30．终边落在第四象限内的角的集合可表示为______________.31．与2014°角终边相同的最小正角是__________，与2014°角终边相同的绝对值最小的负角是__________.32．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中"方田"章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积，弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦"指圆弧所对弦长，“矢"指圆弧顶到弦的距离（等于半径长与圆心到弦的距离之差），现有圆心角为，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是_________平方米．（结果保留根号）33．设分别是第二象限角，则点落在第___________象限.米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.35．已知θ∈{α|α＝kπ＋(－1)k·，k∈Z}，则θ的终边所在的象限是_______.36．已知角的终边经过点，且，则__________．37．若钝角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则＝____．38．已知角的终边经过点P(1，﹣2)，则tan的值是_________．39．如图所示，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A，则cosα－sinα＝________.40．若点是角终边上的一点，且，则______.41．角终边上一点M（，2），且，则=.42．点P(tan2012°，cos2012°)位于第_____象限.43．下列判断正确的是__________．（填序号）①；②；③；④.44．三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为，则＋＋的值是________.45．若扇形的周长为定值，则当该扇形的圆心角______时，扇形的面积取得最大值，最大值为______.46．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的eq\f(2,3)，面积等于圆面积的eq\f(5,27)，则扇形的弧长与圆周长之比为________．47．若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置．48．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在